Chuyên đề bất phương trình mũ và lôragit vận dụng cao ôn thi tốt nghiệp THPT

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

VẬN DỤNG CAO ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Bất phương trình mũ

+ Nếu a1 thì f x  g x     

+ Nếu 0 a 1 thì f x  g x     

+ Nếu a chứa ẩn thì a f x  a g x  a1    f x g x 0

2 Bất phương trình logarit

+ Nếu a1 thì loga f x loga g x  f x g x 

+ Nếu 0 a 1 thì loga f x loga g x  f x g x 

+ Nếu a chứa ẩn thì

log

log

a a a

A

B





Ví dụ : Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa

mãn  1   

2x  2 2x y 0?

A 1024

B 2047

C 1022

D 1023

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Ta có: y 1 log2 y0 Gọi  1   

2x  2 2xy 0 (*)

+Trường hợp 1:

1

2

1 2

2 2

x

x

x

VN

y



 



+Trường hợp 2:

1

2 2

1 2

1

log 2

2

2

x

x

x

y

y



 



Theo đề bài, ứng với mỗi số nguyên dương y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn bất phương trình

(*) tương đương với tập nghiệm 1; log2

2

   chứa không quá 10 số nguyên, nghĩa là:

10 2







Vậy có tất cả 1024 giá trị y thỏa mãn yêu cầu đề

Cách 2:

Đặt t 2x0 thì ta có bất phương trình (2t  2)(t y)0 hay ( 2)( ) 0(*)

2

t  t y 

Vì y  nên 2

2

x

Nếu log2 y10 thì x{0,1, 2,,10} đều là nghiệm nên không thỏa yêu vầu bài toán Suy ra log2 y10 hay y210 1024, mà y  nên y{1, 2,,1024}

II BÀI TẬP

Câu 1 Giả sử x y0; 0 là cặp nghiệm nguyên không âm có tổng S x0y0 lớn nhất của bất phương

trình 4x2 3x y 9.2x3y 10, giá trị của S bằng

A 2

B 4

C 3

D 5

Lời giải:

Chọn C

Ta có 4x2 3x y 9.2x3y 102x12x3y 100

Vì 2x 1 0 nên bất phương trình tương đương với 2x3y100

Với cặp số  x y nguyên không âm thì ,  x y chỉ có thể là: ,      0;0 , 0;1 , 0; 2 , 1; 0 , 1;1 ,

     2;0 ; 2;1 , 3;0

Vậy tổng S = 3

Câu 2 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x y thỏa mãn 1;  x 10 và xx2 9y 3y

A 10

B 11

C 9

D 8

Lời giải

Chọn A

xx    x x  

Xét hàm số đặc trưng   2

f t  t t với t0

Ta có f ' t     2t 1 0, t 0 suy ra f t là hàm số đồng biến trên   t0

xx    f x  f  x

Với giả thiết 1 x 10 ta có: 3y 10 y 2

1 3 10 3; 4;5;6;7;8;9;10

y   x  x có 8 cặp nghiệm  x y thỏa mãn ;

y    x  x có 2 cặp nghiệm  x y thỏa mãn ;

Vậy có tất cả 10 cặp nghiệm  x y thỏa mãn ;

Câu 3 Có bao nhiêu cặp số nguyên  x y thỏa mãn ; x y, 5;50 và x y22y xn  2 y22y2

A 2

B 5

C 15

D 11

Lời giải

Chọn C

Có x  y22y xn  2 y22y  2 x x  y22y 2 y22y2 (2)

Xét hàm số f t  t t trên khoảng 0; ta có:

2

t

      đồng biến

2  f x  f y 2y2  x y 2y2

Do x y, 5;50 nên 2  2

5 y 2y 2 50 4 y1 49  1 y 6

Do y và y5;50 nên y5 hoặc y6

37 y 2y  2 x 50 x 37;38; ;50n có 14 cặp  x y thỏa mãn ; Với y6 có 50 y22y  2 x 50 x 50 có 1 cặp  x y thỏa mãn ;

Vậy có tất cả 15 cặp  x y thỏa mãn ;

Câu 4 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x y thỏa mãn ; log 2 x2y1

A 10

B 11

C 9

D 8

Lời giải

Chọn D

2 2 10

y

y

x

x

  

 

 (vì  x y nguyên dương) ;

 x y nguyên dương nên ; 2x2y 102y    8 1 y 3

Với y 1 2x    8 x 4 x 1; 2;3; 4 có 4 cặp  x y thỏa mãn ;

Với y 2 2x    6 x 3 x 1; 2;3 có 3 cặp  x y thỏa mãn ;

Với y 3 2x    2 x 1 x 1 có 1 cặp  x y thỏa mãn ;

Vậy có tất cả 8 cặp  x y thỏa mãn đề bài ;

Câu 5 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x y thỏa mãn ; 2 cos2

2.2x x sin y2 y

A 1

B 0

C 2

D 3

Lời giải:

Chọn B

Ta có 2.2x x sin2y2cos2y 2x1  x 1 2cos2ycos2y (1)

Đặt f t   2t t f ' t 2 ln 2 1 0,t    t 0

Suy ra hàm số y f t  là hàm số đồng biến trên 0;

1  f x 1 f cos y   x 1 c so y x nsin y x 0 vô lí

Vậy không tồn tại cặp số nguyên dương  x y nào thỏa mãn đề bài ;

Câu 6 Tập các cặp số nguyên dương  x y thỏa mãn điều kiện ;  2 

logx y x x 5 2

A 6

B 4

C 5

D 7

Lời giải:

Chọn A

5

0 5

x

       

(1)

Vì  x y nguyên dương nên ; x2;3;4

0, 1

2 5

y





  



 có 3 cặp  x y thỏa mãn ;

Với x3 có  1 120, 51 0  1; 2

3 5

y





  



có 2 cặp  x y thỏa mãn ;

Với $x = 4$ có  1 20 50, 1 0  1

4 5

y





     

  



có 1 cặp  x y thỏa mãn ;

Vậy có tất cả 6 cặp  x y thỏa mãn yêu cầu đề bài ;

Câu 7 Có bao nhiêu m nguyên dương để bất phương trình 2 2  2 

3 x n3 3x m  1 3m 0 có không quá 30 nghiệm nguyên?

A 28

B 29

C 30

D 31

Lời giải:

Chọn D

 

3 3 9.3 1 0

x x m m x x m x m

x x m x m

x m x

Ta có 3x3m   0 x m

9.3x 1 0   x 2

Bảng xét dấu

Ta có tập nghiệm S  2;m

Tập hợp các nghiệm nguyên là  1;0;1; ; m 1

Để có không quá 30 nghiệm nguyên thì m 1 28  m 29

Câu 8 Biết  x y là cặp nghiệm nguyên của bất phương trình ; logxy  x 5 1 log  x y  1 0

thỏa mãn y x 10, hỏi hiệu số $y – x$ lớn nhất bằng bao nhiêu:

A 7

B 5

C 2

D 9

Lời giải:

Chọn D

Điều kiện

0

0, 1

0, 1

5 0

5

y







 





Suy ra logx y1

Suy ra

0, 1

2 5

x



Theo giả thiết y x 10 suy ra 2x   5 y x 10   x 3 x  2;3

Với x   2 9 y 12 y 10;11

Với x   3 11 y 13 y  12

Trong các cặp  x y ta thấy hiệu ; y  x 9 là lớn nhất

Câu 9 Số cặp nghiệm  x y nguyên của bất phương trình ;  2 5 2 2 2 2 3  2

2xy 2 x  xy y   x y 3 là

A 0

B 1

C 2

D 3

Lời giải

Chọn D

Từ  2 5 2 2 2 2 9  2  2 2   2  2 3  2

2xy 2 x  xy y   x y 3 2xy 2 x y xy   x y 30(*)

2

2





khi đó (*) đưa về: a.2a b b0a.2a  b.2b

Vì a   0 b 0

Xét hàm số f t t.2 ,t t0; có f ' t  2t t.2 ln 2t   0, t 0;

Suy ra f a  f  b a b a b0

Suy ra   2 2   2 2

2xy  x y 3 0 2xy  x y 3

Với giả thiết $x,y$ là các số nguyên nên  2

2xy và  2

x y chỉ có thể xẩy ra các trường hợp sau:

Vậy có tất cả 3 cặp nghiệm thỏa mãn

Câu 10 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x y với ; x2020 thỏa mãn điều kiện

2

2

1

x

y



A 2020

B vô số

C 1010

D 4040

Lời giải

Chọn C

2

1

x

y



log x 2 x 2 log 2 y 1 2 y 1  1

Xét hàm số   2

2

log

f t  tt trên 0;

ln 2

t

 1  f x 2 f 2y2  x 2 2y  2 x 2y

Mà 0 x 2020  0 y 1010

Vậy có 1010 cặp số nguyên dương  x y ;

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí