Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó

Phương pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm A(1;0; 2) và có vectơ pháp tuyến (1; 1; 2)

Lời giải

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm A(1;0; 2) và có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2) có phương trình là: 1(x 1) 1(y 0) 2(z2)0   x y 2z 3 0

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: x y 2z 3 0

2 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng    đi qua 1 điểm M0x y z0; 0; 0và song song với 1 mặt phẳng

   :AxByCz D 0cho trước

Phương pháp giải

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

1 VTPT của    là n   A B C ; ; 

2    //   nên VTPT của mặt phẳng    là n  n   A B C ; ; 

3 Phương trình mặt phẳng    :A x x0B y y0C z z00

Cách 2:

1 Mặt phẳng    //   nên phương trình P có dạng: AxBy Cz D0(*), với D   D

2 Vì  P qua 1 điểm M0x y z0; 0; 0nên thay tọa độ M0x y z0; 0; 0 vào (*) tìm được D 

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P đi qua điểm M(0;1;3)và song song với mặt phẳng( ) : 2Q x3z 1 0

Lời giải

Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng( ) : 2Q x3z 1 0nên mặt phẳng( )P có phương trình dạng:

2x3z D 0 (D1)

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn Ta được: 2.0 3.3      D 0 D 9(thỏa mãn D  1 )

Vậy phương trình mặt phẳng 2 x    3 z 9 0

3 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng    đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng

Phương pháp giải

1 Tìm tọa độ các vectơ: AB AC,

2 Vectơ pháp tuyến của   là : n    AB AC ,  

3 Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C)

4 Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT n.

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0; 2), B(1;1;1),C(0; 1; 2)

Lời giải

Ta có: AB(0;1;3),AC  ( 1; 1: 4)   AB AC ,    (7; 3;1) 

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)ta có

 







 nên n cùng phương với   AB AC ,  

Chọn n(7; 3;1) ta được phương trình mặt phẳng (ABC)là: 7(x 1) 3(y 0) 1(z2)0

7x 3y z 5 0

4 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng    đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng 

Phương pháp giải

1 Tìm VTCP của  là u.

2 Vì      nên    có VTPT n u

3 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT n.

Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng

2





   





Lời giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: u d (1; 2;1)

Mặt phẳng( ) vuông góc với đường thẳng dnên ( ) có một vectơ pháp tuyến là: n u d (1; 2;1)

Đồng thời ( ) đi qua điểm O nên có phương trình là: x2y z 0

5 Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng , vuông góc với mặt phẳng   

Phương pháp giải

1 Tìm VTPT của    là n.

2 Tìm VTCP của  là u

3 VTPT của mặt phẳng    là: n    n u;  

4 Lấy một điểm M trên 

5 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng : 1 2

2



   



  



và vuông

góc với    :x2y  z 1 0

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm A0; 1; 2  và có VTCP là: u d  ( 1; 2;1)

Mặt phẳng    có VTPT là n  1; 2; 1  

Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng dvà vuông góc với   nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là:

d

n   u n      

Phương trình mặt phẳng   là: x    z 2 0

6 Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng    qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng   

Phương pháp giải

1 Tìm VTPT của    là n.

2 Tìm tọa độ vectơ AB

3 VTPT của mặt phẳng    là: n    n, AB  

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm A (1;2; 2), (2; 1;4)  B  và vuông góc với    :x2y  z 1 0

Lời giải

Có AB   1; 3;6  

Mặt phẳng    có VTPT là n   1; 2; 1   

Mặt phẳng( ) chứa A, B và vuông góc với   nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là: n    AB n ,     15;7;1 

Phương trình mặt phẳng   là: 15 x  7 z   1 27  0

7 Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và song song với   (,  chéo nhau)

Phương pháp giải

1 Tìm VTCP của  và   là u và u'

2 VTPT của mặt phẳng    là: n    u u,  

3 Lấy một điểm M trên 

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 7 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P chứa đường thẳng 1

1

1

x





  



  



và song song

Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;0;1) vectơ chỉ phương u2(1; 2; 2)

Ta có   u u1, 2    ( 6;1; 2)

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng( )P , ta có:

1

2

 







 nên n cùng phương với   u u1, 2 

Chọn n ( 6;1; 2)

Mặt phẳng( )P đi qua điểm M1(1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến n ( 6;1; 2)có phương trình:

6(x 1) 1(y 1) 2(z 1) 0

6x y 2z 3 0

     

Thay tọa độ điểm M2vào phương trình mặt phẳng ( )P thấy không thỏa mãn

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là:  6x y 2z 3 0

8 Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng    chứa đường thẳng  và 1 điểm M

Phương pháp giải

1 Tìm VTCP của  là u, lấy 1 điểm N trên Tính tọa độ MN

2 VTPT của mặt phẳng    là: n    u MN;  

3 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 8 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( ) chứa đường thẳng

1

1

x





  



  



và điểm

( 4;3;2).

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm N(1;1;1) vectơ chỉ phương u d(0; 2;1)

 5; 2; 1 

Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d và điểm M nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là: n    u MNd,     4;5;10 

Phương trình mặt phẳng   là: 4x5y10z190

9 Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng    chứa 2 đường thẳng cắt nhau  và  

Phương pháp giải

1 Tìm VTCP của  và   là u và u'

2 VTPT của mặt phẳng    là: n    u u; ' 

3 Lấy một điểm M trên  .

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 9 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P chứa đường thẳng 1

1

1

x





  



  



và

2

1 3 : 1 2

1

 



  



  



Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;1;1) vectơ chỉ phương u2(3; 2;1)

Ta có   u u1, 2    0;3;6 , M M1 2   0;0;0 

Do M M1 2  u u1, 2   0 nên đường thẳng d d1, 2 cắt nhau

Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d d1, 2 cắt nhau nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là:

1, 2 0;3;6 3 0;1; 2

Phương trình mặt phẳng   là: y2z 3 0

10 Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng    chứa 2 song song  và  

Phương pháp giải

1 Tìm VTCP của  và   là u và u, lấy M,N

2 VTPT của mặt phẳng    là: n    u MN;  

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 10 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng 1

1

1

x





  



  



và

2

4

1 2

x





  



  



Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M24;3;1 vectơ chỉ phương u2 0; 4; 2  

Ta có   u u1, 2   0, M M1 2   3; 2;0 

Do   u u1, 2   0 nên đường thẳng d d1, 2 song song

Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d d1, 2 song song nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là:

1, 1 2 2;3;6 2; 3; 6

Phương trình mặt phẳng   là: 2x3y6z 7 0

11 Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng   đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng  và  chéo nhau cho trước

Phương pháp giải

1 Tìm VTCP của  và ’ là u và u'

2 VTPT của mặt phẳng    là: n    u u;  

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 11 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P đi qua điểm A(1;0; 2) và ( )P song song với

hai đường thẳng 1

1

1

x





  



  



Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1; 0;1) vectơ chỉ phương u2(1; 2; 2)

Ta có   u u1, 2    ( 6;1; 2)

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng( )P , ta có:

1

2

 







 nên n cùng phương với   u u1, 2 

Chọn n ( 6;1; 2) ta được phương trình mặt phẳng ( )P là:

6(x 1) 1(y 0) 2(z 2) 0

6x y 2z 10 0

     

12 Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng    đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng    P , Q cho trước

Phương pháp giải

1 Tìm VTPT của  P và  Q là n P và nQ.

2 VTPT của mặt phẳng    là: n    n nP; Q 

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 12 : Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M( 1 2 5; ; ) và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) :Q x2y3z 1 0 và ( ) : 2R x3y  z 1 0

Lời giải

VTPT của ( )Q là nQ(1; 2; 3)  , VTPT của ( )R là n R(2; 3;1).

Ta có   n nQ, R      ( 7; 7; 7) nên mặt phẳng ( )P nhận n(1;1;1) là một VTPT và ( )P đi qua điểm M( 1 2 5; ; ) nên có phương trình là: x   y z 2 0

13 Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng    song song với mặt phẳng   và cách   :AxBy Cz  D 0 một khoảng k cho trước

Phương pháp giải

1 Trên mặt phẳng   chọn 1 điểm M

2 Do   //  nên   có phương trình AxBy Cz D0 (D   D)

3 Sử dụng công thức khoảng cách d      ,  d M ,   k để tìm D 

Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( ) :Q x2y2z 1 0 và cách ( )Q một khoảng bằng 3

Lời giải

Trên mặt phẳng ( ) :Q x2y2z 1 0chọn điểm M(1 0 0; ; )

Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x2y2z D 0với 1

Vì d P(( ), ( ))Q 3 d M P( , ( )) 3

3

D

| 1 D| 9 8

10

D D

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y2z 8 0và x2y2z100

14 Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng    song song với mặt phẳng   :AxBy Cz  D 0cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước

Phương pháp giải

1 Do   //  nên   có phương trình AxBy Cz D0 (D   D)

2 Sử dụng công thức khoảng cách d M ,   k để tìm D 

Ví dụ 14 : Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( ) :Q x2y2z 1 0 và ( )P cách điểm M( ;1 2 1 ; )một khoảng bằng 3

Lời giải

Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x2y2z D 0với 1

Vì d M P( , ( )) 3

3

D

| 5 D| 9 4

14

D D

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y2z 4 0và x2y2z140

15 Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng    tiếp xúc với mặt cầu  S

Phương pháp giải

1 Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu  S

2 Nếu mặt phẳng    tiếp xúc với mặt cầu  S tại M S thì mặt phẳng    đi qua điểm M và có VTPT là

MI

3 Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: AxBy Cz  D 0 (D chưa biết)

Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I ,   R để tìm D

Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( ) :Q x2y2z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( ) : S x2 y2 z2 2 x  4 y  2 z   3 0

Lời giải

Mặt cầu ( )S có tâm I( 1; 2;1) và bán kính R ( 1)2 22 12 3 3

Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x2y2z D 0với 1

Vì ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S nên d I P( , ( )) R 3

3

D

|1 D| 9 10

8

D D

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y2z100và x2y2z 8 0

16 Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng    chứa một đường thẳng và tạo với một mặt phẳng

   :AxByCz D 0cho trước một góc  cho trước

Phương pháp giải

1 Tìm VTPT của   là n

2 Gọi n( ;A B C  ; )

3 Dùng phương pháp vô định giải hệ:

( n n ; )

n

 



 







4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz, cho mặt phẳng  P và đường thẳng d lần lượt có phương trình

 P :x2y  z 5 0 và : 1 1 3

2

x

tạo với mặt phẳng  P một góc 600

Lời giải

Giả sử mặt phẳng ( )Q có dạng AxBy Cz  D 0 2 2 2 

0

A B C 

Chọn hai điểm M 1; 1;3 , N 1;0; 4d

Mặt phẳng  Q chứa d nên M N,  Q   1   1 3 0 2



             Suy ra mặt phẳng có phương trình là AxBy  2A B z  7A4B0 và có VTPT nQ   A B ; ; 2  A B  

0

cos(60 )

2

(4 2 3) B

A

Cho B  1 ta đượcA(42 3)

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng

 

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí