Hƣớng dẫn giải: Để tính được thể tích của hình lập phương th ta cần biết cạnh của hình lập phương đó, từ dữ liệu diện tích mặt ch o A ACC ta sẽ tính được cạnh của hình lập phương Gọi cạn[r]
Trang 1B
C
A
PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ TOÁN 12
I LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1 Thể tích khối lăng trụ:
V= B.h
với B là diện tích đáy, h là chiều cao
2) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a, b, c là ba kích thước
3) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh
Ví dụ: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng ' ' ' AB C tạo với mặt ' '
60 Tính theo a thể tích lăng trụ ABC A B C ' ' '
A
3 3 2
a
3
3 3 4
3 3 8
a
3
3 3 8
Hướng dẫn giải:
'
AA ABC
Trang 2Gọi M là trung điểm B C , do tam giác ' ' '' ' A B C đều
Nên suy ra A M' B C ' '
60 AB C' ' , A B C' ' ' AM A M, ' AMA ' Tam giác AA M' , có
3 '
2
a
2
Diện tích tam giác đều
2 ' ' '
3 4
A B C a
Vậy
3
3 3 '
8
Chọn đáp án D
II BÀI TẬP
Câu 1: Thể tích (cm3) khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng 2 cm là:
A 6
3
2
Hướng dẫn giải:
2
Chọn đáp án A
Câu 2: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a là:
A
3
2 3
a
B
3 3 6
a
C
3 3 2
a
D
3 3 4
a
Hướng dẫn giải:
.AA ' 2
Chọn đáp án C
Câu 3: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB = 2a, BC = a,
AA a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
2 3
3
a
B
3 3 3
a
C 4a3 3 D 2a3 3
Hướng dẫn giải:
Trang 33 1
' 2 2 3 2 3
2
Chọn đáp án D
Câu 4: Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' V là thể tích của tứ diện 1 A ABD' Hệ thức nào sau đây là đúng ?
A V 6V 1 B V 4V 1 C V 3V 1 D V 2V 1
Hướng dẫn giải:
Ta có hình vẽ sau:
3
Mà
1
6 1
2
' 3
ABD
V
1
6
Chú ý nhiều độc giả tư duy nhanh nên chỉ xét tỉ số giữa diện
tích đáy mà quên mất rằng với khối chóp thì còn tích với 1
3 nữa, và nhanh chóng chọn ý D là sai Vì
thế, nhanh nhưng cần phải chính xác bạn nhé
Chọn đáp án A
Câu 5: Cho h nh lập phương ABCD.A B C D có diện tích mặt ch o ACC A bằng 2 2a Thể tích của 2
khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là:
a
Hướng dẫn giải:
Để tính được thể tích của hình lập phương th ta cần biết cạnh của hình lập phương đó, từ dữ liệu diện tích mặt ch o A ACC ta sẽ tính được cạnh của hình lập phương
Gọi cạnh của hình lập phương là x suy ra
3 3
2 2
Chọn đáp án A
Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng
(A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 45o.Thể tích lăng tru là:
Trang 4A
3 2 2
a
3 3 3
a
3
Hướng dẫn giải:
45
ABC
2
Chọn đáp án D
Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là trung điểm của
AA1 Thể tích khối chóp M.BCA1 là:
A
3 3 12
a
3 3 24
a
3 3 6
a
3 3 8
a
V
Hướng dẫn giải:
ABC là tam giác đều cạnh a nên có diện tích
2 3 4
ABC
a S
AM
Hai tứ diện MABC và MA1BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy
MAB và MA1B bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra
1
3
a
Chọn đáp án B
Câu 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C , cạnh đáy bằng a Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AB,
BC; góc giữa hai mặt phẳng (C AI) và (ABC) bằng 60o Tính theo a thể tích khối chóp NAC I?
Trang 5A 3
3
32
a
3 3 32
a
3 3 4
a
Hướng dẫn giải:
C AI ABC CIC
2
Ta có
2 2
3 3 '.
Chọn đáp án B
Câu 9: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B BA, BCa A B, tạo với (ABC) một góc 600 Thể tích của khối lăng trụ ABC A B C là:
A
3 3
2
a
3 3 6
a
C 3a 3 D
3
4
a
Hướng dẫn giải:
Góc giữa A”B và đáy là góc
Chọn đáp án A
0
ABA AA a
2
2
ABC
a
2
ABC
a
Trang 6Câu 10: Cho h nh lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và A BC hợp
30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C là
A
3
3 12
a
B
3 3 24
a
C
3
3 24
a
D
3 5 24
a
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của cạnh BC Ta có SAABC AM là hình
chiếu vuông góc của A M trên ABC , nên A BC , ABC bằng góc
0 30
A MA
Xét A MA vuông tại A Ta có
0 3
.tan tan 30
2
Vậy
.
Chọn đáp án B
Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD là h nh thoi cạnh a,BCD1200 và ' 7
2
Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A B C D
A V 12a3 B V 3a3 C V 9a3 D V 6a3
Hướng dẫn giải:
Từ giả thuyết suy ra A O' ABCD
2
0 3 sin120
2
ABCD
a
Vì BCD1200 nên ABC600 ABC đều
2 2
2 2 49
' ' ' ' 3
ABCD A B C D
Chọn đáp án B
Câu 12: Cho h nh lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tam giác A’AC là
Trang 7A
3 6 3
a
3 6 4
a
3 6 6
a
3 6 2
a
V
Hướng dẫn giải:
+ Gọi H là trung điểm của AC Do A AC là tam giác đều
nên A H AC
+ Mặt khác, A AC ABCD theo giao tuyến AC nên
A H ABCD hay A H là đường cao của lăng trụ
2
+ Vậy
3 6
2
Chọn đáp án D
Câu 13: Cho h nh lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A cách đều các điểm
, ,
A B C Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
2
3
8
a
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
3 4
a
B
3 3 16
a
C
3 3 12
a
D
3 3 8
a
Hướng dẫn giải:
Do A A = A B = A C nên hình chiếu vuông góc của A
lên (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AA , Khi đó (P)
góc A AM' nhọn, H nằm giữa AA Thiết diện của lăng
trụ khi cắt bởi (P) là tam giác BCH
ABC đều cạnh a nên 3, 2 3
Theo bài ra
BCH
2 2
2 2 3 3 3
A
B
C
C’
B’
A ’
’
H
Trang 8Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên A O' HM
'
A O
Thể tích khối lăng trụ:
3
Chọn đáp án C
Câu 14: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là h nh chữ nhật AB = a, AD = a 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng
A
3
3 2
a
B
3 3 3
a
C
3
3 2
a
D
3
6
a
Hướng dẫn giải:
Ta có V Bh
+ Diện tích đáy B = 3a2
+ Ta có h = A1O ( O là giao điểm AC và BD)
+ Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) là góc OIA1 bằng 600 trong đó I là trung điểm AD
A OI A OI OI a A O a Vậy V =
3
3 2
a
Chọn đáp án C
Câu 15: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt phẳng 1 1 1
30 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng A B C thuộc đường thẳng 1 1 1 B C Thể tích khối 1 1
lăng trụ ABC A B C bằng: 1 1 1
A
3
3 8
a
B
3 3 4
a
C
3 3 2
a
D
3 3 16
a
Hướng dẫn giải:
Do AH A B C nên góc1 1 1 AA H là góc giữa 1 AA và1
A B C , theo giả thiết thì góc 1 1 1 AA H bằng 1 0
30 Xét tam giác vuông AHA1 có AA =a, góc 1
0
1 30
2
Trang 91 1 1 1 1
2 3
Chọn đáp án A
Trang 10Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương tr nh Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh
Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí