Bài toán: đồ thị cắt trục hoành tạo 3, 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên so n công phu và giảng d [r]

BÀI TOÁN ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠO 3, 4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ

HOÀNH ĐỘ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

I Phương pháp giải

1 Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax 3bx2cx d a (  0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành

độ tạo thành một cấp số cộng

(C) cắt trục hoành nên có: ax3 bx2 cx d   0 ( ) 

1 2 3

x ,x ,x lập thành một cấp số cộng  phương trình ( )  có 3 nghiệm x ,x ,x1 2 3 thỏa mãn x1 x3 2x2 (1) Khi đó: 3 2

ax  bx  cx d   a(x x )(x x )(x x )   

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3

a x  (x x x )x (x x x x x x )x x x x 

Từ (1) và (2) suy ra x2   b

3a Thế x2  b

3a vào ( ) để suy ra điều kiện cần tìm

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được

2 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số

nhân

Giả sử ( )  có 3 nghiệm x ,x ,x1 2 3 lập thành cấp số nhân  phương trình ( )  có 3

nghiệm x ,x ,x1 2 3 thỏa mãn  2

1 3 2

x x x (3)

Từ (3) và (2) suy ra  3  

2

d x

a là 1 nghiệm của ( )

Thế   3

2

d x

a vào ( ) để suy ra điều kiện cần tìm

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được

3 Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax  4 bx2 c (a 0)  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

có hoành độ lập thành một cấp số cộng

 ax 4  bx 2   c 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt  at 2  bt c 0 (t    x ) 2 (2) có 2

nghiệm dương phân biệt t ,t1 2 (giả sử t1t2)  1

Khi đó các nghiệm của (1) là:  t ;2  t ; t ; t1 1 2

Vì  t ;2  t ; t ; t1 1 2 lập thành cấp số cộng nên t 2  t 1  t 1   t 1

Giải điều kiện:    1 , 2

II Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 :

1 Định m để đồ thị của hàm số y x  3 3x2 9x m  cắt trục hoành t i ba điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3

x , x , x ập thành cấp số cộng

2 Cho hàm số y x  3 4m 5 x   2 3m 2  12m 8 x 7m    2  8m có đồ thị  C m Với m là tham số thực Tìm m để  Cm cắt trục hoành t i ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Lời giải

1 Hàm số đã cho xác định D 

hương trình hoành độ giao điểm: x 3  3x 2  9x m 0 ( )   

iả sử đồ thị của hàm số cắt trục x t i ba điểm phân biệt có hoành độ x ,x ,x1 2 3 (x1 x2 x )3 thì

1 2 3

x ,x ,x à nghiệm của phương trình ( ) 

Khi đó: 3 2

x  3x  9x m (x x )(x x )(x x )     

x (x x x )x (x x x x x x )x x x x x x x 3 (1)

Do x ,x ,x1 2 3 ập thành một cấp số cộng x1 x3 2x2 (2)

hế vào ta có : x2 1

Thay x2 1 vào phương trình ( )  , tìm được m = 11

ới m thì phương trình ( )   x 3  3x 2  9x 11 0    (x 1)(x  2  2x 11) 0   , phương trình này có 3 nghiệm x1  1 2 3, x2 1, x3  1 2 3 thỏa mãn điều kiện x1 x3 2x2

Vậy, m = 11 thì đồ thị của hàm số cắt trục x t i ba điểm phân biệt có hoành độ x ,x ,x1 2 3 ập thành cấp

số cộng có công sai d 2 3 

2 Hàm số đã cho xác định D 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên .

Hoành độ giao điểm của trục hoành và  Cm là nghiệm của phương trình

x  4m 5 x  3m 12m 8 x 7m  8m 0  x m x   3m 5 x 7m 8   0

Để  C m cắt trục hoành t i ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g x  có hai nghiệm phân

biện khác m tức phải có:









2 2

1 17

m

Với điều kiện   thì  Cm cắt trục hoành t i ba điểm phân biệt có hoành độ x , x , x1 2 3 lập thành một

cấp số cộng

Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số cộng của phương trình hoành độ là

x d, x , x d với d à công sai Khi đó đẳng thức sau uôn đúng







0

2 0

0 0 3

4m 5 3x

 10m 3  51m 2  6m 55 0    m  hoặc m   5 hoặc m  11

10 Kết hợp với điều kiện 1 17   



m

Vậy m 1 hoặc  m   5 hoặc m  11

10 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 : Định m để đồ thị của hàm số y   x4 2(m 2)x  2 2m 3  cắt trục hoành t i bốn điểm phân

biệt có hoành độ x , x , x ,x1 2 3 4 ập thành cấp số cộng

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D 

hương trình hoành độ giao điểm:  x 4  2(m 2)x  2  2m 3 0 (1)  

Đặtt  x ,t 0 2  thì (1) trở thành g(t)    t2 2(m 2)t 2m 3    (2)

Đồ thị của hàm số cắt trục hoành t i bốn điểm phân biệt có hoành độ x , x , x ,x1 2 3 4  có bốn

nghiệm phân biệt x ,x ,x ,x1 2 3 4 (x1 x2  x3 x )4  có hai nghiệm dương phân biệt t ,t (t1 2 1 t )2 , tức

lá phải có :

m

m 2





 

heo định iet, ta có: 1 2

1 2

t t 2(m 2) (a)



Khi đó phương trình có bốn nghiệm phân biệt: x1  t2  x2  t1 x3 t1  x4  t2

a có: x ,x ,x ,x1 2 3 4 ập thành một cấp số cộng  x2 x1 x3 x2 x4 x3

ừ a và c , ta có: t1 1(m 2), t2 9(m 2)

(m 2) (m 2) 2m 3 9m 14m 39 0

9

   hoặc m  3 thỏa   )

Vậy, với m 13

9

  hoặc m  3 thỏa mãn bài toán

Ví dụ 3 :

1 Định m để đồ thị của hàm số y x  3 3mx2 (m 1)x 8   cắt trục hoành t i ba điểm phân biệt có

hoành độ x , x , x1 2 3 ập thành cấp số nhân

2 Cho hàm số   3    2     

y x 3m 1 x 2 3m 1 x 8 Tìm m để  Cm cắt trục hoành t i ba điểm phân

biệt lập thành một cấp số nhân

Lời giải

1 Hàm số đã cho xác định D 

hương trình hoành độ giao điểm: x 3 2m 5 x   2  14mx 8 0   ( )

Đk cần: Giả sử đồ thị của hàm số cắt Ox t i 3 điểm phân biệt có hoành độ x ; x ; x1 2 3

lần ượt lập thành cấp số nhân

Khi đó ta có: 3   2

x  2m 5 x   14mx 8 (x x )(x x )(x x )     

Suy ra:

1 2 3

1 2 2 3 1 3

1 2 3

x x x x x x 14m

x x x 8





1 2 3

x ; x ; x lần ượt lập thành cấp số nhân  x x1 3 x22 x32   8 x2  2

Với x2  2 là nghiệm của phương trình ( )  , nên có: 2 3 2m 5 2   2  14m.2 8 0  

hay m 1 

Với m 1  thay vào ( )  ta được: x3 7x2 14x 8 0  

x 1 x 2 x 4   0 x 1

Vậy, m 1  thỏa mãn đề bài

2 Hàm số đã cho xác định D 

Cách 1: Hoành độ giao điểm của trục hoành và  Cm là nghiệm của phương trình

 x 3  3m 1 x  2  2 3m 1 x 8 0   

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là x , x , x1 2 3 với  2  

1 3 2

x x x 1 Khi đó:     2           2    

3

Phân tích vế trái trở thành  3     2     

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3

hương trình  2 xảy ra        

 



1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

2 3m 1 x x x x x x

8 x x x

Từ  1 ta có  1 2 3  3  2  1 3 

2

8 x x x 8 x x 2 x x 3m 1 nên x , x1 3 là nghiệm của phương trình

2

t 3m 1 t 4 0 và x , x1 3 2 tức là có hệ:





3

5 3m 0

Cách 2:

 x 3  3m 1 x  2  2 3m 1 x 8 0     2 x x   2  3 m 1 x 4   

Do đó x 2  và g x  x 2  3 m 1 x 4 0     phải có hai nghiệm phân biệt khác 2 và tích hai nghiệm luôn

III Bài tập

Bài 1: Cho hàm số y x  4  2 m 1 x   2  2m 1  có đồ thị là  Cm Định m để đồ thị  Cm cắt trục hoành

t i 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Bài 2: Gọi  Cm à đồ thị của hàm số y x  4 (3m 2)x 2m   2 5m 1  , m là tham số ìm m để  Cm

cắt đường thẳng (d) : y - 2 = 0 t i 4 điểm phân biệt

1 Có hoành độ lập thành một cấp số cộng

2 Có hoành độ ớn hơn – 4

Bài 3: ìm m để đồ thị hàm số :

1 y x  3 3x2 (4m 1)x 2m   2 3 cắt Ox t i ba điểm A, B,C sao cho AB BC 

2 y x  4 2mx2 2m 3  cắt trục hoành t i bốn điểm A, B,C, D sao cho AB BC CD  

3 Cho hàm số y x  3 px2 pqx q  3 có đồ thị là (C), với p,q là các số thực cho trước thỏa mãn

p 3q 0   Chứng minh rằng (C) cắt trục hoành t i ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

4 y  x – 10mx4 2 6m 3  cắt trục hoành t i bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4  2 m 1 x   2  2m 1 0    

Đặt t  x ,t 0 2  thì   trở thành: f(t) t  2  2 m 1 t 2m 1 0     

Để  Cm cắt Ox t i 4 điểm phân biệt thì f(t) 0  phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Gọi t1 t2 là 2 nghiệm của f(t) 0  , khi đó hoành độ giao điểm của  Cm với Ox lần ượt là:

x   t , x   t , x  t , x  t

1 2 3 4

x , x , x , x lập thành cấp số cộng  x2 x1 x3 x2 x4 x3 t2 9t1

9

 

Bài 2:

hương trình hoành độ giao điểm của (C )m và Ox :

x  (3m 2)x 2m    5m 1 2 1    t – 3m 2 t 2m – 5m – 3 0 2   

  t 2m 1    t m 3  (C )m cắt (d) t i 4 điểm phân biệt  phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt 

phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

1 m









Khi đó m + >

m – 3 do đó 4 nghiệm của (1) xếp theo thứ tự lớn dần là  2m 1 ,   m 3 , m 3 , 2m 1   

1 Bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng  2m 1   m 3   m 3 (    m 3) 

2 Bốn nghiệm này lớn hơn – 4 2m 1 4 2m 1 16 m 15

2

được 3 < m < 15

2

Bài 3:

1 Điều kiện cần: Giả sử (C )m cắt Ox t i ba điểm A,B,C suy ra phương trình

x  3x  (4m 1)x 2m     3 0 ( )  có ba nghiệm phân biệt x1 x2 x3 và khi đó

A(x ; 0), B(x ; 0), C(x ; 0)  AB BC   x2 x1 x3 x2 x1 x3 2x2 (1)

x  3x  (4m 1)x 2m     3 (x x )(x x )(x x )    3 2

Với a x  1 x2 x ; b x x3  1 2 x x2 3 x x ; c x x x3 1  1 2 3

So sánh hệ số của x2 ta có: a    3 x1 x2 x3   3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3x2    3 x2    1 ( ) có một nghiệm

2

x       1 1 3 4m 1 2m      3 0 m 0,m 2  

Điều kiện đủ:

* m 0     ( ) x3 3x2    x 3 0 x(x2  1) 3(x2  1) 0

2

(x 1)(x 3) 0 x 3,x 1,x 1

* m 2     ( ) x3 3x2 7x 5 0    (x 1)(x  2 2x 5) 0     x 1m 2 lo i

2 hương trình hoành độ giao điểm của (C )m với Ox: x4 2mx2  2m 3 0  

Đặt t  x ,t 0 2  ta có: t2 2mt 2m 3 0    (1)

(C ) cắt Ox t i bốn điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm dương phân biệt

2

P 2m 3 0





( )  Gọi t1 m   ', t2 m   '

Khi đó A t ; 0 , B 2   t ; 0 , C 1   t ; 0 , D 1   t ; 0 2 





3 x 3  px 2  pqx q  3  0    x q hoặc x2 (p q)x q   2  0 ( ) 

Ta có   (p q)  2 4q2  p2 2pq 3q  2 (p q)(p 3q)  

Do p,q 0  và p 3q     0 Nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa x x1 2  q2 Do đó ba nghiệm x , q,x1  2 lập thành CSN

4 t 2  10mt 6m 3 0 (1) t      x 2

 Cm cắt trục Ox t i 4 điểm phân biệt (1) có hai nghiệm dương phân biệt

Gọi hai nghiệm dương của phương trình t , t t1 2 1 t2 khi đó bốn nghiệm của phương trình cho xếp theo thứ tự lớn dần và lập CSC là  t ,2  t , t , t1 1 2 thỏa mãn : t2  t1  t1  t1   t1  t2

Áp dụng định lí Vi-et vào phương trình ,kết hợp với điều kiện t2 9t1 ,ta có hệ

1

3

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên so n công phu và giảng d y bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đ i học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các rường ĐH và H danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ ăn, iếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình oán Nâng Cao, oán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành t ch học tập ở trường và đ t điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 0, , Đội ngũ iảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HL đ t thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn ph , kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ ăn, in Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí