Chuyên đề tỉ lệ thể tích của các khối đa diện toán 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN TOÁN 12

I LÝ THUYẾT CHUNG

1 Hai khối chóp S A A 1 2 A n và S B B 1 2 B m có chung đỉnh S và hai mặt đáy cùng nằm trên một mặt

phẳng, ta có: 1 2 1 2

1 2 1 2

.

.

2 Hai khối chóp tam giác S ABC có ASA B, SB C, 'SC ta có: ' ' '

.

S A B C

S ABC



3 Kiến thức cần nhớ đối với khối lăng trụ tam giác và khối hộp

.

3

A ABC

V

3

A BCC B

V

.

6

A ABD

V

3

BDA C

V

4 Một số công thức nhanh cho các trường hợp hay gặp

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH có

2 ,

2

Mặt phẳng   song song với mặt đáy của khối chóp S A A 1 2 A n cắt SA k tại điểm M kthỏa mãn

,

k

k

SM

p

SA  ta có 1 2

1 2

3

n n

S M M M

S A A A

V

p

Hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có AM x,BN y,CP z

3

ABC MNP

Hình hộp ABCD A B C D     có AM x,BN y, CP z

   Mặt phẳng MNP cắt DD tại ' Q thì ta có

đẳng thức x z  y t với t DQ

DD



4

ABCD MNPQ



Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SM x,SN y,SP z

SA  SB  SC  Mặt phẳng

MNP cắt SD tại Q thì ta có đẳng thức 1 1 1 1

x  z y t với t SQ

SD

.

4

S MNPQ

Định lí Meneleus cho 3 điểm thẳng hàng MA NB PC 1

thẳng AB BC CA, , lần lượt tại M N P, ,

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 Gọi

M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC Mặt phẳng BMN chia khối chóp S ABCD

thành hai phần Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

A 7

1

7

6

5

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Giả sử các điểm như hình vẽ

ESDMNE là trọng tâm tam giác SCM ,

//

DF BCF là trung điểm BM

Ta có:

6 2

a SO

,

2

a

2 7 SAD

1 6

MEFD MNBC

a

Suy ra: 7

5

SABFEN BFDCNE

V

II BÀI TẬP

Câu 1: Cho hình chópS ABC. Trên cạnh SA lấy các điểm M N, sao choSM MNNA.Gọi

    ,  là các mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC và lần lượt đi qua M N, Khi đó hai mặt phẳng     ,  chia khối chóp đã cho thành 3 phần.Nếu phần trên cùng có thể tích là 3

10 dm tích hai phần còn lại lần lượt là?

A 80 dm và 3 190 dm 3 B 70 dm và 3 190 dm 3

C 70 dm và 3 200 dm 3 D 80 dm và 3 180 dm 3

Hướng dẫn giải:

E N

M

F O

A B

S

H

Chọn B

Đặt V V S ABC. ,V1 S S MNP. ta có:

3 1

SM SP SQ

SA SB SC

 

 

3 270

Tương tự ta có :

3

3

1 2

SN SE SF

SA SB SC

 

Do đó:V2 80 V1 70dm3,V3    V V1 V2 190dm3

Chọn B

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng V Gọi

, ,

SA SB SC Mặt

phẳng MNP cắt cạnh SD tại điểm  Q Tính thể tích khối đa diện ABCD MNPQ

A 5

10

53

58

63V

Hướng dẫn giải:

Chọn D

2

 SM 

x

2 3

SN 

y

1 3

 SP 

z

 SQ

t

Ta có 1 1 1 1 2 3 3 1 2

        t

Do đó

Suy ra . 1 5 58

   

ABCD MNPQ

Câu 3: Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB 3a, ADa , SA vuông góc với đáy

và



SA a Mặt phẳng   qua A vuông góc với SC cắt SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P

Tính thể tích khối chóp S AMNP

F Q

E P

B

C

S

M N

A

3

3 3 40

a

3 3 40

a

3 3 10

a

3 3 30

a

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có

Mặt khác

Tương tự ta có APSD

Thể tích khối chóp ban đầu là

3 2

3

Tính các tỉ số x SA1

2 2

1

 



 

y

2 2 2

1

 

 

z

2 2

1 2

 



 

t

Vậy

3

        

Câu 4: Cho khối chóp S ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành Điểm S thỏa mãn 

 0

25V Tìm k

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có AB // CD // SS nên  BS A SB C, S D SC Theo Thales ta cũng có

1

2

2 1

.1.1

 

S ADC B

Vậy thể tích phần chung là  

2

25

 



S ADC B

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có tất cả các cạnh đều bằng a Một mặt phẳng  P song song với mặt

đáy ABC cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt tại M , N , P Tính diện tích tam giác MNP 

biết  P chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau

A

2 3 8

MNP

a

3 3 16

MNP

a

2 3

3

4 2

MNP

a

2 3

3

4 4

MNP

a

Hướng dẫn giải:

Chọn D

 

3

.

S MNP

S ABC

Theo bài ra: .  

.

1 2 2

S MNP

S ABC

V

Từ  1 ,  2 ta có

3 1 2

SM SA

  

3

1 2

SM SA

Lại có:

.

1

1

3

MNP

S MNP

S ABC

ABC

V V







Mà    

SA

Từ  3 ,  4 ta có được

3 2

= 2

MNP ABC

S S





3

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa AD, b và cạnh bên

SAc vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho 

AM x  x c Tìm x để mặt phẳng MBC chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể 

tích bằng nhau

2

c x



2

ab x

c



2

c x



2

ab x

c



Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có SM SN c x



Vì vậy .

S MBC

S ABC

Và

SMNC

SADC

1

2

3 5

2

c

c



Câu 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB/ /CD và CD4AB.Gọi M là 1

điểm trên cạnh SA sao cho 0 AM SA Tìm tỉ số SM

SA sao cho mặt phẳng CDM chia khối 

chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau:

2

SM SA

 

2

SM SA

 

2

SM SA

 

2

SM SA

 

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt x SM SN, 0 x 1

Ta có

4

,

5

SMCD

SACD

2 2

5

SMNC

SABC

D

C

S

M N

Vậy

2 4

SABCD

V

x x

Suy ra

2

Câu 8: Cho điểm M trên cạnh SA , điểm N trên cạnh SB của hình chóp tam giác S ABC có thể tích

bằng V sao cho 1,

3

x

SA  SB  Mặt phẳng  P qua MN và song song với SC chia khối

chóp S ABC thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau Tính x

3

6

6

9



Hướng dẫn giải:

Chọn B

Trong ABS:MNABE , trong

SAC:MQ/ /SC Q, AC, trong ABC:EQBCP

Khi đó / / / / 1,

3

Trong tam giác

NB MS EA SAB

NS MA EB



Ta có

.

EAMQ

EAMQ

S ABC

2

1

EBNP

EBNP

S ABC

AMQBNP



Câu 9: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB, BC svà

E là điểm thuộc tia đối DB sao cho BD

k

BE  Tìm k để mặt phẳng  MNE  chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là

3

11 2 294

a

E P

Q A

B

C

S M

N

N M

H

K

E

A

B

D

5

k  B k 6 C k4 D V 5

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có diện tích khối tứ diện đều cạnh

a bằng

3 0

2 12

a

V 

0

1 4

BMNE ABCD

BMQE

V BM BN BE

V BA BC BD



Theo ta let ta có:

1

1 2

k

EP EQ k







 

2

0 2

4

k



BMNPQD

k

0

22 49

BMNPQD

3

k

k k

k k



Câu 10: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2 cm Gọi M N P, , lần lượt là trọng tâm của ba tam

giác ABC ABD ACD, , Tính thể tích V của khối chóp AMNP

162

81

3

4 2 81

144

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Tam giác BCD đều 3 2 3

3

C B

A

D

E M

N

Q

P

2 2 2 6

3

EF

3

AMNP

AEKF

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí