Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chứa giá trị tuyệt đối, chứa căn thức

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC

1 Phương pháp

Nhận xét:

 Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số được chuyển về bài toán xét dấu của một biểu thức ( y')

 Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng y  f(x) ta chuyển trị tuyệt đối vào trong căn thức y  f (x)2 ,

khi đó tại những điểm mà f(x) 0  thì hàm số không có đạo hàm

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: y  1 x  3

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng   ;1

Ta có:

2 3

3x y'

2 1 x

 



y' 0  khi x 0  và y' 0  khi    x  ;1 và x 0 

Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng   ;1

Chú ý: y' 0  tại x 0  thì hàm số không đổi trên nửa khoảng   ;1

Ví dụ 2 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:   2

y  x 3  3 2x x  

Lời giải

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  3;1 

2

2x x 3 y'

3 2x x

 



  , hàm số không có đạo hàm tại x   3, x 1 

Với    x  3;1 : y' 0 

3 x 1

x 0 2x x 3 0

  



      

x  3 0 1

y'  0 

y

3 3

Hàm số đồng biến trên hai khoảng  3; 0,hàm số nghịch biến trên hai khoảng  0;1

2 Bài tập

Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 y  x2 2x

3 y 3x2x3

2 y  x3 2x

4 y x 1 x   2

Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 y x   2x x  2

3 y x2 x 20

2 y 2x 1   9 x  2

4 y x 1 2 x    23x 3

Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1

2

x y

x 1



x 3 y

x 1







Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

Bài 5: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 y  x2  2x 3  2 y  x2 4x 3   2x 3 

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

1 Hàm số đồng biến trên (2;  ); nghịch biến trên (  ; 0)

2 Hàm số đồng biến trên 2; 2

3

 

3

 



 

 

 

3 Hàm số y đồng biến trên khoảng (0; 2), nghịch biến trên (  ; 0) và (2; 3)

4 Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 2

2 2

 



 

 

2

 

 

 

 

  và

2

;1 2

 

 

 

 

Bài 2:

2 2x x (x 1) 2x 4x 1 0

   

         

     

Vậy, hàm số y đồng biến trên 0;1 2

2

 



 

 

2

1 ; 2 2

 



 

 

 

2 Hàm số y giảm trên các khoảng 3; 9

4

  

 

 ,  2; 3 và tăng trên khoảng 9; 2

4

 

 

 

3 Hàm số yđồng biến trên khoảng (5;  )và nghịch biến trên (  ; 4)

4

2

2 2

3 x 2

3x 3

3x 3

  



       



Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 1, nghịch biến trên khoảng   1; 

Bài 3

1 Ta có:

1

(x 1) x 1

2 Trên khoảng ;1 :

3

 

 

1

; 3

 

 

 ;

3

 

 

1

; 3

 

 

 

2 Hàm số đồng biến trên ( 3; 1)   và (1;  ); nghịch biến trên (   ; 3) và ( 1;1) 

Bài 5:

1 TXĐ: D 

Cách 1: Ta có: y  (x2 2x 3)  2 2

2(x 1)(x 2x 3) y'

(x 2x 3)

  

 

 

Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng( 1;1)  và (3;  ), nghịch biến trên (   ; 1) và (1; 3)

Cách 2:

2 2

2

x 2x 3 khi x 1 x 3

y x 2x 3

x 2x 3 khi 1 x 3

      



    

     



Hàm số đã cho xác định trên

2x 2 khi x 1 x 3

y'

2x 2 khi 1 x 3

     

     

Vậy, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 1;1 và 3; , nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 1 và  1; 3

2 TXĐ: D 

Ta có:

x 4x 3 4x 3 x 6 khi x 1 x 3 y

x 4x 3 4x 3 x 8x khi 1 x 3

         



 

         



Khi x  ( ;1) (3;  )thì : y' 2x   y' 0      x 0 ( ;1) (3;  )

Khi x (1; 3)thì : y'     2x 8 y' 0     x 4 (1; 3)

Tại x = 1 ,ta có: f '(1 ) 6

f '(1 ) 2





 







 Vì f '(1 ) f '(1 )

   nên f’(1) không tồn tại

Tại x = 3 ,ta có : f '(3 ) 6 f '(3)

f '(3 ) 2





 





Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng (0;  ) và nghịch biến trên khoảng (  ; 0)

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí