tính ổn định lũy thừa của họ tiến hóa các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian banach

HỒ CHÍ MINH Võ Huy Việt TÍNH ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HÓA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Võ Huy Việt

TÍNH ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HÓA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ

CHẶN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

THƯ

VIỆN

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy PGS TS Lê Hoàn Hóa lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của Thầy dành cho tôi trong suốt thời gian làm luận văn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Tôn Đức Thắng đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt khóa học

Tôi xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô Phòng Khoa học-Công nghệ và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin kính gửi đến UBND tỉnh Tiền Giang, Sở Nội vụ, Sở Giáo Dục và Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Chợ Gạo lời cảm ơn chân thành vì đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận tiện để tôi học tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường THPT Chợ Gạo và đặc biệt là các Thầy trong Tổ Toán; các bạn học viên cao học Toán K18 đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn

Sau cùng tôi xin kính gửi đến gia đình tôi cùng những người thân tất cả tình cảm yêu thương nhất và lòng tri ơn sâu sắc nhất, nơi đã tạo cho tôi niềm tin và nghị lực và là chỗ dựa vững chắc nhất giúp tôi hoàn thành luận văn này

Vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các khóa trước, tôi có sử dụng một

số kết quả đã được chứng minh để hoàn thành luận văn của mình nhưng tôi xin cam đoan không sao chép các luận văn đã có và tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Lý thuyết ổn định là một trong những đề tài được rất nhiều tác giả nghiên cứu Tuy nhiên đề tài này rất rộng nên trong bài viết của mình tôi chỉ muốn tìm hiểu và nghiên cứu về tính ổn định lũy thừa của họ tiến hóa q-tuần hoàn các toán tử tuyến tính bị chặn

 

 , : 0 

U  U t s t   s và nửa nhóm tiến hóa T T t :t 0bởi vì các kết quả của nó có

liên quan đến nghiệm của bài toán Cauchy:

q-3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Toàn bộ luận văn được trình bày gồm các chương mục sau:

Phần mở đầu giới thiệu về lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu cùng với ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị, bao gồm các ký hiệu được sử dụng trong luận văn, khái niệm về họ tiến hóa các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach

và các kết quả thừa nhận

Chương 2 nhằm nghiên cứu và trình bày về tính ổn định lũy thừa của họ tiến hóa các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach, gồm các mục cụ thể sau:

Mục 2.1: Trích từ bài báo [1], nghiên cứu và trình bày về định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm tiến hóa các hàm tuần hoàn xác định trên nửa đường thẳng

Cho X là một không gian Banach phức

Chúng ta cũng sẽ chứng minh nửa nhóm tiến hóa T T t :t 0 trên APP o,X là liên

tục mạnh Sau đó chúng ta chứng minh một vài tính chất tổng quát của nửa nhóm tiến hóa và chỉ ra một số ứng dụng trong lý thuyết bất đẳng thức

Mục 2.2: Trích từ bài báo [2], nghiên cứu và trình bày về tính ổn định lũy thừa của họ tiến hóa q-tuần hoàn các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach Trong đó, chúng ta chứng minh rằng một họ tiến hóa q-tuần hoàn U   U t s  ,  : t   s 0  của các toán tử tuyến tính

bị chặn là ổn định lũy thừa đều nếu và chỉ nếu

(f là hàm liên tục và q-tuần hoàn trên )

Mục 2.3: Trích từ bài báo [3], nghiên cứu và trình bày về các đặc trưng tích phân cho tính ổn định lũy thừa của các nửa nhóm và các họ tiến hóa trên không gian Banach Cụ thể, cho

0 là một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa và liên tục mạnh trên X; J là hàm không

âm xác định trên nón dương tất cả các hàm bị chặn địa phương nhận giá trị thực trên

Phần cuối cùng là kết quả thu được trong luận văn Sau cùng là phần tài liệu tham khảo

Trong luận văn, một số kết quả sử dụng sẽ được phát biểu dưới dạng định lí hoặc bổ đề không chứng minh

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Kết quả về tính ổn định lũy thừa đều của họ tiến hóa có liên quan đến tính ổn định tiệm cận đều của nghiệm bài toán Cauchy tuyến tính chỉnh và không tự sinh:

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Biên của phổ:s A : sup Re     :  A 

BUC( I, X), I     ,  là không gian Banach tất cả các hàm liên tục đều, bị chặn

trên I và nhận giá trị trong X với chuẩn sup

AP( I, X) là bao đóng tuyến tính trong BUC( I, X), là tập gồm các hàm:

i t

t  e x I  X    x  X

BUC(  , X) là không gian tất cả các hàm liên tục đều trên đường thẳng thực, bị

chặn và lấy giá trị trong X cùng với chuẩn sup

AP(, X) là không gian gồm hầu hết tất cả các hàm tuần hoàn, đó là không gian

con đóng bé nhất của BUC(, X) bao gồm các hàm có dạng: t  ei t , x    , x  X

P  X là không gian tất cả các hàm f trên , nhận giá trị trong X, q-tuần

hoàn sao cho: f(0) = 0

1.2 KHÁI NIỆM HỌ TIẾN HÓA

Một họ tiến hóa U được gọi là bị chặn lũy thừa nếu tồn tại    và M  0 sao

cho:

 ,  t s, 0

U t s  M e      t s (1) Một họ tiến hóa U được gọi là ổn định lũy thừa nếu (1) thỏa với một số âm  nào

 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X và

tồn tại p   1;   sao cho với mỗi x  X có:

Nửa nhóm liên tục mạnh T trên X là ổn định lũy thừa đều nếu tồn tại một

không gian Banach E trên  0; có tính chất lim 1 0;t

t E   sao cho

  ,

T x  E   x X

1.2.3.5 Kết quả 5:

Cho U =  U t s  ,  : t    s  là một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa và liên

tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X

t i

Chương 2: TÍNH ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN

HÓA

2.1 ĐỊNH LÍ ÁNH XẠ PHỔ CHO NỬA NHÓM TIẾN HÓA CÁC HÀM TUẦN HOÀN XÁC ĐỊNH TRÊN NỬA ĐƯỜNG THẲNG

2.1.1 Bổ đề 1:

Cho T T t :t 0 là nửa nhóm liên tục mạnh và A D A:   X  X là hàm

sinh vô cùng bé của nó Nếu T là ổn định đều, nghĩa là tồn tại một hằng số dương M sao

Cho nửa nhóm T T t :t 0 được mô tả như sau:

Với mỗi hAPP o,X và mọi t  0, ta định nghĩa

Khi đó nửa nhóm T T t :t 0 xác định trên AAP o(, )X và liên tục mạnh

Nửa nhóm này được gọi là nửa nhóm tiến hóa liên hợp với U trong không gian

Vì thế T(t) được xác định trên AAP o(, )X với mọi t  0

Hơn nữa,   h AAPo( , ) X ta có:

Cho U U t s , :t   s  là một họ tiến hóa q-tuần hoàn của các toán tử tuyến

tính bị chặn trên X, T T t :t0 là nửa nhóm tiến hóa liên hợp với U trên không gian

Cho U, T và (A, D(A)) như trong bổ đề 3 Năm phát biểu sau là tương đương:

(i) U là ổn định lũy thừa đều

Lấy      A và    sao cho Re   Re 

Vì A   Id là phần tử sinh của nửa nhóm tiến hóa  t    0

Do đó    A      : Re     s A    là nửa mặt phẳng bên trái

Nếu Re s A  thì theo định lí 1 họ tiến hóa U là ổn định lũy thừa và vì thế

nửa nhóm tiến hóa T được cảm sinh cũng ổn định lũy thừa

2.1.6 Định lí 3:

Cho U   U t s  ,  : t   s 0  là một họ tiến hóa, q-tuần hoàn của các toán tử

tuyến tính bị chặn trên X, f   :  AAPo( , ) X Giả sử hai điều kiện sau được

Cho f là hàm khả tích Bochner địa phương trên  , nhận giá trị trong X; g, h là các 

ánh xạ trên  được cho bởi:

Nếu M1 = 0 hoặc M3 = 0 thì g = 0 và (9) thỏa

Nếu M1 > 0 và M3 > 0 thì (9) có thể nhận được từ (10) với t  4 M3 M1

2.2 TÍNH ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HÓA

q-TUẦN HOÀN CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN

TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

Một họ tiến hóa q-tuần hoàn U là ổn định lũy thừa nếu và chỉ nếu r(V) <1

Chứng minh của bổ đề 4 và bổ đề 5 có thể xem trong [6, Định lí 6.6]

N N

q t

Cuối cùng, ta có kết quả cho các họ tiến hóa trên đường thẳng:

Cho U   U t s  ,  : t    s  là họ tiến hóa q-tuần hoàn trên 

Sử dụng ký hiệu như phần 2.1 với  thay bởi  , các biến s và t lấy giá trị trong  Xét nửa nhóm tiến hóa T liên hợp với U trên không gian AP,X Nửa nhóm này là nửa nhóm liên tục mạnh

2.2.6 Hệ quả 2:

Cho U   U t s  ,  : t  s  là họ tiến hóa q-tuần hoàn của các toán tử tuyến tính bị

chặn trên X và T là nửa nhóm tiến hóa liên hợp với U trên không gian AP   , X 

Khi đó U là ổn định lũy thừa đều nếu và chỉ nếu:

0 0

t i

q t

trong đó n   sao cho v  nq  0

Vậy U là ổn định lũy thừa đều

2.3 ĐẶC TRƯNG TÍCH PHÂN CHO TÍNH ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA CÁC NỬA NHÓM VÀ CÁC HỌ TIẾN HÓA

TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

2.3.1 Một sự tổng quát hóa của định lí DATKO-PAZY

2.3.1.1 Bổ đề 7:

Cho T = { T(t): t 0} là nửa nhóm bị chặn địa phương trên một không gian

Banach X Nếu với mỗi x  X tồn tại t(x) > 0 sao cho T(t(x))x = 0 thì T là ổn

định lũy thừa đều

Theo định lí bị chặn đều suy ra tồn tại x  X sao cho T t n x   Điều

này trái với giả thiết

Cho T = { T(t): t 0} là nửa nhóm bị chặn địa phương sao cho với mỗi

x  X ánh xạ t  T t x   liên tục trên  0;   Nếu tồn tại số dương h và 0 <

q < 1 sao cho với mọi x  X tồn tại t x     0; h  với T t x     x  q x thì nửa nhóm T là ổn định lũy thừa

q

T t x  Mq x  Me e x

và do đó T ổn định lũy thừa

Nếu dãy   sn bị chặn, gọi t(x) là giới hạn của dãy   sn Do tính liên tục

nên suy ra T(t(x)) = 0 và theo bổ đề 7 suy ra T ổn định lũy thừa

2 Với mỗi số thực dương  thì lim  10;t

Giả sử T không ổn định lũy thừa

Khi đó với mọi h > 0 và mọi 0 < q < 1 tồn tại xo X , x o 1 sao cho :

Điều này mâu thuẫn với (16)

Vậy T ổn định lũy thừa

2.3.1.5 Hệ quả 4:

Cho T = { T(t): t 0} là nửa nhóm trên không gian Banach X như trong bổ

đề 8 Nếu tồn tại hàm không giảm  : 0;      0;   sao cho    t  0 với

thì nửa nhóm T ổn định lũy thừa

, 1 1

T t x  Me với mọi t  N và do đó T bị chặn đều

Theo [10, Bổ đề 3.2.1] suy ra tồn tại không gian Orlicz E thỏa

2.3.2 Trường hợp không tự sinh

 là họ tiến hóa bị chặn lũy thừa trên không gian

Banach X Nếu với mỗi x  X tồn tại t(x) > 0 sao cho U s t x s x     ,   0 với mọi s  0 thì họ U ổn định lũy thừa

 là họ tiến hóa bị chặn lũy thừa trên không gian

Banach X sao cho với mỗi y  X và mỗi s  0 ánh xạ :

 

ln( ) ln( ) 0

Nếu dãy   sn bị chặn, gọi t(x) là giới hạn của dãy   sn Do tính liên tục

nên suy ra U s t x s x     ,   0 và theo bổ đề 9 suy ra T ổn định lũy thừa

 là họ tiến hóa bị chặn lũy thừa trên không gian

Banach X như trong bổ đề 10 và gọi J là hàm như trong định lí 5 Nếu tồn tại r > 0

Giả sử họ U không ổn định lũy thừa đều Khi đó với mọi số thực dương h và

mọi q   0;1  tồn tại xo X v à s o 0 sao cho:

Cho J như trong định lí 5 Giả sử J nửa liên tục dưới và lồi theo nghĩa

Jensen( nghĩa là J f   g   J f    J g   với mọi f và g thuộc Mloc 

Cho U là họ tiến hóa như trong bổ đề 10 Nếu tập  tất cả những x  X mà

x   x  J U s  s x X   nửa liên tục dưới

Với mỗi số tự nhiên dương k, tập Xk   s :   x  X J U s :    , s x    k 

đóng vì nó là ảnh ngược của khoảng đóng  0; k  qua ánh xạ s

cũng là tập đóng và hơn nữa  là hợp của tất cả các tập X k Vì  là tập phạm trù

thứ hai nên tồn tại tập Xk o có phần trong khác rỗng

Lấy xo X và r  sao cho o 0  , 

Thật vậy, vì với mọi x  X mà x  ro ta có:

1 ,

 là họ tiến hóa bị chặn theo số mũ trên không gian

Banach X sao cho với mỗi x  X ánh xạ t  U s   t s x ,  liên tục trên

 0;   với mọi s  0 Xét 3 bất đẳng thức sau:

1 Tồn tại p   1;   sao cho

U s s x



3 Tồn tại hàm không giảm  : 0;      0;   với    t  0 với

mỗi t > 0 sao cho:

KẾT LUẬN

Qua luận văn này tác giả đã thật sự bắt đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống nhất Tác giả cũng đã học tập được phương pháp nghiên cứu trong việc đọc tài liệu và các buổi họp nhóm trong quá trình học tập Qua luận văn này tác giả cũng hiểu biết thêm về tính ổn định lũy thừa của họ tiến hóa các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach vốn có liên quan mật thiết đến họ nghiệm của bài toán Cauchy Tuy nhiên, do kiến thức của tác giả còn hạn chế nên rất mong được sự giúp đỡ và chỉ bảo thêm của Quí Thầy Cô trong và ngoài Hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] C Buse (2002), A spectral mapping theorem for evolution semigroups on asymptotically

almost periodic functions defined on half line, Vol 2002(2002), No 70, pp 1-11

[2] C Buse (2002), Exponential stability for periodic evolution families of bounded linear

operators, West University of Timisoara, BD V Parvan 4, Timisoara, Romania

[3] C Buse, N.S Barnett, P Cerone, and S.S Dragomir (2004), Integral characterizations for

exponential stability of semigroups and evolution families on Banach spaces, West University

of Timisoara, Timisoara, 1900, BD V Parvan NR 4, Romania

[4] R R Kallman and G C Rota, On the inequality f '  4 f f " , Inequalities II, O Shisha,

Ed., Academic Press, New-York, 1970, pp 187-192

[5] C Buse, O Jitianu, C Preda, , Exponential stability for solutions of linear differential

equations with periodic coefficients, International Journal of Differential Equations and

Applications, to appear

[6] Daners D., Koch Medina P., Abstract Evolution Equations, Periodic Problems and

Applications, Pitman Research Notes, 1992

[7] Nagel R., (ed), One-parameter semigroups of positive operators, Springer Lect Notes in

Math 1184 (1996)

[8] Buse C., On the Perron-Bellman theorem for evolutionary processes with exponential

growth in Banach spaces, New-Zealand Journal of Mathematics, 27 (1998), 183-190

[9] Reghis M., and Buse C., On the Perron-Bellman theorem for Co-semigroups and periodic

evolutionary processes in Banach spaces, Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, 4

(1998), 155-166

[10] J M A M van Neerven, Lower semicontinuity and the theorem of Datko and Pazy,

Integr Equ Oper Theory, 42(2002), 482-492