Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng \({\bf{K}} = \left( { - \infty ;\alpha } \right)\), \(\left( {\beta ; + \infty } \right)\), \(\left( { - \infty ;\alpha } \right],\) \(\left[ {\beta ; + \infty } \right)\)

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG

 ; 

  

K ,    ;  ,    ; ,   ; 

1 Phương pháp

Chú ý 1:

* Hàm số y f x,m   tăng trên

x

y' 0 x min y' 0



* Hàm số y f x,m   giảm trên

x



Chú ý 2: Đặt f x  ax 2  bx c a 0    

f x 0 có hai nghiệm x , x1 2 thỏa mãn : x1  x2 Đặt t x  , khi đó g t   f t  Bài toán trở

thành g t 0 có hai nghiệm trái dấu tức t1 0 t2 P 0

f x 0 có hai nghiệm x , x1 2 thỏa mãn : x1x2  Đặt t x  , khi đó g t   f t  Bài toán trở

thành g t 0 có hai nghiệm cùng âm nghĩa là t1t2   0 0, S0, P0

f x 0 có hai nghiệm x , x1 2 thỏa mãn  x1x2 Đặt t x   , khi đó g t   f t  Bài toán trở thành

 

g t 0 có hai nghiệm cùng dương nghĩa là 0t1t2  0, S0, P0

 Để ý f x 0có hai nghiệm x , x1 2 thỏa mãn:

x    x  x   x     0 x x   x  x    0

1 2 1 2

0

 



      

     

0

 



      

     



Ví dụ:

Cho hàm số (m 1)x2 2mx 6m

y

x 1



 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

1 Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó; 2 Đồng biến trên khoảng 4; 

Lời giải

TXĐ: D \ 1 

1 Xét hai trường hợp

TH1: Khi m 1, ta có hàm số y 2x 6

x 1





4 y' (x 1)



 > 0 với mọi x D

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

Vậy, m 1 thỏa yêu cầu bài toán

TH2: Khi m 1, ta có

2

2

y'

(x 1)



 Đặt g(x) (m 1)x  22(m 1)x 4m  và ta có y ' cùng dấu với g(x)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định    x D, y'     0 x D ,g(x)  0

1 m

m 1 0



Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là 1; 1

5

2 Theo câu trên m 1 thỏa mãn đề bài

Với m 1 Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng 4;    x (4;) ,g(x)0

2 2

2x x

x 2x 4



 

2 (do x 2x 4 0 x (4;    ))

Xét hàm   22x x2

h x

x 2x 4





  , khi đó (1)   x (4;) ,h(x)mta lập bảng biến thiên của h x  trên (4;  )

8x 8

(x 2x 4)



2

2 2

2 4

x 1

x

  



 

 

Dựa vào bảng biến thiên của h x  suy ra   x (4;  ) , h(x)  m    1 m

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là [ 1;   )

2 Bài tập

Bài 1: Định m để hàm số :

1 y 2x 1





 nghịch biến trên (2;)

2 y mx 4

x m





 nghịch biến trên khoảng ;1

3 y 2x2 3x m

x 1



 đồng biến trên khoảng (   ; 1)

4 y x2 2mx 3m2



 nghịch biến trên khoảng (  ;1)

5 y x2 5x m2 6



 đồng biến trên khoảng 1;

6 y mx2 6x 2



 nghịch biến trên nửa khoảng  1; 

Bài 2: Định m để hàm số :

1 y x 3 (1 2m)x2 (2 m)x m 2  đồng biến trên khoảng (0;  )

2 y x 33x2 mx 4 đồng biến trên khoảng (  ; 0)

3

     đồng biến trên 1;

4 y x 3(m 1)x 2(2m23m 2)x m(2m 1)   đồng biến trên  2; 

3

      đồng biến trên khoảng 2;

6 y  x 3 m  1 x 2 2m 2  3m  2 x  2013m 2m  1 đồng biến trên nửa  2; 

Bài 3: Định m để hàm số :

1 y 2x 33(2m 1)x 26m(m 1)x 1  đồng biến trên khoảng (2;  )

2 y x 3(m 1)x 2(2m23m 2)x nghịch biến trên (2;  )

3 y 1(m2 1)x3 (m 1)x2 2x 1

3

      (m   1)nghịch biến trên khoảng (  ; 2)

4 y 1mx3 (m 1)x2 3(m 2)x 1

3

      đồng biến trên (2;  )

5 y  x3 3x2mx 4 nghịch biến trên khoảng 0;

6 y 2x 32x2mx 1 đồng biến trên khoảng 1;

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1 Hàm số nghịch biến trên (2;   ) hàm số xác định trên (2;  ) và   x (2;  ), y'  0

1

2

 

2 Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 khi và chỉ khi  

    





  

2



 

  



  

   2 m 2   2 m   1

m 1

3 Ta có: f(x) 0  m 2x24x 3 Đặt g(x) 2x 24x 3  g'(x) 4x 4  

Hàm số cho đồng biến trên (   ; 1)

( ; 1]

 

4 Đặt t x 1  ,khi đó :f(x) 0  trở thành: g(t)  t2 2(1 2m)t m  24m 1 0 

Hàm số cho nghịch biến trên (  ;1) y' 0, x ( ;1) 2m 1

g(t) 0, t 0

 

         

Với m 1

2

 thì  

' 0 ' 0

S 0

P 0

 



 



  



 



 



 



 

 







 

 

 



x  6x   9 m  0,   x 1;  ( vì  2

x  3  0,  x 1) hay  2 2

x  3  m với   x 1;  Xét

g x  x 3  trên khoảng 1; và g' x  2 x 3  với x 1   x 3 4 tức g' x  8 0 với

 

x 1;

   g x  đồng biến trên khoảng 1; và  

x 1

lim g x 16





x lim g x

   Khi đó 2  2

m  x  3 ,   x 1;  2

m 16

  hay   4 m 4

6 Hàm nghịch biến trên nửa khoảng  1;   f x  mx 2  4mx 14 0   ,    x 1;   

Cách 1: Dùng tam thức bậc hai

 Nếu m 0 khi đó   không thỏa mãn

 Nếu m 0 Khi đó f x  có   4m 2  14m

 Nếu 0 m 7

2

  thì f x   0 x , nếu f x có hai nghiệm x , x1 2 thì f(x) 0   x x ; x1 2 nên   không thỏa mãn

 Nếu m 0 hoặc m 7

2

 Khi đó f x 0 có hai nghiệm



Vì m 0 hoặc m 7

2

  x1 x2f x   0 x x1 hoặc x  x2

Do đó  2

2

f(x) 0 x      1; x    1 3m  4m  14m m 14

5

x 1

14





x 1

      

Bài 2:

 

2 Ta có: y3x26x m y có    3(m 3) 

+ Nếu m 3 thì   0  y    0, x  hàm số đồng biến trên  m 3 thoả

+ Nếu m 3 thì   0  phương trình y   0 có 2 nghiệm phân biệt x , x1 2

(x  x ) Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (  ; x ),(x ;1 2  )

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (  ; 0)  0  x1 x2 

0



 

 



 





  

 



 



3   x (1; ),x22mx 1 2m 0     x (1:),x2 1 2m(x 1)

2

x 1



 Xét hàm số   x2 1

f x

x 1





 , x (1; )

2 2

(x 1)

 với mọi x (1;   )

x [1; )

1

2

 

4 f(x) 3x 22(m 1)x (2m  23m 2) 0 x [2;    )

Vì x1x2 nên f(x)  0 x x1 hoặc xx2

Do đó f(x) 0 x [2;    ) x2    2 ' 5 m

2

5 y' 0, x   2;   mx 2  4 m 1 x m 1 0, x       2; 

2

4x 1



Xét hàm số   24x 1  



2

2x 2x 1

nghịch biến trên

khoảng 2;và    

x

x 2

9

13



13



6 f x  3x 2  2 m  1 x 2m 2  3m  2 0 , x    2; 

Vì tam thức f x  có  ' 7m27m 7 0 , m    nên f x  có hai nghiệm :

  Vì x1x2 nên f x  x x1 hoặc xx2

Do đó f x      0 x 2;  x 2      2 ' 5 m    2 m 3

2

Bài 3:

1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (  ; m), (m 1;   ), hàm số đồng biến trên (2;  )  m 1 2  

m 1

2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;  )  y'  0và x1x22

 11   22 

' 0

' 0

 



 









3

2





 

  



3

m 2 2

   

3 Đặt t x – 2 ta được: y g(t) (m 21)t2(4m22m 6)t 4m  24m 10

Hàm số cho nghịch biến trong khoảng (  ; 2)  g(t)  0,   t 0

0

 

 

2





 TH2:

a 0 0

S 0

P 0

 

 



 



 





2 2 2

m 1 0 3m 2m 1 0 4m 4m 10 0 2m 3

0

m 1

  







 



 

4 Xét hàm số   x2 2x

g x

4x 1

 



 liên tục trên khoảng  0;1

Ta có:  

2 2

4x 2x 2 g' x

4x 1



 ,  x  0;1 : g' x 0 1

x 2

g

 

 

x 0

lim g x 0,





x 1

1 lim g x

5





 Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 0

5 y'   3x 2  6x m 0, x 0      m 3x  2  6x f x   

6 Cách 1: y' 0, x   1;   g x  6x 2  4x   m,x 1 

g' x 12x 4 0, x 1    g x đồng biến trên khoảng 1;

x

lim g x lim 6x 4x 2, lim g x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2  m m 2

3

      hoặc f x 0 có hai nghiệm thỏa mãn

 

1 2

x x 1 * Đặt t x 1    x t 1, khi đó g t   f t 1 Điều kiện  *  g t  6t 2    8t 2 m có hai nghiệm không dương, tức là

' g g g

0

 

 



 



 

b

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí