Ứng dụng đơn điệu của hàm số trong tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

ỨNG DỤNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG TÌM GIÁ TRỊ

LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1 Phương pháp

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a; b 

Nếu fđồng biến trên đoạn a; b  thì  

x a;b min f f a

   ,  

x a;b max f f b

   Nếu f nghịch biến trên đoạn a; b  thì  

x a;b min f f b

   ,  

x a;b max f f a

  

Ví dụ: Cho x, y là các số không âm thoả mãn x y 1   Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

y x

P

y 1 x 1

Lời giải

 2

x

P

(vì x y 1   ) Đặt

2

t xy 0 t

  

Xét hàm số   2 2t 1

     Ta có  

 2

4

2 t



Vậy      

min f t f , max f t f 0 1

 

2

min P

3

 khi x y 1

2

  và maxP 1  khi x 0, y 1   hoặc x 1, y 0  

2 Bài tập

Bài 1: Biết rằng  x; y là nghiệm của hệ: x y2 2m 2

  





 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F xy 6 x y     

Lời giải

Từ hệ

x y m

  





x.y m 3

  







Theo định lý Vi – et đảo thì x, y là các nghiệm của phương trình t2 tu m  2  3 0  Phương trình  

có nghiệm khi   0 nghĩa là  3m2 12 0     2 m 2 

Với   2 m 2  thì hệ cho có nghiệm  x; y và F m  2 3m 6 

Dễ thấy, F' 2m 3 0    với mọi m   2; 2 suy ra F nghịch biến trên đoạn  2; 2  và F   2 13,

 

F 2   11

Vậy, minF   11 khi m 2  và maxF 13  khi m   2

Bài 2: Biết rằng  x; y là các nghiệm của hệ phương trình : 2 2 2

x 0, y 0; 0 m 2

  





Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất ( nếu có ) của :

 3  

T  x y   6xy x y   39m 2 

Lời giải

Đặt S x y,P xy    Hệ cho trở thành: S m

P 2m 3

 

Hệ có nghiệm khi phương trình: t 2  mt 2m 3 0    có nghiệm t ,t1 2 0 3 m 2

Khi đó T m  3  6 2m 3 m 39m 2 m      3  12m 2  21m 2 

Ta xét hàm số f m  m 3  12m 2  21m 2  trên đoạn 3; 2

2

f ' m 3m 24m 21 0, m ; 2 f m

2

  luôn đồng biến trên đoạn

3

; 2 2

  và

 

3 511

 

 

Bài 3: Cho a, b,c,d là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4

A

a b c d abcd

  

  

Lời giải

Đặt

4

a b c d

t

abcd

  



Áp dụng BĐT trung bình cộng – trung bình nhân cho 2 số dương, ta có:

4

a b c d 2 ab 2 cd       4 abcd suy ra

4

a b c d

4 abcd

tức t  4 Đẳng thức xảy ra khi a    b c d

Bài toán quy về “ Tìm giá trị nhỏ nhất của   1

A t t

t

  với t  4”

Dễ thấy, t  4 thì A t  đồng biến và   17

A 4

4

 đạt tại t  4

Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y z 3    Chứng minh rằng:

xyz xy yz zx 4    

Lời giải

Không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z   và x y z 3    suy ra 1 x 3  

Áp dụng Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân:

2

y z yz

2

  

Đặt A xyz xy yz zx     , suy ra y z 2 y z 2  

     

3 2

Xét f x  x 3  9x 2  15x 9  , với 1 x 3  

Ta có: f ' x  3x 2  18x 15 0   với mọi x  1; 3 , suy ra hàm số f x  nghịch biến trên đoạn 1; 3  Với

   

x 1; 3 : f x f 1 16

     suy ra 1  

4

 hay A 4 

Bài 5: Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 1, y 1   và 3 x y   4xy Tìm giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức 3 3

Lời giải

4xy 3 x y 6 xy xy

4

     Hơn nữa vì x 1, y 1   nên x 1 y 1     0 tức

3

xy 1 x y xy 1 xy

4

4   , 64 3  2 6 16

12

 khi

  3 3

x; y ;

2 2

94 max P

3

 khi    x; y  1; 3 ,  3;1

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí