Chuyên đề bài toán vay trả góp – góp vốn

Bài toán này cách xây dựng giống bài toán số 2 Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số tiền chưa trả là r% một tháng hình thức [r]

CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN VAY TRẢ GÓP – GÓP VỐN

1 Tóm tắt một số bài toán thường gặp

Bài toán 1: Ông Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền như nhau là a đồng,kì hạn1 tháng

với lãi suất r% một tháng Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền vốn và lãi là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

 Cuối tháng thứ 1, ông Ninh có số tiền là: P1  a a.ra1 r

 Đầu tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là:

      

P1 a a 1 r a a a 1 r a 1 1 r

 Cuối tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là:

P2 P1 P r1 a a 1 r a a 1 r r a 1 r 2 1 r

 Đầu tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là:

P2 a a 1 r 1 r 2 a a 1 1 r 1 r 2

 Cuối tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là:

P3 P2 P r2 a 1 1 r 1 r 2 a 1 1 r 1 r 2 .r a 1 r 3 1 r 2 1 r

………

 Cuối tháng thứ n, ông Ninh có số tiền là:

n

n

S

  n  

n

r

r

 

(Lưu ý các số hạng của tổng Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với công bội

là q  1 r và số hạng đầu là u1   1 r nên ta có        



n n

n

r q

1

1 1

Ví dụ 1: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 3000.000 đồng, theo hình thức lãi kép,kì hạn1 tháng

Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,67% Hỏi sau 2 năm người đó nhận được số tiền là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

 Áp dụng công thức (3) cho a3000 000. đồng, r 0 67, %,n  2 12  24tháng

 Ta có: Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là:

( , %)

, %

24

Bài toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng , kì hạn 1 tháng Mỗi

tháng người đó rút raxđồng vào ngày ngân hàng tính lãi Hỏi sau n tháng số tiền còn lại là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

 Gọi P n là số tiền còn lại sau tháng thứ n

 Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a ar a1 rad với d 1 r

Rút đồng thì số tiền còn lại là: 



d

d

1

1 1

 Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad x ad x r   ad x 1 r  ad x d 

Rút đồng thì số tiền còn lại là:

d





2 2

2

1

1

 Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:

ad2 x d 1 ad2 x d 1 r ad2 x d 1 1 r ad2 x d 1 d

Rút đồng thì số tiền còn lại là:

d





3 3

3

1

n

r d

 





1

Để hiểu rõ bài toán trên các em theo rõi các ví dụ phía dưới

Ví dụ 2: Một cụ già có 100.000.000 gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất

0,65% một tháng Mỗi tháng cụ rút ra 1000.000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi Hỏi sau hai năm số

tiền còn lại của cụ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

 Áp dụng công thức (4) với:n 24,r 0 65, %,x 1000000,a 100000000

 Vậy số tiền bà cụ còn lại sau 2 năm là:

, % P

, %

24 24

100000000 1 0 65 24

1

x

x

x

Bài toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp

(Bài toán này cách xây dựng giống bài toán số 2)

Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số tiền

chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãi trên số tiền

mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại) , số tháng vay là n tháng, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là

đồng Tìm công thức tính ? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay

Ảnh minh hoạ: Nguồn internet

Hướng dẫn giải

n

P 1là số tiền còn lại đầu tháng thứn 1

Trả đồng thì số tiền còn lại đầu tháng thứ hai là:     



d

d

2

1 1

Trả đồng thì số tiền còn lại đầu tháng thứ 3 là:



d

d

2

3

1 1

1

Trả đồng thì số tiền còn lại đầu tháng thứ 3 là:



d

d

3

4

1

1

 





n n

n n

r d

1

 Do sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có

n n

n

ad d d







1

1 1







n

n

b

x

r

1

5

a ar a 1 r ad d 1 r x

ad x ad x r ad x 1 r ad x d x

ad2 x d 1 ad2 x d 1 r ad2 x d 1 1 r ad2 x d 1 d

x

Ví dụ 3: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất cho số tiền chưa trả là12%/năm Ông

muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai

lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ

sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng trong

mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ

(Trích đề minh hoạ môn toán năm 2017)

Hướng dẫn giải

 Lãi suất 12% một năm suy ra lãi suất trong 1 tháng là 1% một tháng

 Áp dụng công thức (5b) cho:a 100000000, ,r , %,n 1  3,P4  0 Tìm ?

 Vậy số tiền xmà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ ,để 3 tháng hết nợ là:

3 3

34

n n

x

r

triệu đồng một tháng

2 Bài tập

Bài 1: Muốn có số tiền là 200 triệu đồng sau 36 tháng thì phải gửi tiết kiệm một tháng là bao nhiêu Biết

rằng tiền gửi tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,67% một tháng Lãi

suất không thay đổi trong thời gian gửi

Hướng dẫn giải

 Áp dụng công thức (3) cho P n 200000000đồng, r 0 67, %,n 36tháng

 Ta có:

  

   

n

n

, %.

36

1

0 67 200000000

4 898 146

Vậy hàng tháng phải gửi tiết kiệm số tiền gần 4.900.000 đồng

Bài 2: Bạn An được gia đình cho gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là

200.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,75 % một tháng Nếu mỗi tháng

An rút một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì An phải rút bao nhiêu tiền một tháng để sau đúng 5 năm, số tiền An đã gửi vừa hết?

Hướng dẫn giải

 Áp dụng công thức (4) với:n60,r0 75, %,a200000000,P n P600 Tìm ?

60

60

1

x

x

 

60

60

Bài 3: Một người vay ngân hàng với số tiền 50.000.000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền 4000.000 đồng

và phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả là 1,1% một tháng theo hình thức lãi kép Hỏi sau bao lâu người

đó trả hết nợ?

Hướng dẫn giải

 Áp dụng công thức (5b) cho:a50000000,x4000000,r1 1, %,P n10 Tìm n?

 Từ công thức (5b) ta có:

n

n

a r r

r

x

x ar x

n





 

1

4000000

13 52

4000000 50000000 1 1 14

 Vậy sau 14 tháng người đó sẽ trả hết nợ

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí