Giải hệ phương trình sau trên tập số thực.. ho ường tròn tâm O ường kính AB.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN lớp 11 CHUYÊN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 18/3/2021
(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)
Câu 1 (5 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực
1
x x y xy xy y
x y xy x
Câu 2 (6 điểm) ho số u n c nh i 1
u m
a) Khi 3
2
m , ch ng minh số c gi i h n h u h n v tìm gi i h n
c nh t t cả c c gi tr c a m số u n c gi i h n h u h n
Câu 3 (2 điểm) Tìm t t cả các h m số f : thỏa m n iều kiện:
1 1 , ,
f x f y yf f x x y
Câu 4 (5 điểm) ho ường tròn tâm O ường kính AB L i m H trên o n thẳng
AB ( H không trùng A O B ) Đường thẳng qua H vuông g c v i AB cắt ường tròn , ,
O t i C Đường tròn ường kính CH cắt AC BC và , O lần lượt t i D E và F ,
a) h ng minh rằng các ường thẳng AB DE và CF ồng qu ,
b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt O t i P và Q h ng minh rằng bốn
i m , , ,P D E Q thẳng h ng
Câu 5 (2 điểm) ho 167 tập hợp A A1, 2,,A167 có tính ch t:
i) A1 A2 A1 76 2004;
ii) Ai Aj Ai Aj v i ,i j1, 2,,167 và i j
Hãy:
a h ng minh rằng |A i | 12 v i i1, 2, ,167
b) Tính
167
1 i
i A
-Hết -
Họ v tên thí sinh: ……… Số o anh: ………
h kí gi m th số 1:……… h kí gi m th số 2:………
ĐỀ THI HÍNH THỨ
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 11 CHUYÊN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Chú ý: Nh ng c ch giải kh c HD m úng thì cho i m theo thang i m nh
1
2 2
1 1
1
Đặt
2
Hệ tr th nh: 2 1 *
1
*
Từ ta c : a b; 0;1 ; 1;0 ; 2; 3
1.0
V i a b; 0;1 ta c hệ:
2
0
1 1
xy
V i a b; 1;0 ta c hệ: 2
1
; 0; 1 ; 1;0 ; 1;0 0
x y xy
V i a b; 2; 3 ta c hệ:
2
2 3
xy
3
3 3
1; 3
y y
x
Kết luận: Hệ phương trình c c c nghiệm:
x y; 1;1 ; 0; 1 ; 1;0 ; 1;0 ; 1;3
1.0
2
(6 đ)
a) Bằng quy n p, ch ng minh ược u n 1; 2 1 1.0
5
4
u u u u Suy ra u n là dãy giảm 2 1.0
Từ 1 , 2 suy ra L :limu n L 0 L 2
Chuy n qua gi i h n, ược: 2 2 2 1 ( / )
2 ( )
1.0
b) Xét 2
f x x x
f x x x
2
x
x
Trang 3Bảng biến thiên
'
f x
1
Từ ảng iến thiên, ta có:
TH1: m 1 u n 1, n * limu n 1
TH2: m 2 u n 2, n * limu n 2
TH3: m 0 u2 2 u n 2, n 2 limu n 2
0.5
TH4: m 1; 2 , tương tự ý a) suy ra limu n 1
TH5: m2; u n là dãy tăng Giả sử u n b chặn trên
Khi ó L :limu n L L2
Chuy n qua gi i h n, ược: 2 2 2 1 ( )
2 ( )
Vậy limu n
0.5
TH6: m 0;1 u2 1; 2 Theo TH4, suy ra limu n 1
TH7: m ;0u2 2; Theo TH5, suy ra limu n
Vậ m 0; 2 thì dãy số có gi i h n h u h n
0.5
3
(2 đ) f x1 f y yf f x 1 *
Cố nh x ; L y y1, 2 sao cho f y 1 f y 2 Thay vào * , ược
Suy ra f là ơn ánh
0.5
Cho y1, kết hợp f là ơn ánh Ta có:
Thử l i th
0 0 1
b a a
thỏa mãn
Vậ hàm số cần tìm là f x 0, x ; f x x, x
0.5
4
(5 đ)
a) Ta có
2
CACDCH CB CE, suy
P
M
F E D
C
O
1.0
Trang 4AB là trục ẳng phương c a O v ường tròn ABED 0.5
DE là trục ẳng phương c a ABED v ường tròn ường kính CH 0.5
CF là trục ẳng phương c a O v ường tròn ường kính CH 0.5
b) Gọi M l giao i m c a DE AB, và CF
Ta có PQ l trục ẳng phương c a C và O nên OC PQ 0.5
Hơn n a M chính l tâm ẳng phương c a a ường tròn C , O v ường tròn
, , ,
5
(2 đ) a) Giả |A i A j | k 1 Suy ra A i k A j , i j, 1,167,i j (mâu thuẫn) 0.5
Do ó |A i A j | 1 và A i 12 v i i j, 1, 2,,167 và i khác j 0.5
Ta sẽ ch ng minh
167
1
1
iAi
(*)
Thật vậ , ét tập A1 Từ |A1A i |1 v i i 2, ,167 su ra mỗi tập
2, 3, , 167
A A A ch a úng một phần tử c aA Do 1 A1 12 nên theo nguyên lí
Đirichlet thì tồn t i v c th giả sử l A2,,A15 cùng ch a phần tử a thuộc A 1
Nếu có i15 sao cho aA i thì |A i A j | 1|A j A i \{a} | 1
Vậ : A j A i \{a} b j v i j 2,3,,15 (1 Dễ th c c b j là phân iệt nên
từ (1) suy ra A ch a qu 12 phần tử Tr i v i kết luận i A i 12
0.5
Từ (* v |A i A j |1, , i j1, 2,,167 và i khác j suy ra:
1
( ( \ {a}) {a} ( ( \ {a}) | {a}|=167.11+1=1838
i
