Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]
Trang 1I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Bài toán lãi kép liên tục
Ta đã biết: nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là P0 với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi
kép thì saunnăm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là P01 rn
Giả sử ta chia mỗi năm thành mkì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là rthì lãi suất mỗi kì là r
m
và số tiền thu được nnăm là (hay sau nmkì) là
m.n
r P m
0 1
Hiển nhiên khi tăng số kì mtrong một năm thì số tiền thu được sau n năm cũng tăng theo Tuy nhiên như
ta thấy sau đây, nó không thể tăng lên vô cực được
Thể thức tính lãi khi m gọi là thể thức lãi kép liên tục
Như vậy với số vốn ban đầu là với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì ta chứng
minh được rằng sau năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là:
nr
n
P P e0 (6)
Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.
Ví dụ 1: Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% năm thì
sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: %
S 100.e2 8 117 351087, triệu đồng
Nhiều bài toán, hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng trưởng
dân số, cũng được tính theo công thức (6) Vì vậy công thức (6) còn được gọi là công thức tăng
trưởng(suy giảm) mũ
Để hiểu rõ hơn về công thức tăng trưởng(suy giảm) mũ Các em qua phần tiếp theo của tài liệu
2 Bài toán về dân số
Gọi:
o P0là dân số của năm lấy làm mốc tính
o P nlà dân số sau nnăm
o rlà tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng năm
Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau
o Công thức 1: nr
n
P P e0 dùng công thức tăng trưởng(suy giảm ) mũ
P0 n
CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN LÃI KÉP LIÊN TỤC – CÔNG
VỰC ĐỜI SỐNG XÃ HỘI
Trang 2o Công thức 2: n
n
P P0 1 r dùng công thức tính lãi kép
Ta xét một ví dụ sau: Năm 2001, dân số nước ta khoảng 78690 000 người Theo công thức tăng trưởng mũ, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm luôn là 1, 7% thì ước tính dân sốViệt Nam xnăm sau sẽ
là 78690000.e0 017, x 7 869, e0 017, x(chục triệu người) Để phần nào thấy được mức độ tăng nhanh của
dân số, ta xét hàm số
f x 7 869, e0 017
Đồ thị của hàm số y f x cho thấy khoảng 30 năm sau (tức là khoảng năm 2031), dân số nước ta sẽ vào khoảng
131 triệu người, tức là tăng gấp rưỡi Chính vì vậy, các em hiểu bùng nổ dân số là khái niệm dùng rất phổ biến hiện nay, để thể hiện việc dân số tăng quá nhanh, có cơ cấu dân
số trẻ, thời gian tăng gấp đôi rút ngắn Những vấn đề đặt ra cho các nhà hoạch định chính sách như kế hoạch hóa dân số,
việc làm, phân bố dân cư, nhập cư, di dân… sao cho hợp lí
II CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài 1: Dân số nước ta năm 2014 đạt 90,7 triệu người (theo Thông cáo báo chí của ASEANstats), tỉ lệ tăng
dân số là 1,06%
a) Dự đoán dân số nước ta năm 2024 là bao nhiêu?
b) Biết rằng dân số nước ta sau m năm sẽ vượt 120 triệu người Tìm số m bé nhất?
Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau: P0 90700000,n 2024 2014 10 ,r 1 06, %
Áp dụng công thức (1): Khi đó dự đoán dân số nước ta năm 2024 là:
, %
10 90700000 100 842 244(người)
Áp dụng công thức (2): Khi đó dự đoán dân số nước ta năm 2024 là:
P10 90700000 1 1 06, %10 100 786 003 . (người)
b) Áp dụng công thức (2) ta có:
120000000 90700000 1 1, 06%
907 1200
907
m
1, 0106
m log1,0106 m 27
Vậy m bé nhất bằng 27 (Tức là sau ít nhất 27 năm (từ năm 2041) dân số
nước ta sẽ vượt mốc 120 triệu người)
Áp dụng công thức (1):
Trang 3m , % , m
Vậy m bé nhất bằng 27(Tức là sau ít nhất 27 năm (từ năm 2041) dân số
nước ta sẽ vượt mốc 120 triệu người)
Bài 2: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức P n P e0 n.r , trong đó là dân số của năm lấy làm
mốc tính, P nlà dân số sau năm, là tỉ lệ tăng dân số hàng năm
Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 triệu và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1, 7% Hỏi cứ
tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người?
Hướng dẫn giải
n
0 100000000 78685800 100 78 6858
Lấy logarit tự nhiên hai vế của (*) ta được
n
, %
1 7
100 78 6858
14
1 7 Vậy nếu cứ tăng dân số với tỉ lệ hàng năm là r 1 7, %thì đến năm 2015 dân số nước ta sẽ ở mức
100 triệu người
Bài 3: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức n
n
P P0 1 r , trong đó là dân số của năm lấy làm mốc tính, P nlà dân số sau năm, là tỉ lệ tăng dân số hàng năm
Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thế giới là không đổi trong giai đoạn 1990 – 2001 Biết răng năm
1990 dân số thế giới là 5,30 tỉ người, năm 2000 dân số thế giới là 6,12 tỉ người Tính dân số thế giới vào năm 2011? (Kết quả là tròn đến hai chữ số)
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức n
n
P P0 1 r , ta được
,
6 12
5 30
Dân số thế giới vào năm 2011 là: P P r21 , , %21 ,
21 0 1 5 30 1 1 45 7 17tỉ người
Bài 4: Tỷ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam là 1,07% Năm 2016, dân số của Việt Nam là 93422000
người Hỏi với tỷ lệ tăng dân số như vậy thì năm 2026 dân số Việt Nam gần với kết quả nào nhất?
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức P n P e0 n.r
Với P0 93422000,r 1 07, %,n2026 2016 10
Ta có dân số của Việt Nam đến năm 2026 là: , %
10 93422000 103972543 9
P0
P0
Trang 4Bài 5: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của In – đô – nê – xia – a là 1,5% Năm 1998, dân số của nước này là
212942000 người Hỏi dần số của In – đô – nê – xia – a vào năm 2006 gần với số nào sau đây nhất?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức P n P e0 n.r
Với P0 212942000,r1 5, %,n2006 1998 8
Ta có P e1 5, %8 ,
8 212942000 240091434 6
Bài 6: Biết rằng tỉ lệ giảm dân hàng năm của Nga là 0,5% Năm 1998, dân số của Nga là 146861000
người Hỏi năm 2008 dân số của Nga gần với số nào sau đây nhất?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức P n P e0 n.r
Với P0 146861000,r 0 5, %,n2008 1998 10
Ta có P e0 5, %10 ,
19 146861000 139527283 2
Bài 7: Biết rằng tỉ lệ giảm dân hàng năm của I – ta – li -a là 0,1% Năm 1998, dân số của Nga là
56783000 người Hỏi năm 2020 dân số của nước này gần với số nào sau đây nhất?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức P n P e0 n.r
Với P0 56783000,r 0 1, %,n2020 1998 22
Ta có P e0 1, %22 ,
8 56783000 55547415 27
Bài 8: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Nhật là , %0 2 Năm 1998, dân số của Nhật là 125932000 Vào
năm nào dân số của Nhật sẽ là 140000000 ? ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức P n P e0 n.r
Với P0 125932000,r0 2, %, P n 140000000 Tính n?
Ta có P n e0 2, % n , %.nln140000000 n ,
125932000
Bài 9: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Ấn độ là , %1 7 Năm 1998, dân số của Ấn độ là 984triệu Hỏi sau
bao nhiêu năm dân số của Ấn độ sẽ đạt ,1 5 tỉ ? ( Kết quả là tròn đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức n.r
n
P P e0
Trang 5Với P . 6, r , %, P n . 6
0 984 10 0 1 7 1500 10 Tính n?
n
984
Trang 6Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
