Ứng dụng tích phân giải bài toán về tăng trưởng, phát triển

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN VỀ TĂNG

TRƯỞNG, PHÁT TRIỂN

1 Phương pháp

 Cho hàm số f x  biểu diễn cho sự tăng (hay giảm) số lượng của một đối tượng nào đó (số người, vi khuẩn, vi trùng, lượng nước chảy, )

 Giá trị f x  là số lượng của đối tượng đó tại thời điểm x

 Đạo hàm f x  chính là tốc độ tăng (hay giảm) của đối tượng đó tại thời điểm x

 Số lượng tăng thêm (hoặc giảm đi) của đối tượng trong khoảng x  a b;  là:

 

b

a

f x dx



Ví dụ: Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ

  10 2 2 1

v x   x (người/tháng) Dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới

Hướng dẫn giải

 Gọi f x  là dân số của thành phố sau x tháng kể từ bây giờ

 Tốc độ thay đổi của dân số là v x 10 2 2 x1

 Suy ra f x  10 2 2 x1dx10x2 2x1dx

 Mà   1    12   1  32 

 Do đó   2  32 

3

f x x x C

 Số dân trong 4 tháng tới là:

             

3 2

2 Bài tập

Bài 1: Tốc độ thay đổi của số lượng người V ( tính bằng ngàn người ) tham gia công tác tình nguyện ở

nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 có thể được mô hình bởi hàm số   2  

119,85 30 t 37,26 t

với t là năm ( t = 0 ứng với năm 2000 )

Hỏi số lượng người tham gia tình nguyện trong giai đoạn trên tăng lên hay giảm đi với số lượng bao

nhiêu ( Nguồn: Cục thống kê lao động nước Mỹ )

Hướng dẫn giải

 Sự chênh lệch của số người tham gia tình nguyện trong giai đoạn từ năm 2000 đến năm 2006 là:

2

119,85 30 t 37, 261 t

V t dt t  e  e dt

 



6 3

0

119,85

30 37, 261 3473,756166 67, 261 3406 3

 Vậy trong khoảng thời gian từ năm 2000 đến năm 2006, số lượng người tham gia công tác tình nguyện đã giảm đi khoảng 3406 người

Bài 2: Tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn ( đơn vị tính: triệu người ) của nước Mỹ từ năm 1970 đến năm

2005 có thể được mô hình bởi hàm số   2 

1,218 44,72 709,1

f t t t với t là năm (t = 0 ứng với năm

1970 ) Số lượng cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 ngàn người

a Tìm một mô hình biểu thị cho số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ

b Sử dụng mô hình đó để dự đoán số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ vào năm 2012 Kết quả của bạn liệu có hợp lí? Giải thích vì sao?

Hướng dẫn giải

a Để tìm một mô hình cho số lượng các cặp đôi kết hôn ta tìm nguyên hàm của f t 

   2    1,218 344,72 2 

 3 2 

0,406t 22,36t 709,1t C

 Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 triệu người nên ta có

35 59513 0,406.35 22,36.35 709,1.35 59513 44678,25

 Vậy một mô hình cần tìm là   3 2

0,406 22,36 709,1 44678,25

b Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2012 là F 42 65097,138 triệu người

Theo báo cáo của Cục điều tra dân số nước Mỹ thì vào năm 2012 tổng số các cặp đôi kết hôn của nước

Mỹ khoảng 61,047 triệu người So với kết quả lý thuyết thì sự chênh lệch là tạm chấp nhận được

Bài 3: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số

 

1000

1 0, 3

t

 , trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t Số lượng

vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số

vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay

nước mới cho hồ bơi

Hướng dẫn giải

 Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mô hình bởi hàm số B(t) là nguyên hàm của B’(t)

 

2 2

1000 1 0, 3

0, 3 1 0, 3

1 0, 3

t t







 Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước nên

3 0,3 1 0,3.0

 Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t là

  1000  11500

3

0, 3 1 0, 3

B t

t

 Số lượng vi khuẩn dưới 3000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toàn; và người bơi không an toàn khi

3

0, 3 1 0, 3

B t

t



1000  25003 1 0, 3 4 10

 Vậy vào ngày thứ 10 thì số lượng vi khuẩn sẽ là 3000 con và hồ bơi không còn an toàn, cần phải thay

nước mới

Bài 4: Một hồ nước bị ô nhiễm được xử lý bằng một chất diệt khuẩn Tốc độ phát triển của số lượng vi

khuẩn sống sót được mô hình bởi  

3000

1 0, 2

t

 với B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml

nước là t là số ngày tính từ khi hồ nước được xử lý Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10000 con/ml

nước Sử dụng mô hình này xác định số lượng vi khuẩn sau 5 ngày Liệu số lượng vi khuẩn có thể vượt

2000 con/ml nước

Hướng dẫn giải

 Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình bởi công thức đạo hàm

 

3000

1 0, 2

t

 Nguyên hàm của B t  là hàm B t  biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót trong ngày thứ t Ta có

 

2

3000 1 0, 2 15000 1 0, 2

1 0, 2

1 0, 2

t t







 Vì số lượng vi khuẩn ban đầu là 10.000 con/ml nước nên có

 0 1000015000 10000  5000

 Vậy hàm số biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót tại ngày thứ t là

  15000

5000

1 0, 2

B t

t

 Số vi khuẩn sau 5 ngày sẽ là B 5 2500con/ 1ml

 Như vậy số lượng vi khuẩn đã vượt qua 2000 con/ml nước

Bài 5: Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là h1280cm Giả sử

h(t) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của

chiều cao mực nước tại giây thứ t là h t  1 3t

3

500 và lúc đầu hồ bơi không có nước Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được 3

4 độ sâu của hồ bơi?

Hướng dẫn giải

 Ta biết rằng chiều cao h(t) của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng h’(t) của chiều cao mực nước

h t h t dt  1 3t dt 3 t 43 C

 Lúc ban đầu (tại t0) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là

7

3

 Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm t giây là

h t  t 

7

3

3

2000 2000

 Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng 3

4 độ sâu của hồ bơi nên ta có

7

1

 Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 34 giây thì bơm được 3

4 độ sâu của hồ bơi

Bài 6: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện Hố Hô đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước

tại thời điểm t giây là v t 10t500m3 /s Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ chứa nước của nhà

máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

 Lượng nước lũ đã xả trong khoảng thời gian 40 phút (2400 giây) sẽ bằng

L2400 v t dt 2400 t dt t2 t 2400  7 m3

0

 Vậy trong khoảng thời gian 40 phút, nhà máy đã xả một lượng nước là 30 triệu khối, tức là hồ chứa nước đã thoát đi 30 triệu khối nước

Bài 7: Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce

(1ounce = 28,3495 gram) sau 8 tuần tuổi Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được

dự đoán tăng với tốc độ:  

0,193 2 0,193

2436

1 784

t

t

e

e





 với B(t) là cân nặng tính bằng ounce và t là thời gian tính bằng tuần Hãy tính trọng lượng của bào thai sau 25 tuần tuổi

Hướng dẫn giải

 Theo giả thiết thì trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ là hàm số

 

0,193 2 0,193

2436

1 784

t

t

e

e





 nên B(t) chính là nguyên hàm của B’(t)

 

0,193 2 0,193

24361

1 784

t

t

e

e









 Đặt    0,193

1 784 t





16,1

du

u

 0,193

16,1

 Sau 8 tuần tuổi thì bào thai cân nặng khoảng 0,04 ounce nên

1 784

e



 Do đó ta có hàm số cân nặng của bào thai là

 0,193

16,1

0,0556, 8 43

e

 Cân nặng của bào thai sau 25 tuần tuổi là:

 0,193.25

16,1

1 784

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí