tính chât fredholm c a n a nhóm tiên hóa

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – Tin học, trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

TP.Hồ Chí Minh – Năm 2010

THƯ

VIỆN

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi xin trân trọng kính gởi đến Thầy Lê Hoàn Hóa người

đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – Tin học, trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian học tập và làm việc

Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học, Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập

Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 18 đã luôn động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận văn Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung luận văn này không được sao chép bất kỳ luận văn nào khác trước đây

Học viên

Trần Thanh Hiệp

MỞ ĐẦU

Lý thuyết Fredholm (ra đời vào 1903) là lý thuyết về phương trình vi phân Theo nghĩa hẹp,

nó liên quan đến nghiệm của phương trình tích phân Fredholm Theo nghĩa rộng, cấu trúc trừu tượng của lý thuyết Fredholm được thể hiện dưới dạng lý thuyết phổ của toán tử Fredholm và nhân Fredholm trên không gian Hilbert Và công cụ để nghiên cứu tính ổn định phổ của phương trình truyền sóng là lý thuyết lưỡng phân

Một họ tiến hoá { ( ), } , ,

t

U tτ ≥τ t τ ∈ ¡ liên kết với phương trình vi phân tuyến tính chỉnh,

quan trọng xác định trên không gian các hàm nhận giá trị trong X:

Trong khuôn khổ luận văn này, đầu tiên tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng

Tiếp theo, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính đóng của miền giá trị của ba toán tử nêu trên

Luận văn được trình bày theo bố cục như sau:

Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các vấn đề chính được nghiên cứu trong luận văn, đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị cơ bản về lý thuyết Fredholm, nửa nhóm tiến hóa, lưỡng phân lũy thừa

Chương 2 được xây dựng gồm hệ thống các Định lý và Bổ đề dùng để chứng minh Định lý lưỡng phân (Định lý 2.1, Định lý 2.2) trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc nào của toán tử A(t)

Chương 3 là sự nối tiếp của chương 2, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính đóng của miền giá trị của các toán tử E G D t, , τ

Cuối cùng là phần Kết luận và Tài liệu tham khảo

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

(iii) dim CoK er T < ∞.(dimCoKerT =dim(Y/ ImT))

Khi T là ánh xạ Fredholm, chỉ số của T kí hiệu IndT là số nguyên xác định bởi:

IndT =dimKerT−codim ImT

Bổ đề 1.3 Cho T X: →Y là toán tử thỏa ImT chứa một không gian con đầy, đóng thì ImT đóng

Bổ đề 1.4 Kí hiệu Fred(X Y là không gian các toán tử Ferdholm từ X vào Y và , ) Fred X là tập các ( )

toán tử Fredholm xác định trên X Ta có Fred(X Y là tập mở của B(X,Y) và chỉ số Fredholm là , )

hàm hằng trên Fred(X,Y)

Bổ đề 1.5 Cho T X: →X là toán tử compact, khi đó I T+ là Fredholm

Bổ đề 1.6 Cho T X: →Yvà S Y: →Zlà các toán tử Fredholm Khi đó, ST X: →Zcũng là Fredholm Hơn nữa, Ind( )ST =Ind( )T +Ind( )S

Chỉ số Fredholm: Chỉ số Fredholm của cặp không gian con (W,V là )

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian Banach, L(X) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên X Họ { }T t( ) t 0 L X( )

U được gọi là T – bất biến nếu T t U( ) ⊂ ∀ ≥U, t 0

Một họ {U t( ),τ t≥τ}, ,tτ∈J gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X được gọi là họ tiến hóa bị

chặn lũy thừa liên tục mạnh trên J nếu:

i) Với mỗi x∈X , ánh xạ ( )t,τ aU t( ),τ x liên tục với mọi t≥τ thuộc J

ii) sup{e−ω τ( )t− U t( ),τ : ,t τ∈J t, ≥ < ∞τ} , với ω ∈Rtùy ý

iii) U t t( ), =I U t, ( ),τ =U t s U s( ) ( ), ,τ với mọi t≥ ≥s τ thuộc J

Nửa nhóm tiến hóa:

Banach X* nói chung là không liên tục mạnh Không gian con:

Lý thuyết lưỡng phân

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach, J là R−, R+hoặc R, họ tiến hóa { ( ), }

Chương 2 TOÁN TỬ VI PHÂN FREDHOLM VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN

Trong chương này, tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng phân trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử A t : Định lý 2.1 và Định ( )

a b∈R, a≤bsao cho hai điều kiện sau thỏa:

(i) Họ tiến hóa { ( ), }

t

U t τ ≥τcó lưỡng phân lũy thừa { }P t− t a

≤ trên (−∞,a] và { }P t+ t b

≥ trên [b,∞) ii) Toán tử nút N b a( ), : KerP a−→KerP b+, định bởi:

( ), ( ) ( ), Ker

a

N b a = −I P U b a+ −, là toán tử Fredholm

Hơn nữa, nếu toán tử G là Fredholm thỏa thì

a) dim Ker G = dim Ker N(b,a);

b) codim ImG = codim Im N(b,a); ind G = ind N(b,a)

Định lý 2.2 Với các giả thiết như Định lý 2.1, toán tử G là Fredholm khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa:

i') Họ tiến hóa { ( ), }

t

U tτ ≥τcó lưỡng phân lũy thừa { }P t− t a

≤ trên R−và { }P t+ t b

≥ trên R+ ii') Cặp không gian con (KerP0−, ImP0+)trong X là Fredholm

Hơn nữa, nếu toán tử G là Fredholm thì:

a') dim Ker G =α(K Per 0 − , ImP0 +)

miền xác định, nhân, ảnh, tập giá trị chính quy (tập giải), phổ, phổ Fredholm, và bán kính phổ của A; A|Y là thu hẹp của A trên Y ⊂X; L X Y là không gian Banach các toán tử ( , )

( , ), [1, )

p p

tích Lebesgue; C0(¡,X) là không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại ±∞; l p( )¢,X là không

gian Banach gồm tất cả các dãy x=( )x n các phần tử trong ¢ sao cho

1

p n n

dãy ε( )¢ là một trong các không gian + l p(¢+,X) hoặc c0(¢+,X), ε( [0, 2π] )là một trong các không gian L p( [0, 2π],X) hoặc Cper( [0, 2π],X) - là không gian các hàm tuần hoàn chu kỳ

2πtrên đoạn [0, 2π] Ta dùng hình thức in đậm để ký hiệu cho dãy, chẳng hạn,

X = Q⊕K Q Bất kỳ một toán tử A bị chặn trên X có thể được viết dưới dạng toán tử ma trận như sau:

Nếu A(ImQ)⊆ImP hoặc AQ = PAQthì ta đồng nhất A|ImQ=AQ: ImQ→ ImP, ta viết:

Bổ đề 2.3 Với mọi n∈¢ và m∈¢, m n≤ , các khẳng định sau thỏa:

(i) d im X n ≤ d imK e r D < ∞ và dimX n,*≤dim *D <∞;

(ii) U n m X( ), m⊂X n, hơn nữa, toán tử ( ), | :

Chứng minh

(i) Theo định nghĩa của X n và X n,* thì D là toán tử Fredholm

(ii) Cố định x∈X và lấy một dãy ( )x k k Z∈ ∈KerD sao cho x = x

Từ (2.4), ta có: x n=U n m x( ), m

Vì ( )x k k Z∈ ∈KerD nên theo định nghĩa của X nthì U n m x( ), m∈X n

Vì d im X n < ∞ nên để chứng minh toán tử ( ), | :

m

X m n

là một đẳng cấu

(iii) Tương tự như (ii) bằng cách sử dụng (2.5)

(iv) Với y X∈ ⊥,*, ta có y,ξ =0 với mọi ξ∈X ,* Nếu η∈X n,* thì U n m( ), *η∈X m,*(do (iii)) và

( , ) , , ( , )* 0

Do đó, U n m y X( ), ∈ n⊥,*

Tương tự đối với U n m( ), *

(v) Cố định x ∈ X n và ξ∈X n,* lấy dãy ( )x k k Z∈ ∈KerD và ( )ξk k Z∈ ∈KerD* sao cho x=x n và ξ ξ = n Khi

Nếu y n∈X n⊥,*và y n−1∈X n⊥−1,* thì y n−U n n( , − ∈1) X n⊥,*theo (iv) của Bổ đề 2.3 và DF⊂F.Để chứng minh

|

D Flà toàn ánh, đầu tiên ta chứng minh F⊂Im D Vì D là toán tử Fredholm nên miền giá trị của nó đóng Do đó, ImD là tập hợp các dãy y thỏa y,ξ =0 với mọi dãy ξ ∈Ker D* Vì thế, ta chỉ cần chứng minh rằng y ⊥ ξ với mọi dãy y=( )y n n Z∈ ∈F và ξ ∈Ker D*

Nếu y=( )y n n Z∈ ∈F thì y n∈X n⊥,* theo định nghĩa của F Và điều khẳng định đã được chứng minh Tiếp theo, cố định y=( )y k k Z∈ ∈ ⊂F ImD và tìm dãy x=( )x k k Z∈ ∈l Z X p( , ) sao cho Dx = y hay với mỗi n∈Z và mọi k∈N thì:

1 0

Để chứng minh D |F toàn ánh trên F, ta cần chứng minh x n∈X n⊥,* với mỗi n∈Z

Cố định ξ∈X n,* và lấy một dãy ( )ξk k Z∈ ∈KerD* sao choξ ξ = n

Gọi D0 = D|F xác định trên F với d o m D0 = F0

Bổ đề 2.5 Toán tử D0khả nghịch trên F, nghĩa là với mỗi ( )z n n∈¢∈F, tồn tại duy nhất dãy

( )x n n∈¢∈F0 sao cho D x( )n n∈¢=( )z n n∈¢

Chứng minh

Theo Bổ đề 2.4, với mỗi z=( )z n n Z∈ ∈F thì tồn tại một dãy y =( )y n n Z∈ ∈ F sao cho

Dy =z

Theo định nghĩa của F, ta có y n∈X n⊥,*

Sử dụng sự phân tích X0,*⊥ = ⊕X0 X', biểu diễn y0 = y + y', với y∈ X0 và y'∈X0'

Theo định nghĩa của X0, tồn tại dãy ( )ωn n Z∈ ∈KerD sao cho ω =0 y

Đặt:x n = y n − ωn,n∈ Z

Vì y n∈X n⊥,* và ωn∈ ⊂X n X n⊥,*(theo Bổ đề 2.3) nên ta suy ra x=( )x n n Z∈ ∈F

Nhưng x0= − = − = ∈y0 ω0 y0 y y' X0' Do đó, x ∈F0

Vì ( )ωn n Z∈ ∈KerD nên ta cũng có Dx = Dy = z

Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử rằng x ∈F0và x∈KerD

Theo định nghĩa của X n ta có x n∈X n với mọi n∈Z nên x0∈X0

m

n m P

y U= m x trong biểu diễn: y y= +0 y y0', 0∈X0ứng với tổng trực tiếp X0,*⊥ = ⊕X0 X0'

(iii) Nếu n≥ >m 0 hoặc 0≥ ≥n m thì

x ∈ a λ x ∈ Khi đó:

Thu hẹp T |KerP là một toán tử xác định trên KerP với d o m T |Ke rP= Ke rPI F0và

Tiếp theo ta chứng minh tồn tại một họ các phép chiếu { }P xác định trên X n⊥,* thỏa sup n

n Z

P

∈ < ∞ và [ ]n

Các toán tử Pn được xác định như sau:

Cố định x X∈ n⊥,* và định nghĩa P x n như là phần tử thứ n của dãy P x( ⊗e n)

Điều này suy ra (2.10)

Với x = ⊗x em, ta thấy rằng T jx=U m( + j m x, ) ⊗em j+ ∈F0, j = 0,1, ,n−m với n≥ >m 0 hoặc

0> ≥n m hoặc n= ≥0 m và ( ) '

0

0,

U m x X∈ Khi đó, (2.15) suy ra (2.11) và (i) trong Mệnh đề 2.6 được chứng minh

Vì thế, ta chỉ cần kiểm tra KerU(n k n+ , )IK Per n={ }0 ,∀ > ∀ >n k, k 0 là đủ

Nếu n>0 và x∈KerU n k n( + , )IK Per n thì dãy x = x⊗ en ∈ K e r P I F0

Với j∈N, ta có T jx=U n( +j n x, ) ⊗en j+ Do đó, T kx = 0 vì U u k n x( + , ) =0

Từ bất đẳng thức trong (2.15), ta suy ra:

1 1

0

p p

l l

T M e− −α M e− α x

Do đó, (2.19) đã được chứng minh và ta đã chứng minh xong kết luận của (2.16) và Bổ đề 2.7

Để chứng minh (ii) trong Mệnh đề 2.6, trước hết ta xét n =1 và m=0 Chúng ta có thể áp dụng (2.14) đối với dãy ( )x n n Z∈ = ⊗x e chỉ khi 0 x X∈ 0' và nhận được:

( )( )1,0 0 1 Im 1

Để chứng minh chiều ngược lại, ta giả sử x ∈Ke rP0 và U( )1,0 x∈ImP1

Lấy y⊗ e1∈KerP và tìm ( )x n n Z∈ ∈KerP FI sao cho 0 T x( )n n Z∈ = ⊗y e 1

Theo (iii), các toán tử trong ngoặc khả nghịch, và trong tường hợp tổng quát n> ≥0 m trong (iv)

Với k ≥l k l, , ∈ ¢, ta định nghĩa một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa { *( ), }

Ta cũng định nghĩa toán tử D# theo qui tắc:

( ),

x =U n m x ∀ ≥n m Đặt z−n = x n,n∈ Z , do đó: Z k = X−k

(i) Nếu n≥ ≥m 0 hoặc 0> ≥n m thì

U n m ≤M e−α − ; (ii) Nếu n≥ >0 m và ξ∈X n⊥ thì

X n,*⊂KerP n,* với n≥0 và X n,*⊂ImP n,* với n<0 (2.26)

Tính bất biến của phần bù trực tiếp:

Từ tổng trực tiếp: X=X n⊥,*⊕Y n, ta suy ra:

( )* ( ),* ,*,

n

Theo Bổ đề 2.3 (i), dimX n,*< ∞ và do đó X n,* có phần bù trực tiếp trong X *

Gọi Q n,* là một phép chiếu bị chặn trên X thỏa * ImQ n,*=X n,*

Theo Bổ đề 2.3 (iii), ta có: U n m( , )*( )X n,* ⊆X m,* ,n≥m hoặc

U n m( ), *Q n,*=Q U n m m,* ( ), *Q n,* (2.28)

Chú ý rằng Y n là phần bù trực tiếp tùy ý của của không gian con X n⊥,*có đối chiều hữu hạn trong X

và nói chung U n m Y( )( ), m ⊄Y n Áp dụng công thức (2.2) với P Q= m,* và Q Q= n,* với A U n m= ( ), *

trong sự phân tích X* Im= Q m,*⊕K Qer m,* và X* Im= Q n,*⊕K Qer n,*, ta sẽ đồng nhất thu hẹp ( ), * | ,*

,

m n

n m n

Tiếp theo, ta đồng nhất phần bù trực tiếp của X n⊥,* trong X, n≥0, mà U n m( ), − bất biến Cố định Y0

bất kỳ sao cho X0,*⊥ ⊕ =Y0 X Với mỗi n≥0, ta định nghĩa

( )

Wn = U n, 0 y :y ∈Y

Bổ đề 2.10 Với mọi n≥ ≥m 0 trong ¢+, các khẳng định sau thỏa:

(i) Không gian con Wn đóng;

Do đó, U n( ), 0 y0 ≥c y0 với c >0, và (i) thỏa

(ii) Để chứng minh X n⊥,*IWn={ }0 , ta giả sử x U n= ( ),0 y0∈X n⊥,* với y0∈Y0

Vì U n( ),0 *:X n,*→X0,* là đẳng cấu theo Bổ đề 2.3 (iii), nếu ξ0∈X0,* thì

(iv) Theo (ii), ta có: ( )W *n =( )X n⊥,* ⊥ = X n,*

Theo (2.29) suy ra (2.32) vì các toán tử khả nghịch thì chuẩn của các nghịch đảo là bằng nhau □

Ta xét tổng trực tiếp X*=X n⊥⊕Y n,*,n≤0, với Y n,* là một phần bù trực tiếp bất kỳ U n m( ), *−bất biến của X n⊥ (có đối chiều hữu hạn) trong X Ta có thể đồng nhất * ( )Y n,* * =( )X n⊥ ⊥ = X n và định nghĩa Wn,* ={U( )0,n *ξ0 ∈Y0,*},n≤ 0

Bổ đề 2.11 Với mọi m≤ ≤n 0 trong ¢−, các khẳng định sau thỏa:

(i) Không gian con Wn,* đóng;

n

n m

U n m − ≤Me−α − Chứng minh

Ta có:

Điều này suy ra (i)

Định lý 2.12 Cho X là không gian Banach phản xạ, toán tử D là Fredholm trên l Z X p( , ),p∈ ∞[1, )

hoặc trên c Z X , khi đó, họ tiến hóa rời rạc 0( , ) { ( ), } , ,

ImP n+=ImP n và K Per n+=K Per n⊕W ,n n>0 (2.34)

Với n≥ >m 0: nếu x∈ImP m+ thì U n m x( ), ∈ImP n+ theo (2.10)

Nếu x y z KerP= + ∈ m+ với y∈ K e r P m,z∈W m, thì

m m

n m P

m

K P

U n m khả nghịch và nghịch đảo của nó thỏa Mệnh đề 2.6 (iii) Toán tử U n m( ), |W thỏa (2.27)

Toán tử đầu tiên khả nghịch theo Bổ đề 2.10 (iv) và toán tử thứ hai khả nghịch theo (2.35)

1 er , 0 |

K P

U n +

−

Với n≤0:

Đầu tiên ta xet n<0:

Theo Mệnh đề 2.9 và Bổ đề 2.11 (ii), ta có tổng trực tiếp

,* ,* ,*

X =X⊥⊕ = P ⊕ n< Gọi R n,* là phép chiếu trên X thỏa *

ImR n,*=ImP n,* và K Rer n,*=K Per n,*⊕W ,n,* n<0 (2.38)

Như trong chứng minh Định lý 2.12 với trường hợp n>0, : với 0> ≥n m, người ta chứng minh được:

Gọi X là phần bù trực tiếp của 0,*' X0,* trong X0⊥ và theo (2.26), X0,*⊂K Per 0,*

Đặt: X%0,*=X0,*' IKerP0,*sao cho

0,* 0,* 0,*

er

K P =X ⊕X% Định nghĩa phép chiếu R0,* trên X như sau: *

Chứng minh (2.44) tương tự như (2.35) và dùng toán tử nút thu gọn (2.25)

Bổ đề 2.11 (iii), (iv) suy ra:

(0, 1 *:) 0,* W1,*

Do đó, theo (2.42), (2.43) và (2.44) ta kết luận rằng U(0, 1 *: er− ) K R0,*→K Rer −1,* là đẳng cấu

Vì vậy, U(0, 1 *− ) R0,*=R U−1,* (0, 1 *− )

Các đánh giá (2.40) – (2.41) với 0≥ ≥n m suy ra từ các ước lượng với 0> ≥n m đã được chứng minh trong Mệnh đề 2.9 và Bổ đề 2.10

Để hoàn tất chứng minh Định lý 2.12 với n≤0, ta ký hiệu:

Hệ quả 2.13 Nếu D là Fredholm thì với mỗi n∈¢, ta có: dim X n =d im KerD và

,*

dimX n =dim er *K D Chứng minh

Bổ đề 2.14 Một hàm u∈domG- miền xác định của toán tử G xác định trên L p(hoặc trên C0(¡,X)) nếu và chỉ nếu u∈L pIC0(¡,X) (hoặc u C∈ 0(¡,X)) và tồn tại f ∈L p(hoặc f ∈C0(¡,X)) sao cho

Do đó, ta chỉ cần chứng minh N( )0, 0 là Fredholm và ind D=(dimX0 − dimX0,*), (xem Hệ quả 2.13)

Ta biết rằng ImD đóng và ta muốn chứng tỏ ImN( )0,0 cũng đóng

Trước hết, ta chứng minh nếu y= −(I P0+)x x, ∈KerP0− thì y⊗ e0∈ Im D

Tiếp theo, ta chứng minh: nếu y ⊗ e0∈ Im D và y KerP∈ 0+ thì y∈ImN( )0,0

Thật vậy, với x∈l p(Z X, ), ta có: Dx = ⊗y e0 Do đó, 0= −x n U n( ),0 x0 với n>0

Điều này suy ra:

Tiếp theo ta chứng minh các biểu thức với các số khuyết Ta có:

K N =K P−I P+

Do đó, nếu x KerN∈ ( )0,0 thì x n ≤ce−αn, với x n=U n( ),0 ,x n≥0vì x∈ImP0+

Ngoài ra, x n ≤ceαn,n<0 với dãy ( )x n n<0 thỏa x U= ( )0,n x m với mọi n m≥ và

Vì thế, K Ner ( )0,0 =X0 và dimKerN( )0,0 =dimX0

Hơn nữa, N( )0, 0 * = −(I P0−) (* I−P0+)* là toán tử xác định từ (K Per 0+)* =Ker( )P0+ * đến

( ) (0 0 )

er * er *

K P− = K P− và K Ner ( )0, 0 * = Im( )P0− * IKer P( )0+ *

Cố định một hàm liên tục tuần hoàn chu kỳ bằng 1 như sau: