Phương pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1, 2, 3, 4 điểm phân biệt

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trư ng học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên so n công phu và giảng d [r]

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CẮT

TRỤC HOÀNH TẠI 1, 2, 3, 4 ĐIỂM PHÂN BIỆT

1 Phương pháp

Cho đồ thị (C) : y f(x) và trục Ox

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: f(x) 0 

 Số giao điểm của đồ thị (C) với trục Ox chính là số nghiệm của phương trình:f(x) 0

 Giải và biện luận phương trình f(x) 0 

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 :

Định m để đồ thị của hàm số y x  3  mx 2  2m t trụ t i điểm duy nhất

Lời giải

Hàm số đã ho á định D 

Ta có: y   3x 2  2mx x(3x 2m)  

Khi m = 0 thì y   3x 2  0  hàm số đồng biến trên  thoả yêu cầu bài toán

Khi m  0thì hàm số cho có 2 cực trị x1 0 , x2 2m

3

Do đó đồ thị c t Ox t i duy nhất 1 điểm khi y(x ).y x1  2  0 2m 2m 4m3 0

27

2

2 2m

27

 



 





m

3 6 3 6

2 2 thì đồ thị của hàm số c t Ox t i điểm duy nhất

Ví dụ 2 : Định m để đồ thị của hàm số y x  3  3m x 2m 2  tiếp xúc trụ t i hai điểm ph n iệt

Lời giải

Hàm số đã ho á định D 

Để đồ thị của hàm số tiếp xúc trục hoành hai điểm phân biệt thì đồ thị của hàm số

phải ó 2 điểm cực trị  y  0 có 2 nghiệm phân biệt, tức là 3x2 3m2 0 có 2

nghiệm phân biệt  m  0

Với m  0 thì y' 0  có 2 nghiệm x   mvà y( m) 2m   3 2m, y(m)   2m 3  2m

Đồ thị của hàm số tiếp trụ t i hai điểm ph n iệt   y( m) 0  hoặc

y(m) 0 

Với y( m) 0    2m 3  2m 0   m 0  (lo i)

Với y(m) 0    2m3 2m 0   m 0  hoặc m   1

Vậy, với m 1thỏa mãn bài toán

Ví dụ 3 : Định m để đồ thị của hàm số y   x3 mx2 m t trụ t i a điểm ph n iệt

Lời giải

Hàm số đã ho á định D 

Đồ thị của hàm số t trụ t i a điểm ph n iệt khi đồ thị của hàm số ó hai ự trị đồng th i hai

giá trị ự trị trái ấu

Ta có: y'   3x2 2mx và 3

    





àm số ó hai ự trịm0

ai giá trị ự trị trái ấu 2m   4 3

m (4m 27) 0

2

Vậy, với m 3 3

2

 đồ thị của hàm số t trụ t i a điểm ph n iệt

Ví dụ 4 : Định m để đồ thị của hàm số y x  4  mx 2  m 1  t trụ t i ốn điểm ph n iệt

Lời giải

Hàm số đã ho á định D 

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox : x 4  mx 2  m 1 0   (1)

Đặt  2 

t x , t 0, khi đó: (1)  2    

t mt m 1 0 (2)  t 1  hoặc t  m 1 

Đồ thị của hàm số t trụ t i ốn điểm ph n iệt khi (1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm ương ph n iệt  0 m 1 1      1 m 2 

Ví dụ 5 : Tìm m để đư ng thẳng y mx 1   c t đồ thị  C : y   2x 3  6x 2  1 t i a điểm phân biệt A,

B,C sao cho A 0;1  và B là trung điểm của AC

Lời giải

Đư ng thẳng y mx 1   c t  C t i a điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

 2x 3  6x 2   1 mx 1  ó a điểm phân biệt  x 2x 2  6x m   0 có ba nghiệm phân biệt



9

2

Với điều kiện   thì đư ng thẳng y mx 1   c t đồ thị  C a điểm phân biệt A 0;1 , B,C

Vì B là trung điểm của AC nên có:



2 1

2 1 2

1

x 2x

x 2x

mx 1 2

 1

Theo định lý Vi – et , ta có:









1 2

1 2

m

x x

2

 2

Từ  1 và  2 suy ra m 4 

3 Bài tập

Bài 1:

1 Cho hàm số y x  3  mx 2  Tìm m để đồ thị của hàm số c t trục hoành t i điểm duy nhất

2 Cho hàm số y 2x  3  3(m 1)x  2  6mx 2  Tìm m để đồ thị của hàm số c t trục hoành t i điểm duy nhất

Bài 2:

1 Định m để đồ thị của hàm số y x  3 3x2 (2m 1)x 4m 2    tiếp trụ t i hai điểm ph n iệt

2 Cho hàm số y x  4  2m x 2 2  m 4  2m Chứng minh đồ thị của hàm số luôn c t trục Ox t i ít nhất hai

điểm phân biệt, với mọi m 0 

Bài 3: Tìm m  để:

1 Hàm số y x  3  3m x 2m 2  ó đồ thị là  Cm tiếp xúc Ox t i đ ng 2 điểm phân biệt

Bài 4: Gọi  Cm là đồ thị của hàm số y x  4  2(m 1)x  2  m 2  3m Tìm m để  Cm và trục hoành:

1 Có 4 điểm chung phân biệt

2 Có 3 điểm chung

3 Có hai điểm chung

4 Không ó điểm chung

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1 Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục Ox:

x

2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán     m 3 m   3

Cách 2: Để đồ thị hàm số (1) c t Ox t i duy nhất một điểm ta ó á trư ng hợp sau:

TH 1: Đồ thị hàm số (1) không có cực trị hay là hàm số (1) luôn đồng biến (do a 1 0   ) trên

2

R  y' 3x   m 0 x     m 0 

cực trị là: y1 2 2m m

3

1 2

4m

27

2   2   

y 6x 6(m 1)x 6m và có     2    2

y' 9(m 1) 36m 9(m 1)

Nếu m 1 thì  y     0, x thì hàm số đồng biến trên  đồ thị c t trục hoành

t i 1 điểm duy nhất  m 1  thoả mãn

Nếu m 1  thì hàm số ó á điểm cực trị x , x1 2 (x , x1 2 là các nghiệm của phương

trình y 0) x1x2 m 1; x x 1 2m

Lấy y chia cho y ta được:           

2

 phương trình đư ng thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y   (m 1) x 2 m(m 1)  2   

Đồ thị hàm số c t trục hoành t i 1 điểm duy nhất  y x y x   1 2  0

   2       2    

(m 1) x 2 m(m 1) (m 1) x 2 m(m 1) 0

  2 2   

(m 1) (m 2m 2) 0  m 2  2m 2 0   (vì m  1)  1  3  m 1   3

Bài 2:

1 Phương trình hoành độ giao điểm: x 3  3x 2  (2m 1)x 4m 2 0    

  2    

(x 2)(x x 2m 1) 0   x 2hoặc f(x) x  2  x 2m 1 0  

(d): tiếp xúc đồ thị (C) của hàm số t i hai điểm phân biệt khi phương trình f(x) 0  phải có nghiệm

1 2

x , x thỏa mãn: 2 x  1 x2 hoặc x1  2 x2



5 m 8

 

1 m 2



2 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị của hàm số với trục Ox:

4 2 2 4

x 2m x m 2m 0(1).Đặt  2 

t x (t 0), (1) trở thành :

   

2 2 4

t 2m t m 2m 0 (2) Ta có :   ' 2m 0 và  2 

S 2m 0 với mọi m 0 Nên (2) có nghiệm ương  (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt  đồ thị hàm số (1)

luôn c t trục Ox t i ít nhất hai điểm phân biệt

Bài 3:

1 Để  C m tiếp xúc Ox t i đ ng 2 điểm phân biệt khi  C m có 2 cực trị đồng th i yCĐ 0 hoặc

CT

y  0  Cm có 2 cực trị  y' 0  có 2 nghiệm phân biệt  3x2 3m2  0 có 2 nghiệm phân biệt

.Khi m  0thì y' 0     x m

C

y Đ y  m   0 2m  2m 0   m 0  (lo i)

CT

y  y m    0 2m  2m 0   m 0 m     1

Bài 4: Phương trình hoành độ giao điểm của (C )m và Ox :

x  2(m 1)x   m  3m(1)  t  2(m 1)t m    3m 0 (2) t   x  0

1 (C ) m và ó 4 điểm chung  phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm ương ph n iệt

2 2 2

1 m

1

5





2 (C )m và ó a điểm chung  phương trình (1) có ba nghiệm

 phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm ương

3 (C )m và ó hai điểm chung  phương trình (1) ó đ ng hai nghiệm

 phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép ương

P 0

1

5 5

S 0

d (C )m và không ó điểm chung  phương trình (1) vô nghiệm

 phương trình (2) vô nghiệm hoặc là có nghiệm và các nghiệm đều âm

1 m



 







Website HOC247 cung cấp một môi trư ng học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên so n công phu và giảng d y bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ á trư ng Đ i họ và á trư ng chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trư ng PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và á trư ng Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư uy, n ng ao thành tí h học tập ở trư ng và đ t điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn ùng đôi LV đ t thành tích cao HSG Quốc Gia

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập tr c nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, huyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin ọc và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí