Phương pháp giải bài tóan tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng xác định \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\), \(\left[ {\alpha ;\beta } \right]\)

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN,

NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH    ;  ,   ; 

1 Phương pháp giải

Tìm điều kiện để hàm số y f x( ) ax3 bx2 cx d đơn điệu trên khoảng ( ; )  

Hàm số đã cho xác định D 

Ta có: y   f (x) 3ax   2 2bx c 

1 Hàm số f đồng biến trên ( ; )    y     0, x ( ; )   và y   0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc

( ; )  

Trường hợp 1:

 Nếu bất phương trình f (x) 0    h(m) g(x)  (*)

thì f đồng biến trên ( ; )   

( ; )

h(m) maxg(x) 

 

 Nếu bất phương trình f (x) 0    h(m) g(x)  (**)

thì f đồng biến trên ( ; )   

( ; ) h(m) min g(x) 

 

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f (x) 0   không đưa được về dạng (*) thì đặt t   x Khi đó ta có:

y   g(t) 3at   2(3a   b)t 3a    2b   c

– Hàm số f đồng biến trên khoảng (  ;a)  g(t) 0, t 0     a 0

0

 

 

 hoặc

a 0 0

S 0

P 0

 

 



 



 



– Hàm số f đồng biến trên khoảng (a;  )  g(t) 0, t    0  a 0

0

 

 

 hoặc

a 0 0

S 0

P 0

 

 



 



 



2 Hàm số f nghịch biến trên ( ; )    y     0, x ( ; )   và y   0 chỉ xảy ra tại một

số hữu hạn điểm thuộc ( ; )  

Trường hợp 1:

 Nếu bất phương trình f (x) 0    h(m) g(x)  (*)

thì f nghịch biến trên ( ; )   

( ; )

h(m) maxg(x) 

 

 Nếu bất phương trình f (x) 0    h(m) g(x)  (**)

thì f nghịch biến trên ( ; )   

( ; ) h(m) min g(x) 

 

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f (x) 0   không đưa được về dạng (*) thì đặt t   x  Khi đó ta có:

y   g(t) 3at   2(3a   b)t 3a    2b   c

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (  ;a)  g(t) 0, t 0     a 0

0

 

 

 hoặc

a 0 0

S 0

P 0

 

 



 



 



– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a;  )  g(t) 0, t    0  a 0

0

 

 

 hoặc

a 0 0

S 0

P 0

 

 



 



 



Chú ý:

1 Phương trình   2

f x  ax  bx c 0   (a0) có hai nghiệm x , x1 2 thỏa

x1  0 x2   P 0

1 2

0

S 0

 



 



x1  0 x2   P 0

1 2

0

S 0

 



   

 



1 2

1 2

    







Trong đó : S x1 x2 b , P x x1 2 c

2 Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên tập D ,thế thì:

x D

x D,f(x) 0 min f(x) 0



3 Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì

x D

x D,f(x) 0 maxf(x) 0



4 Cho hàm số y f(x)  liên tục trên D

*

D

f(x) k x D     min f(x) k  ( nếu tồn tại

D min f(x))

*

D

f(x) k x D     maxf(x) k  ( nếu tồn tại

D

max f(x))

Ví dụ : Định m để hàm số y  x 3  3x 2  (m 1)x 4m   nghịch biến trong  1;1

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D 

Ta có: y' 3x  2 6x m 1  

Cách 1: Hàm số nghịch biến trong khoảng  1;1  y' 0  và x1    1 1 x2

xx11 1 x1 x 22 11 00





m 4

m 8

 

   

 m 8

Vậy, với m   8 thì hàm số luôn nghịch biến trong khoảng  1;1

Cách 2: Hàm số nghịch biến trong khoảng  1;1  y' 0  ,   x  1;1 tức là phải có: m   3x2 6x 1  ,

x 1;1

  

Xét hàm số g x   3x 2  6x 1  ,   x  1;1và có g' x   6 x 1  

Với    x  1;1    x 1 0 g'(x) 0  ,   x  1;1

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m g(x)  với    x  1;1m 8

Vậy, với m   8 thì hàm số luôn nghịch biến trong khoảng  1;1

2 Bài tập

Bài 1: Định m để hàm số y  x4 2mx2 3m 1  đồng biến trên khoảng (1; 2)

Bài 2: Định m để hàm số y  x3 (m 2)x  2 (3m 2)x 2   đồng biến trên đoạn 3; 4 

Bài 3: Tìm mđể hàm số 1 3   2

y x 2m 1 x mx 2 3

     nghịch biến trên khoảng  0;1

Bài 4: Tìm mđể hàm số x3 2

y (m 1)x (2m 1)x m 3

      nghịch biến trên (0; 3)

Bài 5: Tìm mđể hàm số y x  3  3x 2  3(m 2  1)x 1  đồng biến trên (1; 2)

Bài 6: Tìm mđể hàm số y x – 3x  3 2 2m 1 x – 4   biến trên [ 2; 1]  

Bài 7: Tìm mđể hàm số 3 2  

y x   3x  m 1 x 4m   nghịch biến trên khoảng  1;1

Bài 8: Tìm mđể hàm số y mx  3  x 2  3x m 2   đồng biến trên khoảng  3; 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

+ m 0  , y     0, x (0; )  m 0  thoả mãn

+ m 0  , y  0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0, m

Hàm số cho đồng biến trên (1; 2)  m 1    0 m 1  Vậy m    ;1

Bài 2:

  x [3; 4],3x 2  2(m 2)x 3m 2 0        x [3; 4],3x2 4x 2 m(2x 3)   

2 3x 4x 2

2x 3

 

 Xét   3x2 4x 2

g x , x [3; 4]

2x 3

 

2

6x 18x 8 2[3x(x 3) 4]

(2x 3) (2x 3)

  với mọi x thuộc đoạn 3; 4

 g x  đồng biến trên đoạn 3; 4 

x [3;4]

17 min g(x) g(3)

3



Bài 3:

Cách 1  2        

f(x) mx 2(m 1)x 3(m 2) 0, x (2; ) (3)

TH 1: m 0  khi đó (3) chỉ đúng với mọi x 3 

TH 2: m 0  ta thấy trường hợp này không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH 3: m 0  , f(x) có    ' 2m2 4m 1 

* Nếu ' 0 m 2 6

2



    (do m 0  ) f(x) 0 x   

* Nếu ' 0 0 m 2 6

2



     (*)

Khi đó f(x) có hai nghiệm x1 x2 và 1 2

2

x x f(x) 0 f(x) 0, x 2 x 2

x x

 

2

  

Kết hợp với (*) 2 m 2 6



   Vậy m 2

3

 là những giá trị cần tìm

Cách 2: Xét hàm số g(x)với x 2  Ta có :

2

2(x 6x 3) g'(x)

(x 2x 3)

 



  g'(x) 0   x 3 6,x lim g(x) 0

 

x 2

2

m g(x) x (2; ) m maxg(x)

3



Bài 4: Xét hàm số

2

x 2x 1 f(x) ,x [0; 3]

x 1

 

 ,m 0

Bài 5:

 Nếu m 1      m 1 m 0   y' 0 x   nên hàm số đồng biến trên

 Nếu m 0  , suy ra yêu cầu bài toán m 1 1 m 3

m 1 2

  

     

 Nếu m 0  , suy ra yêu cầu bài toán m 1 2 m 3

m 1 1

  

      

Bài 6: Hàm số nghịch biến trên [ 2; 1]   2

x [ 2; 1], y' 0 x [ 2; 1],3x 6x 1 2m

              

Xét   2

h x  3x – 6x 1  trên [ 2; 1]  

x [ 2; 1]

x [ 2; 1],h(x) 2m min h(x) 2m 10 2m m 5

  

Bài 7: Cách 1 : Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1;1 khi và chỉ khi y' 0, x     1;1 Xét

hàm số g x  3x 2  6x 1 , x      1;1

g' x 6x 6 0, x 1;1 g x

         nghịch biến trên khoảng  1;1 và    

x 1 x 1

lim g x 2, lim g x 10

Vậy m   10 thoả yêu cầu

Cách 2 : y'' 6x 6  

Nghiệm của phương trình y'' 0  là x    1 1 Do đó, hàm số đã

cho nghịch biến trên khoảng  1;1 khi và chỉ khi  

x 1

m lim g x 10





Bài 8: Xét hàm số   2x 32

g x

3x



 liên tục trên khoảng  3; 0, ta có

9x

      nghịch biến trên khoảng 3; 0 và

x 3 x 0

4 lim g x , lim g x

27

    Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 4

27

 

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí