Tóm tắt lý thuyết và bài tập về mặt nón – khối nón

Gọi V1 là thể tích của hình trụ tròn xoay đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông ABCD, A ' B ' C ' D ' và V2 là thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’ và đáy là đường tròn nội tiếp[r]

Trang | 1

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ MẶT NÓN – KHỐI NÓN

1 Định nghĩa mặt nón

Cho đường thẳng  Xét 1 đường thẳng l

cắt  tại O và không vuông góc với 

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như

thế khi quay quanh  gọi là mặt nón tròn xoay

hay đơn giản là mặt nón

-  gọi là trục của mặt nón

- l gọi là đường sinh của mặt nón

- O gọi là đỉnh mặt nón

- Nếu gọi  là góc giữa l và  thì 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón  0 0

0 2180

2 Hình nón và khối nón

Cho mặt nón N với trục  , đỉnh O và góc ở đỉnh 2  Gọi  P là mặt phẳng vuông góc với  tại I khác O

Mặt phẳng  P cắt mặt nón theo đường tròn  C có tâm I Gọi  P là mặt phẳng vuông góc với '  tại

O Khi đó:

- Phần của mặt nón N giới hạn bởi 2 mặt phẳng  P và  P cùng với hình tròn xác định bởi '  C gọi

là hình nón

- Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón

3 Diện tích hình nón và thể tích khối nón

- Diện tích xung quanh của hình nón: S xq Rl với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh

- Thể tích khối nón: 1 2

3

V  R h với R là bán kính đáy, h là chiều cao

Ví dụ: Hình nón tròn xoay có trục SOR 3 với R là bán kính đáy, thiết diện qua trục của hình nón tạo

thành tam giác SAB là tam giác đều Gọi I là trung điểm của SO và E, F SO sao cho 1

2

Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón là điểm:

Lời giải

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì: '

rO S O A O B

Δ

O

M

R r I

O A

S

B O'

Ta có: ' 3 0

cos30

R

3

3 2

R

Vậy O'E

Chọn B

4 Bài tập

Bài 1: Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB1, đáy lớn CD3, cạnh bên 2,BCDA 2

Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng:

A 7

3

3

3

Lời giải

Kẻ AH BK, cùng vuông góc với CD

Gọi M N, lần lượt là điểm đối xứng của H qua AD và của K qua BC thì tam giác MAD và tam giác

NBC là 2 tam giác vuông cân bằng nhau có MAABBNAH1

Chọn A

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có  0 0

BAD   ADa và ADB90 0 Quay ABCD

quanh AB, ta được vật tròn xoay có thể tích là:

A 3 2

sin

sin os

C

2

3sin cos

V a 



2

3cos sin

V a 



Lời giải

Kẻ DHAB CN, AB

N

C

B

K

Trang | 3

Các tam giác vuông HAD và NBC

bằng nhau

.sin cos

cos

DH CN a

AH BN a

a

HN AB







 

 

  

Khi quay quanh AB, các tam giác vuông

AHD và NBC tạo thành hai hình nón tròn xoay bằng nhau nên:

2

a

V  DH AH  DH HN CN BN  DH AB a  a 

Chọn C

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi O’, O là tâm của hai hình vuông ABCD và ' ' ' '

' ' ' '

A B C D và O O' a Gọi V là thể tích của hình trụ tròn xoay đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các 1

hình vuông ABCD A B C D, ' ' ' ' và V là thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’ và đáy là đường tròn nội tiếp 2

hình vuông ABCD Tỉ số thể tích 1

2

V

V là:

Lời giải

Gọi M trung điểm của AB thì tam

giác OAM vuông cân tại M

;

2 2

2 2

2

3





   

        

Chọn D

Bài 4: Cho ABC vuông cân tại C, nội tiếp trong đường tròn tâm O, đường kính AB.Xét điểm S nằm

ngoài mặt phẳng ABC sao cho  SA SB SC, , tạo với ABC góc  0

45 Hãy chọn phát biểu đúng:

A Hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp ABC là hình nón tròn xoay

B Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân

C Khoảng cách từ O đến 2 thiết diện qua đỉnh SAC và  SBC bằng nhau 

D Cả 3 bài trên đều đúng

Lời giải

Kẻ SO'ABC Ta có : SO A'  SO B'  SO C' SASBSC O A; ' O B' O C'

R1

R2

M O

B

B

D C

Vậy, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nên O'O: A đúng

SAB

 có SABSBA450 nên là tam giác vuông cân tại S:B đúng

Vì ABC vuông cân tại C nên kẻ OM CA và ONCB thì: 1 1

Chọn D

Bài 5: Cho tứ diện OABC có OAB là tam giác vuông cân ,

2

a

OAOBa OC và OCOAB Xét hình nón tròn xoay đỉnh C, đáy là đường tròn tâm O, bán kính A Hãy chọn phát biểu sai:

A Đường kính hình nón bằng 6

2

a

B Khoảng cách từ O đến thiết diện ABC bằng 

2

a

C Thiết diện ABC là tam giác đều 

D Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc 450

Lời giải

Tam giác OAB vuông cân tại O nên ABa 2

Vì AB AC: sai

Chọn C

Bài 6: Hình nón tròn xoay nội tiếp trong tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng:

4

xq

6

xq

6

xq

3

xq

Lời giải

Gọi S ABC là tứ diện đều cạnh A

Gọi H là trung điểm cạnh BC

Kẻ SOABC thì 3

2

a

là đường sinh của hình nón

Ba điểm A O H, , thẳng hàng

2

xq

C O

S

Trang | 5

Bài 7: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng:

A

2

3

xq

a

S 

B

2

2 3

xq

a

2

3 3

xq

a

2

3 6

xq

a

Lời giải

Kẻ SOABC,SHBCOHBC

2

3

3 3

3

xq

xq

a

a

S





Chọn C

Bài 8: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R5 Một thiết diện qua đỉnh

S tạo thành tam giác SAB sao cho tam giác SAB đều, cạnh bằng 8 Khoảng cách từ O đến thiết diện

SAB là: 

A 4 13

3

4

3

Lời giải

 ,

SO OAB kẻ SH ABOH AB

AB SOH  SAB  SOH

Kẻ OISH thì OI SAB nên d OI

3

Chọn B

a

O H

C A

B S

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí