Ứng dụng tích phân giải bài toán vật lý và bài toán thực tế

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN VẬT LÝ VÀ BÀI TOÁN THỰC TẾ

1 Lý thuyết

- Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian v f t  (m/s) Quãng đường chất điểm chuyển động trên trục Ox từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 là 2  

1

t

t

S  f t dt

- Điện tích q t  là nguyên hàm của cường độ dòng điện i t  tại thời điểm ( ) nghĩa là qidt

Ví dụ 1: Một ô tô chạy đều với vận tốc 10 (m/s) thì người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, ô tô chuyển

động chậm dần đều với vận tốc v t   5t 10(m/ s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Giải:

Khi vật dừng hẳn v10 5   t 0 t 2

Từ lúc đạp phanh tới lúc dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường là: 2 

0

Chọn C

Ví dụ 2: Một công ty có hai dự án đầu tư Q1 và Q2 Giả sử sau một thời gian t năm thì dự án thứ nhất sinh lợi nhuận với tốc độ là 2

1( ) 100

Q t  t (trăm đô la/năm) Tính lợi nhuận vượt thực tế từ lúc ban đầu tới khi tốc độ sinh lợi nhuận dự án thứ 2 vượt bằng dự án đầu tư thứ nhất

A Xấp xỉ 5243,83 (trăm đô la) B Xấp xỉ 4243,83 (trăm đô la)

C Xấp xỉ 4143,83 (trăm đô la) D Xấp xỉ 4144,83 (trăm đô la)

Giải:

Thời điểm mà tốc độ sinh lợi nhuận dự án thứ 2 vượt bằng dự án đầu tư thứ nhất thỏa mãn:





Lợi nhuận vượt thực tế từ lúc ban đầu t=0 cho tới t=23 là:

2

24863

6

Chọn C

2 Bài tập

Bài 1: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N x  Biết rằng   2000

'

1

x



 và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn là?

A 10130 B 5130 C 3154 D 10129

Giải:

Theo đề ta có:

2000

1

x



Ta có:

5000

C

 

Ngày thứ 12: N(12)2000.ln13 5000 10129,9 

Chọn D

Bài 2: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a m s /  thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t  5t a (m/ s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 mét thì vận tốc ban đầu a là bao nhiêu?

A a40 B a80 C a20 D a25

Giải:

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc = 0 5 0

5

a

ứng dụng tích phân ta có:

2

20( ) 1

20 10

a

 





Vậy a20(m/ s)

Chọn C

Bài 3: Trong quá trình lắp ráp tôn cho một mái nhà, người công nhân đã vô tình cắt tấm tôn đi theo như

hình vẽ dưới đây Hỏi diện tích phần tôn mà người công nhân đó cắt hỏng là bao nhiêu, biết rằng họ đã khảo sát đường cắt hư có dạng hàm số 3

y f x x  x

A S 81.75 (đvdt)

B S 74.25 (đvdt)

C S 79.35 (đvdt)

D S 78.69 (đvdt)

Giải:

Theo kiến thức tích phân đã học, Ta có: Diện tích ( )

b

a

f x dx

Áp dụng, Ta có:

4

ton

x

Chọn A

Bài 4: Người ta sản xuất một chiếc cốc bằng cách xoay miền phẳng giữa y2x2 và y x 1x0 quanh trục Ox Hãy tìm thể tích vật liệu cần đủ để làm nên chiếc cốc này Biết đơn vị đo là cm

4.7

4.817

4.527

4.327

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

0,5

x

x





Vì giả thiết x0 nên ta chọn x1

Như vậy thể tích vật liệu được tính bởi:

 

2

1 3

0

4.817

x





Chọn B

Chú ý: trên  0;1 ta có: x 1 2x2 nên ta có thể phá trị tuyệt đối  2  2 2

Bài 5: Người ta chứng minh được nếu lực là một giá trị biến thiên (như nén lò xo) và được xác định bởi

hàm F(x) thì công sinh ra theo trục Ox từ a tới b là ( )

b

a

A F x dx Người ta tiến hành thí nghiệm nén lò xo đang ở trạng thái tự nhiên dài 1 m  xuống còn 0.75 m  Hãy tìm công của lò xo khi biết hằng số lò xo

là k 16N/m

A 0.5N m/  B 0.6N m/  C 0.7N m/  D 0.8N m/ 

Giải:

Ta có: F 16x

Vậy nên công

0.25

0.25 2 0 0

Chọn A

Bài 6: Người ta tiến hành thí nghiệm kéo căng một chiếc lò xo bằng một lực 40N để kéo căng một chiếc

lò xo có độ dài tự nhiên từ 10(cm) đến 15(cm) Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài 15(cm) đến 18(cm)

Giải:

Khi chiếc lò xo bị kéo thêm một đoạn x(m) so với độ dài tự nhiên thì chiếc lò xo tác dụng lại với một lực

( )

f x kx

Khi kéo căng lò xo từ 10(cm) đến 15(cm) thì nó dãn ra một đoạn 5(cm)=0.05(m) Lúc này, Ta có:

0.05

Do đó f x( )800x và công sinh ra khi kéo lò xo từ 15(cm) đến 18(cm) là:

0.08

2

x

Chọn C

Bài 7: Số lương đám vi trùng ở ngày thứ t xác định bởi N(t) với   1000

'

N t

t



 Biết rằng ngày đầu tiên đám vi trùng có 2500 con Tính số lượng đám vi trùng ở ngày thứ 20 (làm tròn kết quả đến hàng trăm)

A 11459 con B 8959 con C 10000 con D 3284 con

Giải:

t



 Ở ngày thứ nhất có 2500 con vi trùng nên

Do đó: N 20 500ln 2.20 8 13483284 con

Chọn D

Bài 8: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t0 s chuyển động thẳng với vận tốc v t  t 5t (m/ s)

Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại

A 125

125

125

125

6 m

Giải:

Vật dừng lại khi v = 0 5  0 0( )

5

t





Suy ra thời gian vật đi là 5s

Ứng dụng tích phân ta có: 5 5  

125 5

6

S v dt t t dt  m Chọn D

Bài 9: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt đến vận

tốc 6m/s Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A

A 25 /m s B 46m s/ C 24m s/ D 47m s/

Giải:

A xuất phát tại t = 0

B xuất phát tại t = 12

A gặp B tại t = 20

Từ 0s đến 8s A chuyển động nhanh dần đều nên:

b





Quãng đường mà A đi được là:

8

0

3

4

A

Vì B chuyển động nhanh dần đều nên v B mtn tại t = 0, v B  0 n = 0 do đó v B mt

8

2 3

3

B

B

mt

m

 



Do đó v B 8 3.824

Chọn C

Bài 10: Một ô tô xuất phát với vận tốc v t1( ) 2t 10 (m/ s)sau khi được một khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v t2( )20 4 (m/ s) t và đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa thì dừng lại Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét

Giải:

Ban đầu chạy với vận tốc v1 trong khoảng thời gian t1 và khi phanh ô tô chuyển động sau khoảng thời gian

2

t thì xe dừng lại, tại thời điểm phanh xe thì v2(t0) 20, cũng chính là vận tốc cuối của v1 , do đó

1( )1 21 10 20 1 5

Khi xe dừng hẳn thì v t2( )2 20 4 t2   0 t2 5

Ta có: v t s t  S v t dt 

Quãng đường mà xe đi được là:

Chọn D

Bài 11: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t 160 10 (m/ s) t Hỏi rằng trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

A 16 m B 130m C 170 m D 45m

Giải:

Khi vật dừng hẳn: 160 10 t  0 t 16

Quãng đường vật di chuyển được trong 16s là:

16

0

Quãng đường vật di chuyển được trong 13s đầu là:

13

1

0

Quãng đường vật di chuyển được trong 3s trước khi dừng hẳn là:

Chọn D

Bài 12: Học sinh lần đầu thử nghiệm “tên lửa tự chế” phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận

tốc 15m/s Hỏi sau 2,5s tên lửa lên đến độ cao bao nhiêu? (giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực và gia tốc trọng trường là 2

9,8(m/ s )

A 61,5m B 6,875m C 68,125 m D 30,625 m

Giải:

Sau 2,5s tên lửa ở độ cao là;

 

2,5

0

Chọn C

Bài 13: Vi khuẩn HP (helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng F(m) Biết nếu phát

hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa Biết

  1000

'

F m

m



 và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn trong dạ 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân

có cứu chữa được không?

A 5433,99 và không cứu được B 1499,45 và cứu được

C 283,01 và cứu được D 3716,99 và cứu được

Giải:

Số con vi khuẩn sau 15 ngày bị nhiễm bênh là:

15

0

1000



Chọn D

Bài 14: Giả sử sau t năm dự án đầu tư thứ nhất sẽ phát sinh lợi nhuận với tốc độ P t1( ) t2 50 trăm đô la/năm, trong khi đó dự án đầu tư thứ hai phát sinh lợi nhuận với tốc độ P t2( )200 5 t trăm đô la/năm

Từ lúc bắt đầu đến lúc tốc độ phát sinh lợi nhuận của dự án hai bằng tốc độ phát sinh lợi nhuận dự án một thì lợi nhuận của dự án hai hơn dự án một bao nhiêu?

A 1690 trăm đô B 1695 trăm đô

C 1687,5 trăm đô D 1685 trăm đô

Giải:

Đầu tiên ta phải hiểu rằng lợi nhuận là nguyên hàm của tốc độ phát sinh lợi nhuận

Khi dự án đầu tư thứ hai có tốc độ sinh lợi nhuận bằng dự án đầu tư thứ nhất:

10(L)

t





Lợi nhuận dự án hai lớn hơn dự án một là:

2

200 5 t dt t 50dt 1687,5

Chọn C

Bài 15: Một vật chuyển động với vận tốc 10(m/s) thì tăng tốc với gia tốc   2 2

a t  t t Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

A 3600m B 4300

1750

1450

3 m

Giải:

Quãng đường một vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm tt o(s) đến thời điểm t t1(s) với vận tốc v t( ) m/ s Được tính theo công thức 1  

0

t

t

sv t dx, ở đây vận tốc v(t) là nguyên hàm của gia tốc a(t)

Chọn B

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí