Một số bài toán ứng dụng về chuyển động

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

Một số bài toán ứng dụng về chuyển động

1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng  a b; và điểm x0 a b; nếu tồn tại giới hạn 0

0 0

( ) ( )

lim

x x





 hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y f x  tại x 0

Ký hiệu  

0

0 0

0

( ) ( )

x x

y x







 hoặc f ' x0

Lưu ý: Nếu hàm số có đạo hàm trong khoảng  a b; thì liên tục trên khoảng đó nhưng ngược lại thì chưa chắc đúng

2 Các quy tắc tính đạo hàm

Chú ý: uu x v , v x 



BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP

 C '0 (C là hằng số)

 x '1

.

2



   

 

   

 

  với u0

2

x

x

2

u u

u



  với u>0

sinx cosx sinuu.cosu

cosx  sinx cosu  u.sinu

  12

tan

cos

x

x

  với

2

x k

cos

u u



2

u k

  12

cot

sin

x

x

sin

u u

u

   với uk

  1

ln x

x

u



  với u 0

  1

log

ln

a x

x a

ln

a

u u

u a



  với u 0

 x x

3 Bài tập

Bài 1:

Một vật chuyển động có phương trình là   40sin ,    ,

3

  quãng đường tính theo đơn vị mét

a Tính vận tốc của vặt chuyển động tại thời điểm t=4(s)

b Tính gia tốc của vật chuyển động tại thời điểm t=6(s)

Giải

b) Ta có:

Bài 2:

     

a Tính vận tốc của vật rơi tự do tại thời điểm t=6(s)

b Sau thời gian bao lâu thì vật rơi tự do đạt vận tốc 50m s/ 

Giải

a Ta có v t S t' 10t

Vậy vận tốc thời điểm t6 s là: v 6 S' 6 10.660m s/ 

b Vậy để vận tốc của vật rơi do đạt 50m s/  thì: 50 10 t t 5 s

Bài 3:

Một vật chuyển động có vận tốc được biểu thị bởi công thức là   2  

v t  t  t t trong đó v t( ) tính theo đơn vị là (m/s)

a Tính gia tốc của vật tại thời điểm t=2(s)

b Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc chuyển động của vật bằng 12 m/s

Giải:

a) Ta có: a t v t' 10t7 Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t 2 s

     2

b) Vật tại thời điểm vận tốc chuyển động của vật bằng 12 m/s:

2, 4(loai)

t

t





Với        2

Bài 4:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật   2 3

giá trị lớn nhất khi t bằng bao nhiêu

Giải:

Ta có:     2

 

 

v t      t t

BBT

 

'

V(t)

max

Vậy vận tốc của chuyển động đạt GTLN khi t=1 Chọn D

Bài 5:

Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước

đổ về hồ Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức   2 3

3

t

h t  t t  Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy đinh trước 5 giờ Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước

A 15h B 16h C 17h D 18h

Giải:

Ta có:

 

 

2 2

2(loai)

12 (t/ m)

t

t

 





BBT

 

'

 

max

Vậy để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày Chọn A

Bài 6:

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t   5t 10, ( ) ,t s  trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

A 0,2m B 2m C 10m D 20m

Giải:

Ta có: v0 10m s/ 

Gia tốc của ô tô chuyển động chậm dần đều: av t'  5

Tại thời điểm ô tô dừng lại thì vận tốc bằng 0

t

Vậy ô tô còn có thể đi được quãng đường là 10m

Chọn C

Lưu ý:

Bài này còn có thể áp dụng tích phân để tìm quãng đường di chuyển của ô tô khi dừng lại

Bài 7:

Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 300km (tới nơi sinh sản) Vận tốc dòng nước 6km/h Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong thời gian t giờ cho bởi công thức   3

,

E v cv t trong đó c là hằng số; E tính bằng jun Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất là bao nhiêu?

Giải:

Vận tốc của con cá khi bơi ngược dòng: v6km h/  , v6

Thời gian con cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản: 300  

6

v



Năng lượng tiêu thụ của con cá khi bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản:

 

 

2

2

  300 2

E v

BBT

 

'

E(x)

Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng v9km h/  Chọn A

Nhận xét:

Đối với bài này có rất nhiều em tìm nhầm hàm    3 300  

6

6

v

 Và sẽ tìm được chọn

v km h đó là Chọn sai hoàn toàn vì vận tốc v trong biểu thức   3

E v cv t , v là vận tốc thực của con

cá khi di chuyển, còn t là thời gian con cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản ứng với vận tốc của con cá

đã trừ đi vận tốc dòng nước

Bài 8:

Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần Trong đó phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v10km h/

thì phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1

km đường là nhỏ nhất?

Giải:

x (giờ)

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: 1.480

x (ngàn đồng)

Khi vận tốc v10km h/ thì chi phí cho quãng đường 1 km ở phần thứ hai là:

1

10  (ngàn đồng)

Xét tại vận tốc x km h / , gọi y (ngàn đồng) chi phí cho quãng đường 1 km tại vận tốc x thì chi phí cho quãng đường 1 km tại vận tốc x, ta có: 3

10

3

3 1000

x

Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1 km đường là:   480 3 3

1000

x

P x

x

Bài toán trở thành tìm x để P x  nhỏ nhất

 

 

2 2

2 2

3 3

'

1000

1000

''( )

1000

x

P x

x

x

x x

P x

x P

Suy ra P x  đạt GTNN tại x20

Vậy vận tốc của tàu x20km h/ 

Chọn C

Bài 9:

Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động 1 2

2

S gt , trong đó 2

g m s và t tính bằng giây (s) Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s bằng:

Giải:

'

vS gt nên tại thời điểm t5s Vận tốc của vật là:

 

v  m s CHọn A

Bài 10:

Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình 3 2

S t t  t, trong đó t tính bằng giấy (s) và S tính bằng mét (m) Gia tốc của chất điểm lúc t=2s là:

A 4m s/ 2 B 6m s/ 2 C 8 /m s2 D 12m s/ 2

Giải:

'' 6 t 6

aS   nên tại thời điểm t=2s thì gia tốc của chất điểm là:  2

Chọn B

Bài 11:

Cho chuyển động thẳng theo phương trình 3 2

S  t t  t , trong đó t tính bằng giấy (s) và S tính bằng mét (m).Gia tốc chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là:

A 0m s/ 2 B 6m s/ 2 C 24m s/ 2 D 12m s/ 2

Giải:

2

Tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu:

 

3

t





Với t1 thì gia tốc của chuyển động là:  2

Chọn D

Bài 12:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật 1 4 3 2

S t  t  t , trong đó t tính bằng giấy (s) Chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm:

A t1 B t16 C t5 D t3

Giải:

 

1

t

  

     



Vậy chất điểm đạt GTNN tại t= 1s

Chọn A

Bài 13:

Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc   2 2

a t  t t m s Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc?

4300

5800

3 m

Giải:

 

     

2

3

 

Theo đề ta có: vận tốc ban đầu là 10m s/ 

10

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là:   4300 

10

3

Chọn C

Bài 14:

Một vật chuyển động với vận tốc v t m s/ , có gia tốc   3  2

1

t



 vận tốc ban đầu của vật

là 6m s/ Vận tốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

Giải:

Vận tốc của vật sau 10 giây là v  6 7 13m s/  Chọn B

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí