Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một m i trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TÌM VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU
TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
1 Phương pháp
Cho mặt cầu ( )S có tâm I , bán kính R và đường thẳng
Để xét vị trí tương đối giữa và ( )S ta tính d I , rồi so sánh với bán kính R
,
d I R: không cắt ( )S
,
d I R: tiếp xúc với ( )S
Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng
,
d I R: cắt ( )S tại hai điểm phân biệt A, B và
2 2
4
AB
R d
Ví dụ: Trong không gianOxyz, cho đường thẳng
2
2
và mặt cầu
( ) : (S x1) (y3) (z 2) 1Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( )S là:
A 15
2
m hoặc 5
2
2
2
m
Lời giải
Từ phương trình đường thẳng và mặt cầu ( )S ta có
(2 t 1) (1 mt 3) ( 2 t 2) 1
(1 ) (4 t) ( 2 t 2) 1
5 2(5 4 ) 20 0 (1)
Để không cắt mặt cầu ( )S thì (1) vô nghiệm, hay (1) có
15 2 ' 0
5 2
m m
2 Bài tập
Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x1)2(y3)2 (z 2)2 1 và đường thằng
2
Giá trị của m để đường thẳng tiếp xúc mặt cầu ( )S là:
Trang 2A 15
2
2
2
2
m
C 5 15
Lời giải
Từ phương trình đường thẳng và mặt cầu ( )S ta có
(2 t 1) (1 mt 3) ( 2 t 2) 1
(1 ) (4 t) ( 2 t 2) 1
5 2(5 4 ) 20 0 (1)
Để tiếp xúc mặt cầu ( )S thì (1) có nghiệm kép, hay (1) có
15
2
m a
m
Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
(x1) (y3) (z 2) 1và đường thẳng 2
2
Giá trị của m để đường thẳng cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt là:
2
m hoặc 5
2
m
C 15
2
2
2 m 2
Lời giải
Từ phương trình đường thẳng và mặt cầu ( )S ta có
(2 t 1) (1 mt 3) ( 2 t 2) 1
(1 ) (4 t) ( 2 t 2) 1
5 2(5 4 ) 20 0 (1)
Để cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt, hay (1) có
' 0
Câu 3 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có điểm A trùng với gốc của
hệ trục tọa độ, B a( ;0;0), D(0; ;0)a , A(0;0; )b (a0,b0) Gọi M là trung điểm của cạnh
CC Giá trị của tỉ số a
b để hai mặt phẳng (A BD ) và MBD vuông góc với nhau là:
Trang 31
2 C 1 D 1
Lời giải
2
b
ABDCC a a C a a b M a a
Cách 1
2
b
MB a
; BD a a; ;0 và A B' a;0;b
2 2
ab ab
uMB BD a
; '
Chọn v1;1;1 là VTPT của A BD '
b
Cách 2
A BD' ; MBD A X MX' ;
; ; 0
2 2
a a
là trung điểm BD
2 2
a a
A X b
; ;
MX
A BD' MBDA X' MX
A X MX
0
1
a b
Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y2z 4 0 và mặt cầu
2 2 2 ( ) :S x y z 2x2y2z 1 0.Giá trị của điểm M trên S sao cho d M P đạt ,
Trang 4A 1;1;3 B 5 7 7; ;
3 3 3
C 1; 1; 1
Lời giải
Ta có: d M P( , ( )) 3 R 2 ( )P ( )S
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có pt:
1
1 2
Tọa độ giao điểm của d và (S) là: 5 7 7; ;
3 3 3
; ;
B
Ta có: d A P( , ( )) 5 d B P( , ( )) 1. d A P( , ( ))d M P( , ( ))d B P( , ( ))
Vậy: d M P( , ( ))min 1 M B
Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 2x2y z 9 0 và mặt cầu
( ) : (S x3) (y2) (z 1) 100 Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( )S sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị nhỏ nhất là:
A 11 14 13; ;
3 3 3
C 29 26; ; 7
11 14 13
; ;
Lời giải
Mặt cầu ( )S có tâm I(3; 2;1) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )P : d I P( ;( )) 6 R nên ( )P cắt ( )S Khoảng cách từ M thuộc ( )S đến ( )P lớn nhất M( )d đi qua I và vuông góc với ( )P
Phương trình
3 2
1
Ta có : M( )d M(3 2 ; 2 2 ;1 t t t)
Mà : M( )S
1
2
; ;
Trang 5Thử lại ta thấy : d M( 1, ( ))P d M( 2, ( ))P nên 11 14 13; ;
3 3 3
thỏa yêu cầu bài toán
Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho các điểm I1; 0; 0và đường thẳng : 1 1 2
d
Phương trình mặt cầu S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB
đều là:
A 2 2 2 20
1
3
1
3
x y z
C 2 2 2 16
1
4
1
3
x y z Lời giải
Đường thẳng đi qua M 1;1; 2 và có VTCP u1; 2;1
Ta có MI 0; 1; 2 và u MI, 5; 2; 1
Gọi H là hình chiếu của I trên (d) Có: , , 5
u MI
IH d I AB
u
IH
Vậy phương trình mặt cầu là: 2 2 2 20
3
x y z
Câu 7 Trong không gian Oxyz, cho
2 :
1
x
và mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y2z 5 0
Tọa độ điểm M trên S sao cho d M d đạt GTLN là: ,
A 1; 2; 1 B (2; 2; 1) C (0; 2; 1) .D 3; 2;1
Lời giải
Ta có: d I d( , ) 1 R suy ra (S) tiếp xúc với d và tiếp điểm là H(2; 2; 1)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d H(2; 2; -1)
Đường thẳng IH có pt:
1
1
z
Tọa độ giao điểm của IH và (S) là: A(0; 2; 1), BH(2; 2; 1).
Trang 6( , ( )) 2 ( , ( )) ( , ( )) 0.
Vậy M(0;2; 1)
Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;3; 3 thuộc mặt phẳng :2 – 2x y z 150và
: (x 2) (y 3) (z 5) 100
S Đường thẳng qua A, nằm trên mặt phẳng
cắt ( )S tại A, B Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng là:
x y z
x y z
C
3 5 3
3 8
y
x y z
Lời giải
Mặt cầu S có tâm I2;3;5, bán kính R10 Do d(I, ( )) R nên luôn cắt S tại A,
B
(I, )
AB R d Do đó, ABlớn nhất thì d I , nhỏ nhất nên qua H, với
H là hình chiếu vu ng góc của I lên Phương trình
x 2 2t
y 3 5
Do vậyAH(1; 4;6) là v c tơ chỉ phương của Phương trình của 3 3 3
x y z
Câu 9 Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;3; 3 thuộc mặt phẳng :2 – 2x y z 150và
: (x 2) (y 3) (z 5) 100
S Đường thẳng qua A, nằm trên mặt phẳng
cắt ( )S tại A, B Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng là:
x y z
x y z
C
3 5 3
3 8
y
x y z
Lời giải
Mặt cầu S có tâm I2;3;5, bán kính R10 Do d(I, ( )) R nên luôn cắt S tại A,
B
Trang 7Khi đó 2 2
(I, )
AB R d Do đó, ABnhỏ nhất thì d I , lớn nhất nên là đường
thẳng nằm trong ( ), qua và vu ng góc với AI Do đó có v ctơ chỉ phương
, (16;11; 10)
uAI n
Vậy, phương trình của : 3 3 3
x y z
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3; 0; 2, B3;0; 2 và mặt cầu
x y z Phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và cắt mặt cầu S theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là:
C x4y5z130 D 3x2yz–11 0
Lời giải
Mặt cầu S có tâm I0; 2;1 , bán kính R5 Do IA 17 R nên AB luôn cắt S Do
đó ( ) luôn cắt S theo đường tròn C có bán kính 2 2
,
r R d I Đề bán kính r
nhỏ nhất d I P , lớn nhất
Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vu ng góc với mpABC
Ta có AB(1; 1; 1) ,AC ( 2; 3; 2) suy ra ABC có v ctơ pháp tuyến
, ( 1; 4; 5)
nAB AC
( ) có v ctơ pháp tuyến n n AB, ( 9 6; 3) 3(3; 2;1) Phương trình : 3 x– 2 2 y–1 1 – 3 z 0 3x2yz–11 0
Trang 8Website HOC247 cung cấp một m i trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đ i HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp s i động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí