Phương pháp xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ y = f(x)

ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CÓ ĐỘ DÀI k CHO TRƯỚC

1 Phương pháp giải

+ Tìm TXĐ

+ Tính y’

+ Hàm số có khoảng đồng biến ( hoặc nghịch biến )  y' 0  có 2 nghiệm phân biệt x , x1 2 đồng thời

x  x  k

Chú ý:

2

ax  bx c 0   có 2 nghiệm x ,x1 2 (giả sử x1 x2) thỏa x1 b , x2 b

2a 2a

x x

2a



   , trong đó 2

b 4ac

x  x   k x  x  4x x  k (a  0)

Ví dụ 1 : Định m để hàm số y  x 3  3x 2  mx m  nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D 

Ta có: y' 3x  2 6x m 

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1  y' 0  và x1 x2  1

2

9 3m 0 m 3 3

m 3

4 4m 1 4

S 4P 1



Vậy, với 3 m 3

4   thì hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

y x   mx  m 36 x 5   nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: y' 3x  2 2mx m 36   và   ' m2 3m 108 

Nếu m   9 hoặc m 12  tức   ' 0 thì y' 0  có 2 nghiệm phân biệt x ;1 x2 Lập bảng xét dấu, ta thấy

y' 0  với x x ; x1 2 suy ra hàm số nghịch biến với x  x ; x1 2

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 khi x1 x2  4 2 tức

2

m 3m 108

3

,

bình phương hai vế và rút gọn ta được phương trình: m 2  3m 180 0    m   12 hoặc m 15 ( thỏa

điều kiện )

Vậy, với m   12 hoặc m 15  yêu cầu bài toán được thỏa mãn

2 Bài tập

Bài 1: Định m để hàm số y  x3 3x2 mx m  nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1

Bài 2: Định m để hàm số y   2x3 3mx2 1 đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1

y x x m m x 1

3 2



     nghịch biến trên khoảng có độ dài là 3

Bài 4: Định m để hàm số y   x3 3x2 (m 1)x 2m 3    đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn

1

y  m 1 x   3 m 1 x   2mx 4  đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ

hơn 1

Bài 6: Tìm mđể hàm số y x  3  mx 2 m 36 x 5    nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2

Bài 7: Tìm mđể hàm số y  x 3  3x 2  mx m  nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

+ Nếu m ≥ 3 thì y     0, x , hàm số đồng biến trên  m ≥ 3 không thoả mãn

+ Nếu m < 3 thì y   0 có 2 nghiệm phân biệt x ,x (x1 2 1 x )2 Hàm số nghịch biến

trên đoạn x ; x1 2 với độ dài x1 x2 Ta có: x1 x2 2; x x1 2 m

3

Theo bài toán  d 1   x1 x2  1  2

(x  x )  4x x  1

Bài 2:

Ta có: y'   6x2 6mx và y' 0    x 0 hoặc x m 

+ Nếu m = 0  y     0, x  hàm số nghịch biến trên  m = 0 không thoả

+ Nếu m 0  , y     0, x (0; m) khi m 0  hoặc y     0, x (m;0) khi m 0 

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn x ; x1 2 có x2 x1  1

1 2

(x ; x ) (0; m) (x ; x ) (m; 0)

 và x2x1 1  m 0 1 m 1

0 m 1

  

  

Bài 3:

5

m

2

  hoặc m 7

2



Bài 4:

* Nếu m       2 ' 0 y' 0 x     hàm số nghịch biến trên nên hàm số không có khoảng đồng

biến

* Nếu m   2  y' 0  có hai nghiệm x1 x2 và y' 0    x x ; x1 2  yêu cầu bài toán  x1 x2  1

2

4(m 1) 5 (x x ) 4x x 1 4 1 m



Bài 5:

Ta có: y' 3(m 1)x   2 6(m 1)x 2m  

 m    1 y'    2 0 (loại)

 m 1 Khi đó hàm số luôn có khoảng đồng biến có độ dài lớn hơn 1

 m   1 Yêu cầu bài toán  y' 0  có hai nghiệm x ,x1 2 thỏa x1 x2  1

2 2

(m 3)(m 1) 0 ' 9(m 1) 6m(m 1) 0

8m

(x x ) 4x x 1 3(m 1)





m 9 (Do m   1)

Bài 6: m2  3m 180 0    m   12 hoặc m 15  ( thỏa điều kiện )

4

x x 8 x x 4x x 8 4 m 8 m 3

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí