Một số phương pháp giải phương trình logarit Toán 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT TOÁN 12

1 Phương trình logarit cơ bản

Với a > 0, a  1: log    b

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a  1: log ( ) log ( ) ( ) ( )

( ) 0 (hay ( ) 0)







f x g x

b) Mũ hoá

Với a > 0, a  1: log ( )  loga f x( ) b

c) Đặt ẩn phụ

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1: logb c logb a

3 Bài tập

Câu 1: Biết phương trình log5 2 1 2 log3 1

x x có nghiệm duy nhất x a b 2 trong đó ,

a b là các số nguyên Tính a b ? 

Hướng dẫn giải:

1 0





 

  



x

x x

2

2

Xét f y( )log5 ylog (3 y1)2, do x    1 t 3 y 1

Xét y1: '( ) 1 12 2( 1) 0

ln 5 ( 1) ln 3



( )

 f y là hàm đồng biến trên miền 1;

(2) có dạng f t( ) f x( )   t x x 2 x  1 x 2 x 1 0

3 2 2 ( )

1 2 (vn)

 



x

x

Chọn A

log x 1   2 log 4  x log 4 x

Hướng dẫn giải:

log x1  2 log 4 x log 4x (2) Điều kiện:

1

 



  



   

  



x

x x

x x

2

+ Với   1 x 4 ta có phương trình x24x120 (3);

2 (3)

6 lo¹ i







x x

+ Với 4   x 1 ta có phương trình x24x200 (4);  

4

2 24 lo¹ i

  

 

 



x x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x2hoặc x2 1  6, chọn B

Chọn A

Hướng dẫn giải:

điều kiện x > 0 Phương trình tương đương với

2

2 3

1 log    2 

x x x

Ta có 2  2

2xx   1 x 1 1

Và

2 2

2

2 3

1

0





x

x x

x

Câu 4: Cho phương trình 2log3cotxlog2cosx Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên

khoảng ;

 

Hướng dẫn giải

Điều kiện sinx0, cosx0 Đặt ulog2cosx khi đó

2









u

u

x x

Vì

2 2

2

cos cot

1 cos





x x

x suy ra

 

2

2

3

 

 



u

u

f u u Suy ra hàm số f(u) đồng biến trên R, suy ra phương trình f u 0 có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy f   1 0 suy ra

1

Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là 2

3

 

x k Khi đó phương trình nằm trong

khoảng ;9

 

7 ,

x x Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng ;9

 

Chọn C

Câu 5: Phương trình 1 log 9x 3log9x log3x1 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Hướng dẫn giải:

Giải phương trình: 1 log 9 x 3log9 xlog3x1 Điều kiện xác định: x ≥ 1

1 log x 3log xlog x1  1 log 9x 3log9x 2log9x1

1 2log 9x2log9x1  1 log 9 x3 log9x

2log9 x1  1 log 9 x3 log9x 1 0

 2log9 x1 vì: 1 log 9 x 3log9x 1 0 x = 3

Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3

Chọn B

log x 2x   x 1 logx 2x1 4 1

Hướng dẫn giải:

ĐK:

1 2 1

 





 



x x

Phương trình:

2 1

1 1

1 1

1 1

1















 







x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Đặt tlogx12x1, khi đó (3) viết thành:

2

1

1

1 1

2

5 1

4 2











 



 



x

x

t

x

x

Chọn C

log x  2x log x  2x2 là

Chọn B

ĐK: x0; x 2 Đặt 2

2

t x x x2 2x  2 t 2

Đặt log3 t log5t2u

3

5

log





t u

3

2 5

 





 



u

u

t t

  



  



 

 







Xét  1 : 5u3u 2

Ta thấy u0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm 0



u là duy nhất

Với u    0 t 1 x2 2x 1 0, phương trình này vô nghiệm

Xét   3 1

Ta thấy u1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm 1



u là duy nhất

Với u   0 t 3 x2 2x 3 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x0; x 2

BÌNH LUẬN:

Cho f x g x  1 nếu f x   ,g x đối nghịch nhau nghiêm ngặt hoặc g x const và

 

f x tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất

Câu 8: Biết rằng phương trình  log 2 4  2   3

2    4 2

có hai nghiệm x , 1 x2 x1x2

Tính

2x x

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Điều kiện x2 Phương trình thành  log 4 log 2 2  2   3

  2 log 2  2   3

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được log2x2 log 2x2log24x2

2

2

5

6



  



x

x

Suy ra 1 5

2



x và x2 6.Vậy 2 1 2 2.5 6 1

2

Câu 9: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 2  

,

2

x sao cho x x1 2 27

3



3



Hướng dẫn giải:

Chọn A

2

Điều kiện xác định: x0 Đặt tlog3x Ta có phương trình: 2

Để phương trình (1) có 2 nghiệm x x sao cho 1, 2 x x1 2 27 Thì phương trình (2) có 2 nghiệm t t1; 2 thỏa mãn t1 t2 3

0

2 3

 



   

m

2

1

 





Câu 10: Tập hợp các giá trị của m để phương trình ln 1 2  x 

m x m có nghiệm thuộc ; 0 là

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Điều kiện: 1 2 x 0

0

 x Phương trình đã cho tương đương với:



x

Xét hàm số  ln 1 2  1

x

2 ln 2

ln 1 2 1

1 2

ln 1 2 1







x x

x x

x f



x

Vì x0nên 0 1 2  x1, do đó f x 0  x 0 Vậy f x  nghịch biến trên ; 0

Mặt khác, dễ thấy lim  

0

x

f x Ta có BBT sau:

Vậy phương trình có nghiệm khi m0 Câu 11: Tìm m để phương trình 2 2

log xlog x  3 m có nghiệm x 1;8

A 3 m 6 B 6 m 9 C 2 m 6 D 2 m 3

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Điều kiện x0

Đặt tlog2x

Phương trình trở thành 2  

  

Phương trình đã cho có nghiệm x 1;8  phương trình  1 có nghiệm x 0;3

Đặt   2

  

g t t t

BBT

Từ BBT ta suy ra để phương trình đã có nghiệmx 1;8 thì 2 m 6

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log2 log 2 2 0

 1;9



A 0 m 1 B 1 m 2 C m1 D m2

Chọn B

Đặt: tlog3x Vì x 1;9 nên t 0; 2

        

Đặt   2

  

h t t t với t 0; 2

 

h t t , h t'   0 t 1

 1 1 ,  0   2 2

[0,2]

Pt có nghiệm   1 m 2

Câu 13: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình log22x(m1) log2x  4 m 0 có hai

nghiệm phân biệt thuộc  1; 4 là

A 3 m 4 B 3 10

3

3

 m

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Đặt tlog2x Vì x 1; 4 nên t 0; 2

1

 



t t

t

Xét hàm số   2 4

1

 





t t

f t

t trên đoạn  0; 2

Ta có  

2

2 2

1

3 1





 



t

t t

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1; 4 thì

10

3

 m

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2

log x2log x m 0 có nghiệm 2



x

Hướng dẫn giải:

Chọn D

2

log x2log x m 0 (1)

Đặt tlog2x, phương trình (1) trở thành: 2 2

     

Phương trình (1) có nghiệm x 2 phương trình (2) có nghiệm

Xét hàm số y t2 2t y' 2t 2, y'   0 t 1 ( loại)

Bảng biến thiên

Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t  1 m 3

Câu 15: Tập tất cả các giá trị của m để phương trình   2    

2x 2  3 4x m 2  2

có đúng ba nghiệm phân biệt là:

A 1; 1;3

Hướng dẫn giải:

Chọn D

2x 2  3 4x m 2  2

Xét hàm số  2 t 2 2 , 0

Vì f t    0, t 0 hàm số đồng biến trên 0;

x

y

y

1

3







Khi đó    2    2

 

 

2

2

 



Phương trình  1 có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau:

+) PT  3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT 4

3 2

 m , thay vào PT  4 thỏa mãn +) PT  4 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT 3

1 2

 m , thay vào PT  3 thỏa mãn +) PT  4 có hai nghiệm phân biệt và PT  3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau

 4   x 2m1,với1 3

2 m 2 Thay vào PT  3 tìm được m1

KL: 1;1;3

m

BÌNH LUẬN:

B1: Đưa phương trình về dạng f u  f v  với u v, là hai hàm theo x B2: Xét hàm số f t ,tD

B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số f t t , Dtăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D

B4: f u  f v  u v

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí