Phương pháp chứng minh phương trình có n nghiệm

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ n NGHIỆM

1 Phương pháp

“ Hàm số y f x    xác định, liên tục trên D và nếu tồn tại một số âm  sao cho y   0 và tồn tại một số dương  sao cho y   0

Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, phương trình y 0  có ít nhất một nghiệm c    ;

Nếu ta chứng minh được hàm số y đơn điệu ( tức đồng biến hoặc nghịch biến ) trên khoảng    ; Từ

đó suy ra rằng phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc khoảng    ; ”

Ví dụ 1 Chứng minh rằng phương trình: 5

x  5x 5 0   có nghiệm duy nhất

Lời giải

Xét hàm số   5

f x  x  5x 5  ,   x

Ta có: f ' x  5 x 4   1 5 x 2  1 x 2  1, vì x2  1 0,   x nên f ' x   0 x   1 hoặc x 1 

Từ bảng biến thiên, suy ra:

 

f x     0, x 1 phương trình không có nghiệm khi   x 1

Vì f 1   9 và  

x lim f x

   nên phương trình có nghiệm x 1 

Mặt khác: f x  đồng biến trên khoảng 1; , do đó hàm số y cắt trục hoành tại 1 giao điểm Vậy, phương trình : x 5  5x 5 0   có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2 Chứng minh phương trình: x 5  x 2  2x 1 0   có nghiệm duy nhất

Lời giải

5 2

x  x  2x 1  hay 5  2

x  x 1 

Dễ thấy 5

x       0 x 0 x 1 1  2

x 1 1

   tức x5  1 hay x 1  Xét hàm số y  x 5  x 2  2x 1  xác định và liên tục trên nửa khoảng  1; 

Dễ thấy y 1 y 2     0 phương trình x5 x2 2x 1 0   có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  1; 2 , hơn nữa hàm số y đồng biến ( y' 0,    x  1; 2 ) trong khoảng này Như vậy, phương trình

5 2

x  x  2x 1 0   có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng  1; 2

Ví dụ 3 Chứng minh rằng phương trình : 1 5 3

x x 4x 3 0

5     có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng  1; 2

Lời giải

Xét hàm số 1 5 3

y x x 4x 3 5

    xác định và liên tục trên

Ta có: y' x  4 3x2 4 và

 

 

1

x 1, y 1

5 y' 0

29

x 1, y 1

5



  



Bảng biến thiên, suy ra: y 0, x 1    phương trình không có nghiệm khi   x 1

Mặt khác   29

y 1

5

  và

x lim y

  , do đó phương trình đã cho có nghiệm x 1  , hơn nữa

y 2 0 y 1 y 2 0

5

     phương trình 1x5 x3 4x 3 0

5     có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  1; 2 Hơn nữa y đồng biến trên khoảng 1; , do đó hàm số y cắt trục hoành tại 1 giao điểm có hoành độ

 

x  1; 2

Vậy, phương trình : 1x5 x3 4x 3 0

5     có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng 1; 2

2 Bài tập

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình:

1 x5 5x 5 0   có nghiệm duy nhất

2 x5 x2 2x 1 0   có nghiệm duy nhất

3 2x2 x 2 11   có nghiệm duy nhất

4 5

2

x

x 2

 có đúng hai nghiệm dương phân biệt

5 2x5 3x4 3x2 2x 1 0

5  4  2    có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc  1;1

6 2x5 3x4 3x2 2x 1 0

5  4  2    có ba nghiệm phân biệt

7 x5 5x4 15x3 x2 3x 7 0   có nghiệm thực duy nhất

8 x2012 2x3  x6 1 có đúng 1 nghiệm thực dương

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình : x2  1 x4 2x2  1 x5  0có đúng một nghiệm

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1 Ta có: f ' x  5 x 4   1 5 x 2  1 x 2  1, vì x2  1 0,   x nên f ' x   0 x   1 hoặc x 1 

 

f x     0, x 1 phương trình không có nghiệm khi   x 1

Vì f 1   9 và  

x lim f x

   nên phương trình có nghiệm x 1 

 

f x đồng biến trên khoảng 1; , do đó hàm số y cắt trục hoành tại 1 giao điểm

2 x5  x2 2x 1  hay 5  2

x  x 1 

Dễ thấy x 5       0 x 0 x 1 1  2

x 1 1

   tức x5  1 hay x 1  Xét hàm số y x  5  x 2  2x 1  xác định và liên tục trên nửa khoảng  1; 

Dễ thấy y 1 y 2     0 phương trình x5 x2 2x 1 0   có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  1; 2 , hơn nữa hàm số yđồng biến ( y' 0,    x  1; 2 ) trong khoảng này Như vậy, phương trình x5 x2 2x 1 0  

có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng  1; 2

Chú ý: Có f '(x) 5x  4 2x 2 2x(x   3  1) 2(x4  1) x5 0

Mà f(1).f(2) 0  phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

3 Cách 1 :Xét hàm số y 2x  2 x 2  liên tục trên nửa khoảng  2; 

Ta có: x 5x 8   

x 2



x lim y x lim 2x x 2

     

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị của hàm số 2

y 2x  x 2  luôn cắt đường thẳng y 11  tại duy nhất một điểm

y f x   2x x 2 11   liên tục trên nửa khoảng  2; 

Ta có f 2   11,f 3  7 Vì f 2 f 3     77 0   f x  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  2; 3

x 2



 liên tục và đồng biến trên khoảng  2; 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất thuộc khoảng  2; 3

4 Điều kiện: x  2

Xét hàm số :   5

2

x

x 2

 với x 2

1

f ' x 5x

(x 2)

3

5 2

3x

f " x 20x 0 , x 2

x 2



 

f ' x 0

  có nhiều nhất một nghiệm  f x  0 có nhiều nhất là hai nghiệm và

x

x 2

lim f x ,f 3 0, lim f x f x 0



Bài 2: x5  x2  1 x4 2x2  1 x2  1 (x2 1)2    1 x 1

Xét hàm số f x  x 2   1 x 4  2x 2   1 x 5, khi đó hàm số f liên tục trên [1;  )và phương trình (1) có

dạng f(x) 0 

f(1) 2 1 0

x



nên phương trình f x  0 có nghiệm thuộc

(1;  ).

f '(x) 4x 2x 5x x 2 x (4 5x) 0

  Suy ra hàm số

 

f x nghịch biến trên [1;  )

Vậy phương trình f x  0có đúng một nghiệm

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí