Lý thuyết và bài tập về tọa độ của điểm và vectơ trong không gian

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTO

TRONG KHÔNG GIAN

I Véc tơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu

Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng

II Vecto đồng phẳng

1 Định nghĩa: Ba vecto a b c, , khác 0 gọi là đồng

phẳng khi giá của chúng cùng song song với một

mặt phẳng

Chú ý:

 n vecto khác 0 gọi là đồng phẳng khi giá

của chúng cùng song song với một mặt phẳng

 Các giá của các vecto đồng phẳng có thể

là các đường thẳng chéo nhau

2 Điều kiện để 3 vecto khác 0 đồng phẳng

Định lý 1:

, ,

a b c đồng phẳng  m n,  : amb nc

3 Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng

Định lý 2: Cho 3 vecto e e e không đồng phẳng Bất kì một vecto a nào trong không gian cũng có thể 1, ,2 3 phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực x x x duy nhất 1, 2, 3

1 1 2 2 3 3

ax e x e x e

Chú ý: Cho vecto a b c, , khác 0 :

1 a b c, , đồng phẳng nếu có ba số thực m n p, , không đồng thời bằng 0 sao cho: manbpc0

2 a b c, , không đồng phẳng nếu từ manb pc    0 m n p 0

III Tọa độ của vecto

D3

D1

D2

a b c

Δ1

Δ2

Δ3

P

Trong không gian xét hệ trục Ox ,yz có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với

mặt phẳng Oxy tại O Các vecto đơn vị trên từng trục  Ox,Oy Oz, lần lượt là

1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 

1 aa a a1; 2; 3 a a i1 a j2 a k3

2 M x M,y M,z MOM x i M y j M z k M

3 Cho A x A,y z A, A ,B x B,y z B, B ta có:

 B A; B A; B A

AB x x  y y  z z

4 M là trung điểm AB thì ; ;

5 Cho aa a a1; 2; 3 và bb b b1; ;2 3 ta có:









 



 a b a1b a1; 2b a2; 3b3

 k a ka ka ka1; 2; 3

 a b  a b cos a b; a b1 1a b2 2a b3 3

a  a a a

cos cos ;

a b a b a b

a b

    (với a0,b0 )

 a và b vuông góc : a b  0 a b1 1a b2 2a b3 3 0

 a và b cùng phương:

:

a kb

a kb







 



IV Tích có hướng và ứng dụng

Tích có hướng của aa a a1; 2; 3 và bb b b1; ;2 3 là:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

b b b b b b

1 Tính chất:

 a b, a a b, , b

 a b,   a b sin a b,

 a và b cùng phương: a b,   0

 a b c, , đồng phẳng a b c,  0

2 Các ứng dụng tích có hướng

 Diện tích tam giác: 1 ,

2

ABC

S  AB AC

6

ABCD

V  AB AC AD

 Thể tích khối hộp : V ABCD A B C D ' ' ' '  AB AD, .AA'

V Một số kiến thức khác

1 Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB thì ta có:

3 G là trọng tâm tứ diện ABCDGA GB GC GD   0

Ví dụ: Cho 4 điểm S1, 2,3 ; A 2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2, 4 SABC là:

C Tứ diện đều D Hình thang vuông

Lời giải

 1;1;0 ; 0; 1;1 ;  1;0;1

2

1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 1

Hay ta có thể tính SA SB SC;  0

, ,

SA SB SC

SABC

 là hình chóp đều , đỉnh S

Chọn B

VI Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hình hộp ABCD A B C D Chọn hệ thức sai: ' ' ' '

C C D' 'C B' 'C C' C A' D BCBA BB 'D B'

Lời giải

Chỉ có hệ thức D sai

Chọn D

Bài 2: Cho bốn điểm S1, 2,3 ; A 2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2, 4  Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của ,

BC CA và AB.SMNP là:

A Hình chóp B Hình chóp đều

C Tứ diện đều D Tam diện vuông

Lời giải

Tam giác: ABC có ABBCCA 2

2 2

1; 0; 0 ; 0;1; 0 ; 0; 0;1

Tương tự SASC SB, SC

Các tam giác vuông SAB SBC SCA, , vuông

tại S, có các trung tuyến:

2

AB

SPSM SN   MN NPPM

B'

B A

D

C A'

M

N P A

B

C S

Ta có: SPSAB SM; SBC SN; SCA

, ,

SP SM SN

SMNP

 là tứ diện đều

Chọn C

Bài 3: Cho bốn điểm S1, 2,3 ; A 2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2, 4  Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp

SABC

A 5,9,13  B 5, 3,13

7 9

1, ,

4 4

5 9 13 , ,

4 4 4

Lời giải

Ta có GSGA GB GC  4OGOA OB OC OS  

2 1 1 1

2 3 2 2

3 3 4 3

x

G y

z











Chọn D

Bài 4: Cho 3 vectơ a1,1, 2 ;  b2, 1, 2 ;  c  2,3, 2   Xác định vec tơ d thỏa mãn

4; 5; 7

a d b d c d

A 3, 6,5  B 3, 6, 5  C 3, 6,5

2 2

5

3, 6, 2

Lời giải

 

 

 

7

c d



   1  2 : 3x  9 x 3 và    2  3 : 2y12 y 6

  1  1  5 5

Chọn D

Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD Nếu ABa AC; b AD; c Gọi M là trung điểm của BC thì:

2

DM   

2

DM   

C 2

2

DM   

2

Lời giải

2

Chọn C

Bài 6: Cho khối tứ diện ABCD Nếu ABb AC; c AD; d Gọi G là trọng tâm tam giác BCD thì:

A

4

b d c

AG  

3

b d c

AG  

C

2

b d c

AG  

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD nên:

 

 

 

1 2 3

Từ      1 ; 2 ; 3 suy ra: 3 0

3

b d c

AG       b d c b d c AG  

Chọn B

Bài 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi O là tâm của hình lập phương, khi đó: ' ' ' '

3

4

2

3

AO

Lời giải

'

Chọn C

Bài 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi ' ' ' ' I là tâm của mặt CDD ' 'C , khi đó:

2

2

2

2

Lời giải

Chọn A

Bài 9: Cho khối tứ diện ABCD Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của AC BD, Tìm hệ thức đúng:

A ABAD CB BD4PQ B ABAD CB BD2PQ

C ABAD CB BD3PQ D ABAD CB BDPQ

Lời giải

2

2



Chọn A

Bài 10: Cho hình hộp ABCD A B C D Tìm hệ thức sai: ' ' ' '

A AC'CA' 2 ' C C0 B AC'A C' 2AC

C AC'A C' AA' D CA'ACCC'

Lời giải

O là tâm hình hộp

' 2





Vậy C sai

Chọn C

Bài 11: Cho tứ diện ABCD M N , lần lượt là trung điểm AC BD, Chọn hệ thức sai:

A MB MD 2MN B AB CD 2MN

C NCNA2MN D CBAD2MN

Lời giải

2

MB MD  MN (hệ thức trung điểm) Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của AD BC, MNPQ là hình bình hành:

2

2

2

2





Chọn C

Bài 12: Cho hình hộp ABCD A B C D A C ' ' ' ', ' A BD' E AC, 'CB D' 'F Xác định hệ thức sai:

A EA'EBED0 B FCFD'FB'0

C ABADAA'2AC' D 1 '

2

EF  AC

Lời giải

Gọi I I, ' là các giao điểm của các đường chéo ở 2 mặt đáy AC cắt các trung tuyến ' A I' của tam giác '

A BD và trung tuyến CI (của tam giác ' CB D ) tại E và F ' '

IF 1

,

EI

E F

A I  FC   là trọng tâm của tam giác A BD CB D' ; ' '

Chọn A, B đúng

ABADAA  ACAA AC C sai

AEEF FC  AC EF  AC D đúng

Chọn D

Bài 13: Cho khối tứ diện ABCD G, là trọng tâm của tứ diện, A' là trọng tâm tam giác BCD M là 1 điểm tùy ý trong không gian Chọn hệ thức đúng:

A GB GC GD  3GA' B GA GB GC GD   0

Lời giải

Gọi B' là trọng tâm tam giác ACD, hai trung tuyến AA';BB' cắt nhau tại G,GA B' ' đồng dạng GAB

' ' ' 1 1 4

3 '

Chọn C

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí