dạy học mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích trong môi trường tích hợp mềm cabri ii

Trong dạy học ở trung học phổ thông, khi nó nhờ đến một sự hình thức hóa toán học để hỗ trợ nghiên cứu các bài toán thực tế, sự hình thức hóa này được điều khiển qua các mô hình toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

VIỆN

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị

- Didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học

- Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Long Phú – Vĩnh Long đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian theo học cao học ở trường ĐHSP, đồng thời đã nhiệt tình hỗ trợ tôi tiến hành thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2

- Ths Dương Hữu Tòng, là giảng viên trường ĐH Cần Thơ và cũng là học viên khóa trước, đã động viên và chia sẻ cho tôi rất nhiều kinh nghiệm quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, những người luôn là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt

NGUYỄN THỊ HỒNG CÚC

MỞ ĐẦU

1 CÁC GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT

Hàm số là khái niệm quan trọng trong toán học hiện đại và trong nội dung dạy học toán phổ thông ở Việt Nam Hàm số qua các chương trình cải cách giáo dục được đưa vào giảng dạy cho học sinh ở lớp 7, 9, 10, 11, 12 Cụ thể, lớp 9 học sinh học về hàm số bậc nhất và hàm số bậc 2 dạng y =

ax2(a0), lớp 10 học sinh được ôn lại các hàm số đã học ở lớp 9, hàm số dạng y = ax2 + bx + c (a0) Lớp 11, đưa vào học hàm số lượng giác Lớp 12 học sinh được học về hàm số lũy thừa, mũ, logarit, bậc 3, trùng phương, nhất biến, bậc 2 trên bậc nhất Đặc biệt, ở lớp 12, nội dung này được đưa vào giảng dạy với thời lượng khoảng 50% so với cả chương trình giải tích 12

Mặt khác, nội dung khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trở thành câu hỏi không thể thiếu trong tất

cả các đề thi tốt nghiệp phổ thông và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Liên quan với nội dung khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là câu hỏi về cực trị của hàm số Người ta nhận thấy học sinh gặp khá nhiều khó khăn khi bắt đầu vào học nội dung này

Để học sinh phát triển được tính tư duy sáng tạo và một tiết dạy tập trung vào hoạt động của học sinh, SGK cải cách 2006 đòi hỏi phải đổi mới PPDH

Theo TS Nguyễn Chí Thành, Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội “Hiện nay ứng dụng công nghệ

thông tin và truyền thông trong dạy học là điều tất yếu khi nói đến đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt trong dạy học môn Toán… Ứng dụng của công nghệ thông tin vào DH môn Toán cũng không có nghĩa là chỉ sử dụng các công nghệ phần mềm DH để trình diễn, minh hoạ các kết quả tính toán hay mô phỏng mà còn cần phải xây dựng các tình huống dạy học để tạo ra các môi trường

có tích hợp các CNTT nhằm giúp hs xây dựng vào khám phá các kiến thức mới”

Tuy nhiên, SGK chưa có các hoạt động với phần mềm DH Trong thực tế giảng dạy ở nhiều trường phổ thông, các phần mềm DH bước đầu được nhiều GV quan tâm sử dụng như Cabri,

Geospace,… Song “việc sử dụng chỉ dừng ở mức độ minh hoạ tính chất và mô phỏng chuyển động

của hình trong các bài giảng điện tử của môn hình học” Vấn đề chưa được ứng dụng trong toán

giải tích

Trong các phần mềm, Cabri II Plus lôi cuốn chúng tôi nhiều nhất bởi nó có một giao diện thân thiện với các biểu tượng, câu lệnh dễ nhớ Cabri II Plus là một vi thế giới đã được việt hoá, có tính tương tác cao, có thể tạo ra hình vẽ trực quan, và những hình ảnh này dễ dàng thay đổi vị trí bằng các thao tác “rê” chuột Điều này đặt ra câu hỏi về vai trò của phần mềm dạy học Cabri II Plus trong thể chế DH Việt Nam

Các bài toán thực tế xuất hiện ngày càng nhiều trong dạy học toán, vật lý, hóa học và sinh học Trong dạy học ở trung học phổ thông, khi nó nhờ đến một sự hình thức hóa toán học để hỗ trợ nghiên cứu các bài toán thực tế, sự hình thức hóa này được điều khiển qua các mô hình toán học sinh ra các hiện tượng dạy học mà công việc hiện tại của chúng tôi đang cố gắng làm rõ

Trong việc mô hình hoá hàm số, có nhiều bài toán thể hiện chúng như: bài toán tính diện tích, bài toán chuyển động, bài toán tính thể tích,…Trong các bài toán này, bài toán tính diện tích là bài toán được nhắc lại rất nhiều lần cho HS qua các bài tập từ cấp tiểu học đến THPT Mặt khác, bài toán diện tích xuất hiện thường xuyên trong các nội dung dạy học hàm số và việc giải các bài toán này bị rút gọn lại theo một quy trình: chọn biến (thường đã cho sẵn), tính công thức, khảo sát hàm

số (thường là hàm đa thức), kết luận Vì thế, chúng tôi chọn nghiên cứu dạy học bài toán này trong dạy học nội dung hàm số

Từ những ghi nhận ban đầu trên đưa chúng tôi đến với những câu hỏi xuất phát sau:

Q1: Hàm số và bài toán diện tích được trình bày như thế nào trong chương trình Đại số và Giải tích

từ 2006 ở Việt Nam?

Q2: Trong chương trình Toán PT, SGK 2006 có những tình huống và dạng bài tập nào về mô hình hoá hàm số?

Q3: Cách trình bày bài toán mô hình hóa của SGK đã ảnh hưởng như thế nào đến người học?

Q4 : Có thể vận dụng phần mềm II Plus Cabri, để xây dựng nội dung dạy học trong các bài toán liên quan đến mô hình hoá khái niệm hàm số như tính diện tích hay không?

2 PHẠM VI LÝ THUYẾT THAM CHIẾU:

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi vận dụng lý thuyết didactique Toán Cụ thể, đó là một số khái niệm công cụ của lý thuyết nhân học, lý thuyết tình huống và hợp đồng didactique

Tại sao lại là “lý thuyết nhân học”? Bởi vì hai trong bốn câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến khái niệm cơ bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học

Hai câu hỏi xuất phát còn lại có liên quan đến các khái niệm trong lý thuyết tình huống

Ngoài ra, chúng tôi có nghiên cứu thêm lý thuyết về dạy học mô hình hóa để trả lời cho các câu hỏi có liên quan đến mô hình hóa

Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thoả đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình

Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức:

Một đối tượng một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X

có đối với O R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O.X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao

Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “hàm số và bài toán diện tích”

Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức:

Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lững ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một thể chế Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào

đó mà có sự tồn tại của X

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp

các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O

Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I, O)

Với những định nghĩa trên thì trả lời câu hỏi Q1, Q2 chính là làm rõ quan hệ của các thể chế

mà chúng tôi quan tâm và mối quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng O

Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học theo chương trình được tiến hành đại trà từ năm học 2006 – 2007

Vậy làm thế nào để làm rõ mối quan hệ R(I, O), R(X,O)?

Theo Bosch và Chevallard.Y(1999), nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ R(I, O).Ngoài ra, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O

Trong luận văn này việc xác định các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng O, liên quan đến hàm số và bài toán diện tích, sẽ cho phép chúng tôi:

- Vạch rõ các mối quan hệ của thể chế R(I,O)

- Xác định mối quan hệ cá nhân học sinh duy trì với O trong thể chế I

Vậy, “ một tổ chức toán học” là gì?

2.3 Tổ chức toán học:

Hoạt động toán học là một bộ phận của họat động xã hội Do đó cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm Praxeologie

Theo Chevallard, mỗi Praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần:[T, , , ], trong đó:T là một

kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lí thuyết giải thích cho , nghĩa là công nghệ của công nghệ 

Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức

toán học (organisation mathématique)

Sự mô hình hoá:

Trong didactic toán, người ta có nói đến dạy học mô hình hoá và dạy học bằng mô hình hoá

Điều này là một trong những mối quan tâm của chúng tôi khi nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa và thực hành giảng dạy của giáo viên

Chính vì vậy, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày ở đây một cách ngắn gọn về quá trình mô hình

hoá để sử dụng công cụ toán học vào giải quyết một vấn đề của thực tiễn hay của các khoa học khác

và sau đó là vấn đề dạy học mô hình hoá và bằng mô hình hoá

Mô hình là một đối tượng cụ thể nào đó dùng thay thế cho một nguyên bản tương xứng để

có thể giải quyết một nhiệm vụ nhất định trên cơ sở sự đồng dạng về cấu trúc và chức năng

Mô hình toán học là một mô hình biểu diễn toán học của những mặt chủ yếu của một nguyên bản theo một nhiệm vụ nào đó, trong phạm vi giới hạn, với một độ chính xác vừa đủ và trong dạng thích hợp cho sử dụng Cụ thể hơn, mô hình toán học là các công thức để tính toán các quá trình hoá học, vật lý, sinh học,… được mô phỏng từ hệ thống thực

(Theo http://www.hcmier.edu.vn/vie/IER-DeptGeoinfo/Geoinfo-Modeling.htm)

Quá trình mô hình hoá toán học được minh hoạ bằng sơ đồ sau:

Phạm vi ngoài toán học

Hệ thống, tình huống cần giải quyết (bài toán có nội dung thực tiễn)

Câu trả lời cho bài toán có nội dung thực tiễn

Bài toán phỏng thực

tế (BTPTT)

Câu trả lời choBTPTT

Bài toán toán học (BTTH)

Câu trả lời choBTTH

(1)

(2)

(3)

(4) (5)

vi và

hệ thống biểu đạt

Phạm vi toán học

Tham khảo sơ đồ - quy trình mô hình hoá một hệ ngoài toán học, Coulange (1997)

Bước (1): tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống, tình huống cần giải quyết (bài toán

có nội dung thực tiễn) để đưa vào một bài toán phỏng thực tiễn (BTPTT) bằng cách:

Loại bỏ những chi tiết không quan trọng làm cho bài toán có nội dung thực tiễn trở nên dễ hiểu và dễ nắm bắt hơn Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ thống Rút ra những mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi của hệ thống

Bước (2): Chuyển từ một BTPTT thành bài toán toán học (BTTH) bằng cách sử dụng hệ thống biểu đạt, công cụ toán học Như vậy, mô hình hóa toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng Mô hình toán học thiết lập các mối liên hệ giữa các biến số và các tham số điều khiển hiện tượng

Như vậy, sau hai bước đầu ta đã phát biểu được bài toán cần giải

Bước (3): Tìm và áp dụng các công cụ toán học để giải BTTH

Bước (4): Nhìn lại các thao tác đã làm ở bước (2) để chuyển ngược lại từ câu trả lời của bài toán toán học sang câu trả lời cho BTPTT

Trong bước này cần phải xác lập mức độ phù hợp với mô hình lí thuyết với vấn đề thực tế mà

nó mô tả Để thực hiện bước này, có thể làm thực nghiệm hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia

Ở đây có 2 khả năng :

Khả năng 1 Các kết quả tính phù hợp với thực tế Khi đó có thể áp dụng nó vào việc giải quyết vấn

đề thực tế đặt ra

Khả năng 2 Các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế Trong trường hợp này cần phải xem

xét các nguyên nhân của nó Nguyên nhân đầu tiên có thể do các

kết quả tính toán trong bước 3 là chưa có đủ độ chính xác cần thiết khi đó cần phải xem lại các thực

tế cũng như các chương trình tính toán trong bước này Một nguyên nhân khác rất có thể là do mô hình xây dựng chưa phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế Nếu vậy, cần phải rà soát lại bước 1, trong việc xây dựng mô hình định tính có yếu tố hoặc quy luật nào bỏ xót không ? Cuối cùng, cần phải xem xét hoặc xây dựng lại mô hính toán học ở bước 2

Bước (5): Phân tích kết quả thu được từ BTPTT, nhìn lại những gì đã làm ở bước (1) để chuyển từ câu trả của BTPTT sang câu trả lời cho bài toán có nội dung thực tiễn

Như vậy, quá trình mô hình hoá toán học đã khai thác việc sử dụng mô hình toán học kết hợp với sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt Điều đó đã tạonên thế mạnh của quá trình mô hình hoá toán học: giải quyết được nhiều vấn đề phức tạp, đa dạng trong nhiều phạm vi ngoài toán học

Vấn đề dạy học mô hình hoá và bằng mô hình hóa đã được tác giả Lê Văn Tiến trình bày

trong giáo trình “Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông” (2005) Dạy học mô hình

hoá là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu

hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Từ đó, một quy trình dạy học tương ứng có thể là: dạy học tri thức

toán học lý thuyết → vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn và do đó vào việc xây dựng mô hình của thực tiễn Tuy nhiên, quy trình này làm mất đi vai trò động cơ của các

bài toán thực tiễn và do đó làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học: tri thức toán

học không còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn Quan niệm “dạy học bằng mô

hình hoá” cho phép khắc phục khiếm khuyết này Theo quan niệm này, vấn đề là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hoá Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình

giải quyết các bài toán thực tiễn Quy trình dạy học tương ứng có thể là: Bài toán thực tiễn → Xây

dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn

3 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU:

Từ những ghi nhận ban đầu như trên kết hợp với khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu mà việc trả lời chúng là mục tiêu của đề tài này:

Q1: Hàm số và bài toán diện tích được trình bày như thế nào trong các thể chế I1, I2(I1: Đại số 10 nâng cao(2006), I2: Giải tích 12 nâng cao(2008)) Các tổ chức toán học nào liên quan đến hàm số và bài toán tính diện tích trong các thể chế này?

Q2 : Đối với thể chế dạy học I1, I2 có những tình huống và dạng bài tập nào về mô hình hoá hàm số?

Q3: Cách trình bày bài toán mô hình hóa của I1, I2 đã ảnh hưởng như thế nào đến người học?

Q4 : Vai trò của phần mềm Cabri với việc dạy học mô hình hoá hàm số trong ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ nào với Cabri trong việc dạy học mô hình hoá hàm số?

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Phân tích chương trình và sách giáo khoa, sách giáo viên Đại số 10, Giải tích 12, tài liệu hướng dẫn giảng dạy trong chương trình được thực hiện từ năm 2006

- Mục đích:

+ Biết được cách trình bày các vấn đề về hàm số, bài toán cực trị, đặc biệt là bài toán tính diện tích của chương trình (CT)

+ Làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng hàm số, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu + Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra

+ Xây dựng thực nghiệm trên môi trường giấy bút truyền thống và trên phần mềm Cabri, để biết được tác động từ môi trường trong việc dạy học mô hình hoá hàm số

5 TỔ CHỨC CỦA LUẬN VĂN

 Phần mở đầu

 Chương I: Quan hệ thể chế với khái niệm hàm số và bài toán diện tích

Nghiên cứu chương I nhằm trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3 Muốn thế, chúng tôi tiến hành phân tích CT , sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số 10, Giải tích 12, tài liệu hướng dẫn giảng dạy trong chương trình được thực hiện từ năm 2006 Chúng tôi cố gắng chỉ rõ các

tổ chức toán học liên quan Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan hệ của từng thể chế với đối tượng hàm số và bài toán diện tích, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu Chương II: Thực nghiệm thứ nhất

+ Được tiến hành trong môi trường giấy bút truyền thống với học sinh

Chương III: Thực nghiệm thứ hai

+ Được tiến hành trong môi trường tích hợp của phần mềm Cabri II Plus với học sinh

 Kết luận

Tóm tắt những kết quả đạt được ở chương I, II, III và đề xuất một số hướng nghiên cứu có thể

mở ra từ luận văn này

Chương I: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ

BÀI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH

Mở đầu:

Nghiên cứu chương này nhằm trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3 Chúng tôi tiến hành phân tích CT, sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số 10, Giải tích 12, tài liệu hướng dẫn giảng dạy trong chương trình được thực hiện từ năm 2006 Chúng tôi cố gắng chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan hệ của từng thể chế với đối tượng hàm số và bài toán diện tích, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu của đề tài

Năm học 2006 – 2007, toàn bộ khối 10 các trường phổ thông trong cả nước thực hiện chương trình mới: chương trình phân ban Chương trình toán 10 phân thành hai chương trình: chương trình nâng cao – chương trình cơ bản Đến năm học 2007 – 2008, toàn bộ khối 11 tiếp tục thực hiện chương trình phân ban với sự phân chia ban giống như khối 10 Sau đó, đến năm học 2008 – 2009 là thực hiện chương trình phân ban tương tự cho khối 12

Trong Đại số-Giải tích, người ta sử dụng “đường cong - đồ thị hàm số” như một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu hàm số Luận văn này chỉ tập trung nghiên cứu các vấn đề về hàm số, đồ thị kết hợp với dạy học mô hình hoá hàm số thông qua bài toán tính diện tích Chúng được trình bày chủ yếu trong các SGK Đại số 10, Giải tích 12

Chúng tôi chọn phân tích bộ SGK lớp 10, lớp 12 theo chương trình nâng cao, theo chủ đề hàm số và bài toán diện tích Tài liệu phân tích:

+ Sách giáo khoa Đại số 10, nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2006, NXBGD

+ Sách giáo viên Đại số 10, nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2006, NXBGD

+ Sách bài tập Đại số 10, nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2006, NXBGD

+ Giải tích 12, nâng cao, Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2008, NXBGD

+ Sách giáo viên Giải tích 12, nâng cao, Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2008, NXBGD

+ Sách bài tập Giải tích 12, nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2008, NXBGD

1.1 Phân tích chương trình (CT) THPT từ năm 2006

1.1.1 CT Đại số 10 nâng cao (10NC)

“Hàm số và đồ thị hàm số” được trình bày ở chương 2, chương “Hàm số bậc nhất và bậc hai”.Nội dung của chương gồm 3 bài, với 3 tiết luyện tập, được thực hiện trong 11 tiết, phân phối cụ thể như sau:

1 Đại cương về hàm số (3tiết) Luyện tập (1 tiết)

2 Hàm số bậc nhất (1tiết) Luyện tập (1 tiết)

3 Hàm số bậc hai (2tiết) Luyện tập (1 tiết) Ôn chương (2 tiết)

« Trong chủ đề này, điểm cần nhấn mạnh là yêu cầu về kĩ năng đọc đồ thị, nghĩa là khi cho đồ thị của một hàm

số, hs phải lập được bảng biến thiên của hàm số đó và nêu được những tính chất đơn giản của nó » ( GV, tr.4)

“ Việc khảo sát hàm số, học sinh sẽ được học đầy đủ hơn ở lớp 12, sau khi đã được trang bị thêm công cụ đạo hàm Do đó, ở lớp 10, đối với hàm số cho bằng biểu thức( không quá phức tạp), chỉ yêu cầu học sinh biết tìm tập xác định, xét tính chẵn – lẻ, và xét sự biến thiên bằng cách dùng tỉ số biến thiên đối với một vài hàm số cho bằng biểu thức đơn giản trên một khoảng cụ thể cho trước.” (Tài liệu bồi dưỡng GV thực hiện CT, SGK toán 10 tr.198)

Khi cho hàm số bằng đồ thị, học sinh cần :

« - Biết cách tìm giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định và ngược lại, tìm giá trị của x để hàm số nhận một giá trị cho trước (nói chung là giá trị gần đúng, tuy nhiên, nếu kết hợp với các phương pháp khác thì

có thể tìm được giá trị chính xác)

- Nhận biết được sự biến thiên và biết lập bảng biến thiên của một hàm số thông qua đồ thị của nó

- Bước đầu nhận biết một vài tính chất của hàm số như : giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số (nếu có), dấu của hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng

- Nhận biết được tính chẵn-lẻ của hàm số qua đồ thị » [SGV tr.69]

Các kiến thức về đồ thị hàm số y=ax2 đã biết ở các lớp dưới vẫn được kế thừa Đối với các hàm số khác, việc vẽ đồ thị của nó chủ yếu dựa vào những đồ thị đã biết và một số phép biến đổi đồ thị (phép tịnh tiến đồ thị) Sau đó từ đồ thị suy ra một số tính chất của các hàm số này SGV tr.71 còn viết: “Do tính phức tạp của vấn đề, SGK chỉ trình bày sơ lược và rất trực giác để hs hiểu thế nào là tịnh tiến một

đồ thị Sau đó cho HS thừa nhận kết quả tổng quát về mối quan hệ giữa các hàm số mà đồ thị của hàm số này thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số kia Đây là sự chuẩn bị cho bài học sau, nhất là bài học về hàm số bậc hai” Điều này cho thấy việc đưa vào “phép tịnh tiến đồ thị” nhằm mục đích phục vụ cho yêu cầu “vẽ đồ thị” (một trong những yêu cầu chính của chương) và việc nghiên cứu hàm số bậc hai y=ax2+bx+c và

Tính chất “ứng với mỗi x, luôn có duy nhất một giá trị y” của hàm số y=f(x) được đặt tương ứng với tính chất của đồ thị “cắt các đường thẳng cùng phương với Oy tại không quá một điểm”

Qua phần trình bày trên ta nhận thấy:

- Yêu cầu “đọc đồ thị” được đặc biệt đề cao Muốn “đọc đồ thị” thì hoặc là đề bài cho sẵn đồ thị, hoặc là HS phải vẽ được đồ thị, do đó, vẽ đồ thị cũng đóng vai trò quan trọng Từ đồ thị hàm số, suy ra được sự biến thiên, lập được bảng biến thiên của hàm số và nêu được một số tính chất khác của hàm số

- Vấn đề tịnh tiến đồ thị chỉ là phương tiện hỗ trợ để HS hiểu tại sao có được đồ thị như vậy

Do đó, đồ thị hàm số ở lớp 10 không có ý nghĩa minh họa tính chất hàm số, mà chỉ sử dụng để xác định tính chất của hàm số Ngoài ra, ở CT lớp 10: chưa đủ công cụ để vẽ đồ thị, HS vẽ đồ thị và nhìn nhận một cách trực quan

“Bài toán diện tích” được đề cập rất ít đến trong chương này, ngoại trừ có một bài toán trong bài tập ôn chương có dùng đến hình vẽ là diện tích S để xác định biểu thức hàm số S(x)

“Bài toán diện tích”, còn được chương trình ĐS10NC đề cập đến trong chương IV: “Bất đẳng thức

và bất phương trình” Cụ thể, chúng được đề cập trong bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức của chương với mục tiêu:

“- Nắm vững bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai (ba) số không âm

- Biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến” (SGV ĐS10 NC tr.153)

1.1.2 CT Giải tích 12 nâng cao (12NC)

Vấn đề liên quan đến “hàm số và đồ thị hàm số” được trình bày ở chươngI, chương: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số” Chương này gồm 8 bài, được

dự kiến phân phối dạy trong 23 tiết, cụ thể như sau:

1.Tính đơn điệu của hàm số ( 3 tiết)

2 Cực trị của hàm số (2 tiết)

3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( 3 tiết)

4 Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ trục toạ độ (1 tiết)

5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (3 tiết)

6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm đa thức (3 tiết)

7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm phân thức hữu tỉ(3 tiết)

8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị (3 tiết) Ôn chương (2tiết)

Trong chương trình có một số bài tập mà nội dung mang tính thực tế Chúng giúp cho HS thấy được những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán thực tế Khi giải một số bài tập thuộc loại này, ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số nguyên dương

Nội dung của chương là một số ứng dụng quan trọng của lý thuyết giới hạn và đạo hàm trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao

“Trong giảng dạy, GV nên hướng dẫn HS lập bảng biến thiên hàm số, giúp các em hiểu ý nghĩa của của bảng biến thiên và sử dụng nó để xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”

( SGV GT12NC tr.20)

Tính đơn điệu của hàm số được xác định nhờ vào dấu của đạo hàm Mang tính chất kế thừa, tính đơn điệu của hàm số được suy ra từ tính chất đơn điệu của hàm số ở chương trình Đại số 10 nâng cao Ngoài ra, tính đơn điệu của hàm số trong chương trình không chỉ được xét trên một khoảng mà cả trên đoạn và trên nửa khoảng

Định nghĩa cực trị của hàm số được đưa vào trực tiếp mà không xuất phát từ bất kỳ một động

cơ nào Sau đó giới thiệu hai quy tắc tìm cực trị mà sách giáo viên nêu yêu cầu như sau: “kỹ năng: rèn luyện cho HS vận dụng thành thạo 2 quy tắc để tìm cực trị của hàm số.” ( SGV GT12NC tr.30)

Ứng dụng tính đơn điệu và cực trị hàm số, vấn đề này được chương trình tiếp tục mở rộng khai thác là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, đây là nội dung có nhiều bài toán mang tính thực tế

Chủ đề “hàm số và vẽ đồ thị hàm số” được thể hiện ở các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

của các hàm số đó Dựa vào đạo hàm, các tính chất của hàm số (sự biến thiên, cực trị, GTLN – GTNN, …) đã được xác định rất rõ, từ đó đồ thị hàm số được vẽ ra như một mô hình minh họa các tính chất của hàm số

Mặt khác, SGV Giải tích 12 NC tr.64 lưu ý như sau:

“ Việc tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số được thực hiện ngay từ đầu khi khảo sát sự biến thiên của hàm số Nhờ đó, sau khi xét dấu đạo hàm, có thể lập ngay được bảng biến thiên của hàm số

HS dễ dàng đọc được một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN , … trên bảng biến thiên đó.”

Ngoài ra, sau mỗi đồ thị hàm số SGK yêu cầu đưa ra nhận xét về tính đối xứng của đồ thị Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi xin phân tích một số nội dung thường gặp liên quan đến hàm số và nội dung bài toán tính diện tích Chúng tôi lựa chọn phân tích các nội dung xuất hiện trong bài 1, bài 3, bài 6, bài 7, bài 8

Qua phần trình bày về CT Giải tích 12NC chúng tôi nhận thấy:

Đồ thị hàm số ở lớp 12 có ý nghĩa minh họa tính chất hàm số và cũng “có thể” sử dụng để xác định được một số tính chất của hàm số Chẳng hạn như: tính chẵn, lẻ (nếu có), tính đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN trên đoạn, Ở đây, chúng tôi sử dụng từ “có thể” vì vấn đề dựa vào đồ thị xác định được một số tính chất của hàm số là thể chế không mong đợi, đó chỉ là ý kiến cá nhân chúng tôi Lớp 12: đủ công cụ để vẽ đồ thị nhờ vào đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, tìm cực trị hàm số,

…

Vậy, vấn đề dạy học mô hình hoá có được thể chế I1, I2 quan tâm đến hay không?

Trước hết, chúng tôi xin đưa ra nhận xét như sau: Trong thể chế I1, có rất ít bài toán mang tính thực tế Do đó, dạy học mô hình hóa hàm số chưa được thể chế I1 quan tâm Nhưng, ở CT Giải tích 12 có sự xuất hiện nhiều bài toán thực tế nên sự mô hình hoá toán học thông qua các bài toán thực tế này được thể hiện rõ trong các hoạt động và bài tập Trong chương trình GT12, bài toán thực

tế liên quan đến bài toán tính diện tích có 8 bài tập xuất hiện, khá nhiều so với chương trình ĐS10 Chúng tôi sẽ phân tích rõ hơn trong phần phân tích sách giáo khoa

1.2 Phân tích Sách giáo khoa (SGK) THPT từ năm 2006

1.2.1 Đại số 10 nâng cao (10NC)

Chương II: Hàm số bậc nhất và bậc hai

Bài 1: Đại cương về hàm số

Vì yêu cầu chính của chương này là “đọc đồ thị” nên trong bài này, ta thấy luôn có sự trình bày song song các tính chất của hàm số và tính chất tương ứng của đồ thị Hơn nữa, “phép tịnh tiến đồ thị” cũng hỗ trợ cho việc giải thích các kỹ thuật vẽ một số đồ thị hàm số quy định trong chương trình và giúp giải thích, tìm ra một số tính chất của đồ thị hàm số

Luận văn Thạc sĩ “ Hàm số và đường cong trong day học toán ở trường phổ thông” của tác giả Bùi Thị Ngát (2008), Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, rất gần với vấn đề mà chúng tôi nghiên cứu trong phần này Tác giả đã đề cập đến các tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ:

Tdoc: Đọc đồ thị (xét sự biến thiên, tính chẵn lẻ của hàm số, xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… của hàm số bằng đồ thị) ; Tcm1 : chứng minh tính chất của đồ thị hàm số dựa vào công thức hàm số ;

Tvt-ct : Tìm hàm số có đồ thị (G’), trong đó (G’) có được khi tịnh tiến đồ thị (G) của một hàm số đã cho bởi một phép tịnh tiến song song với trục tọa độ đã cho

Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy trong phần bài tập có bài tập số 2 mang tính chất thực tế như sau :

Từ bài tập này, xuất hiện kiểu nhiệm vụ: Tbttt : Bài toán thực tế, với kỹ thuật giải quyết như sau :

+ Nhìn vào bảng xác định tập xác định

+ Ứng với một giá trị của năm, ta có một giá trị sản lượng trên mỗi cột

Bài 2: Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0), vấn đề mà HS được học khá đầy đủ ở lớp dưới Trong bài 2 này không thấy xuất hiện kiểu nhiệm vụ Tbttt

Chưa vẽ đồ thị, nhưng SGK vẫn kết luận được đồ thị hàm số trên là một parabol, do vận dụng

kết quả đã tìm được trong phần lý thuyết

Ngoài ra, trong bài 3 này, phần bài tập SGK có đưa ra 4 bài toán thực tế: bài toán bóng đá, Bài toán về cổng Ac-xơ(Arch), bài toán tàu vũ trụ và một bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học (nằm trong bài tập ôn chương) Đây là những bài toán mang tính chất thực tế Muốn giải chúng, chúng ta đưa vào quy trình dạy học mô hình hoá toán học

Chúng tôi xin nêu bốn bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ Tbttt, mà SGK ĐS10NC đưa ra như sau:

“Bài 37 trang 60 SGK ĐS10 NC

Bài toán bóng đá: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống Biết rằng quỹ đạo của

quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m Sau đó 1 giây, nó đạt đến độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên

b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn)

c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên(tính chính xác đến hàng phần trăm)

Bài 38 trang 61SGK ĐS10 NC

Bài toán về cổng Ac – xơ (Arch):

Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu – i (Mĩ)ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ac – xơ Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình 2.22 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí (162; 0) Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10; 43)

a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên

b) Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) ( Hình vẽ 2.22)

Từ những vấn đề được nêu ra trong bài 37, 38, 45, 46 chúng tôi có thêm kiểu nhịêm vụ :

Tbttt : bài toán thực tế (bài toán hình học cũng được xét vào kiểu nhiệm vụ này): xác định hai kiểu nhiệm vụ con:

 Kiểu nhiệm vụ T btkdt : bài toán thực tế không liên quan đến tính diện tích

(bài 37, 38, 46)

Kỹ thuật τbtkdt :

Tìm mối quan hệ giữa tung độ(biến phụ thuộc) và hoành độ(biến độc lập) Từ đó, suy ra biểu thức hàm số

Sử dụng các tính chất của hàm số tìm tung độ đỉnh và độ cao

Công nghệ btkdt:Tính chất của hàm số và tính chất tương ứng của đồ thị hàm số

 Kiểu nhiệm vụ T btdt : bài toán thực tế liên quan đến tính diện tích (bài tập 45)

Kỹ thuật τbtdt :

Dựa vào công thức tính diện tích của hình chữ nhật, tìm mối quan hệ giữa vị trí điểm

M và diện tích hình chữ nhật tương ứng với vị trí điểm M đó

Công nghệ btdt: Công thức tính diện tích hình chữ nhật, tính chất hàm số trên từng khoảng, đoạn

Bảng 1.1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ:

(Trích : Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số và đồ thị CT Toán 10, luận văn thạc

sĩ, tác giả: Bùi Thị Ngát (2008), ĐHSP TP.HCM

Kiểu nhiệm vụ SGK

SBT Tổng cộng Vd- hđ Bt

Hàm số

quitac hs

Ths TXD

Quan sát bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy:

Liên quan đến mối liên hệ giữa hàm số và đồ thị hàm số có những kiểu nhiệm vụ Tve2; Tvt-ct;

Tdoc; Tbpt chiếm số lượng nhiều trong các bài tập được nêu trong SGK, SBT Điều này cho chúng ta thấy 2 loại nhiệm vụ trọng tâm trọng chương trình ĐS 10 là vẽ đồ thị hàm số bậc hai (dựa vào công thức hàm số) và tìm các tính chất của hàm số dựa vào đồ thị Ba kiểu nhiệm vụ Tvt-ct; Tdoc; Tbpt cũng được giải quyết chủ yếu dựa vào đồ thị

Ngoài ra, chúng tôi thống kê thêm kiểu nhiệm vụ có liên quan đến bài toán thực tế

Tbttt: Bài toán thực tế Bài toán cụ thể SGK tr.112 như sau:

“Một khách hàng đến một của hàng bán hoa quả mua 2kg cam đã yêu cầu cân hai lần Lần đầu, người bán hàng đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa cân bên trái cho đến khi cân thăng bằng và lần sau, đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên trái và đặt cam lên đĩa cân bên phải cho đến khi cân thăng bằng Nếu cái cân đĩa đó không chính xác (do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau) nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam hay không? Vì sao?”

“4.25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O có bán kính R (R>0) Trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó

Hãy xác định tọa độ của A và B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.”

Trong 3 bài này có bài 4.22, khi giải thường HS chọn biến, thể tích là một biểu thức chứa biến Do đó, khi giải bài toán dạng này HS phải đưa vào quá trình mô hình hóa toán học

Đối với kiểu nhiệm vụ Tbttt, chương I trong SGK và SBT ĐS10NC, có 7 bài toán phỏng thực tế liên quan đến hàm số Chương 4, có 3 bài toán thực tế, trong đó có 1 bài khi giải cần lập biểu thức của hàm số Tất cả các bài toán thực tế của hai chương, chúng có chung đặc điểm như sau: Dữ liệu bài toán vừa đủ, không thừa, không thiếu Trong các bài toán này, vấn đề chọn biến để tìm ra được công thức của hàm số thì đề bài đã chọn sẵn, HS không có nhiệm vụ chọn biến Ngoài ra, mỗi bài toán điều có hình vẽ minh họa trong hệ trục tọa độ vuông góc

Từ đó cho thấy, năm bước của quá trình mô hình hoá có được thể chế quan tâm Nhưng thực tế cho thấy nó bị xem nhẹ và không là mục tiêu nhắm đến của chương, chúng chỉ mang nặng tính hình thức Tham chiếu với năm bước của quá trình mô hình hoá 1 bài toán thực phỏng thực tế, ta thấy:

Bước 1: Những bài toán thực tế được đưa ra chỉ là những bài toán toán học hoặc phỏng thực tế nên bước 1 không có điều kiện xuất hiện

Bước 2: Việc chuyển từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học (hàm số bậc hai) chỉ mang tính hình thức

Bước 3: Việc giải bài toán toán học được chú trọng đến cả chi tiết tiến trình giải lẫn kết quả Trong khi chỉ cần kết quả đúng để cung cấp cho bài toán phỏng thực tế

Bước 4: Khâu chuyển từ kết quả của bài toán toán học sang bài toán phỏng thực tế thường chỉ mang tính hình thức: kết quả đa phần là trùng nhau Bài toán phỏng thực tế bao giờ cũng có nghiệm

Bước 5: Không có điều kiện xuất hiện

- Trong chương này, từ hàm số ta suy ra một số tính chất của đồ thị hàm số như sau: tính chất của đồ thị hàm số chẵn, lẻ, tính chất của đồ thị chứa giá trị tuyệt đối (nằm trên trục hoành) Mặt khác, từ đồ thị hàm số ta có thể nhận biết các tính chất của hàm số: chẳng hạn nhận biết được sự

biến thiên và lập được bảng biến thiên, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số (nếu có), dấu của hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng, nhận biết được tính chẵn lẻ

Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng; đồ thị được xem là phương tiện chủ yếu để khảo sát hàm số trong chương trình Đại số 10

Qua các tổ chức toán học đã được triển khai, liên quan đến bài toán thực tế là kiểu nhiệm vụ

Tbttt, chúng tôi nhận thấy thể chế I1 không chú trọng khai thác việc dạy học mô hình hoá hàm số Đặc biệt, dạy học mô hình hoá hàm số thông qua bài toán diện tích chỉ có 1 bài tập xuất hiện trong thể chế I1

Tuy nhiên, những vấn đề chưa thực sự được thể chế I1 quan tâm ở đây, không thể nói là sự thiếu sót vì lớp 12( thể chế I2) mới là lớp mà HS sẽ đủ công cụ để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Có thể, vấn đề dạy học mô hình hoá hàm số thông qua bài toán diện tích sẽ thể hiện một cách rõ ràng

1.2.3 Phân tích SGK12 nâng cao (12nc)

Như đã nêu trong phân tích chương trình, chúng tôi lựa chọn phân tích các nội dung xuất hiện trong bài 1, bài 3, bài 6, bài 7, bài 8 Vì, chúng có liên quan mật thiết với đề tài mà chúng tôi đang nghiên cứu

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

SGK giải tích 12 NC trang 4 – 5 có nêu:

“ Trong bài này ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến, nghịch biến ) của hàm số Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến trong sách giáo khoa đại số10 nâng cao.[…]

Từ đó, người ta chứng minh được điều kiện sau đây:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f’(x) ≥ 0, với mọi x  I

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f’(x) ≤ 0, với mọi x  I

Đảo lại, có thể chứng minh được:

Định lý:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f’(x) > 0, x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

b) Nếu f’(x) < 0, x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

c) Nếu f’(x) = 0, x  I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

(2) Bảng biến thiên của hàm số được vẽ ra dựa vào dấu đạo hàm

(3) Đoạn văn cuối của phần trích dẫn cho thấy rằng dấu đạo hàm là căn cứ quan trọng để có được chiều biến thiên

Tóm lại trong phần này, định lý được nêu ra như là một quy tắc để học sinh nhớ, áp dụng giải đúng bài tập, trong khi học sinh có thể không biết được tại sao có định lý này

Ngoài ra, chúng tôi cũng thấy xuất hiện kiểu nhiệm vụ Tbttt, với kiểu nhiệm vụ con sau:

“Tbtkdt: bài toán thực tế về số dân của một thị trấn”

Bài toán cụ thể như sau: “Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính

bởi công thức:

26 10 ( )

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞) Tìm f’ và xét chiều biến thiên của hàm số f trên nửa khoảng [0; +∞)

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

 Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn

 Vào năm nào thị tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm?”

Kỹ thuật, công nghệ:

a) Tính t vào năm 1980, thay t vào f(t)  số dân năm 1980

Từ đó tính t vào năm 1995, thay t vào f(t)  số dân năm 1995

a) Định nghĩa khái niệm hàm số

c1) Đạo hàm là hàm số, khái niệm hàm số

Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Đầu tiên SGK GT12NC tr.17 nhận định:

“ Nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước Trong bài này ta sẽ ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số để tìm GTLN – GTNN của hàm số.”

Sau đó, đưa ra định nghĩa về GTLN – GTNN của hàm số một cách trực tiếp và có kết luận như sau:

“ Phương pháp thường được sử dụng để tìm GTLN – GTNN của hàm số trên một tập hợp là lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó” (SGK GT12NC tr.19 )

Từ đó, chúng tôi nhận thấy rằng: bảng biến thiên là công cụ hữu hiệu để tìm GTLN – GTNN của hàm số SGV GT12NC tr39 Có nêu mục tiêu về kỹ năng như sau:

“Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b), có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a, b) thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f trên đoạn [a, b] như sau:

Quy tắc:

1 Tìm các điểm x 1 , x 2 ,…, x m thuộc (a,b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

2 Tính f(x ), f(x ),…, f(x ), f(a) và f(b)

3 So sánh các giá trị tìm được

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a,b], số nhỏ nhất trong các giá trị là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [a, b].”

Trở lại ví dụ 3 về bài toán phỏng thực tế, đây là dạng toán mà chúng tôi quan tâm

Ngay trong phần bài học thì việc dạy học mô hình hoá hàm số đã được I2 quan tâm Ngoài các kiểu nhiệm vụ TLN-NN: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, còn xuất hiện khá nhiều bài tập thuộc vào kiểu nhiệm vụ Tbttt

Các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ TLN-NN chủ yếu dựa vào bảng biến thiên hoặc là quy tắc để giải một cách trực tiếp, do đó chúng tôi xin phép không trình bày Kiểu nhiệm vụ Tbttt, chúng tôi xác định 2 kiểu nhiệm vụ con: Tbtdt: bài toán thực tế liên quan đến tính diện tích và Tbtkdt: bài toán thực

tế không liên quan đến diện tích

Các bài tập liên quan được SGK GT12 NC trình bày từ trang 20 đến 24, được tổng kết trong bảng sau:

BT 20 trang 22 (SGK)

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sao một vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam)

Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sao một

vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

KIỂU NHIỆM VỤ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

BT 25 trang 23 (SGK).Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km Vận tốc dòng nước là 6km/h Nếu vận tốc bơi của

cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E(v) = cv3t,

Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng Jun Tìm vận tốc bơi của cá

khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất

BT 26 trang 25 (SGK)

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người

nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là: f(t)

Xác định chiều biến thiên cua hàm số f trên đoạn [0;25]

Ngoài ra, trong Sách bài tập GT12NC, có 8/10 (80 %) bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ Tbttt, dạng toán này chiếm tỷ lệ cao trong tất cả các bài tập của bài 3 Ở đây, chúng tôi xin nói thêm, những dạng toán viết bằng ngôn ngữ hình học cũng được xếp vào kiểu nhiệm vụ Tbttt

Ta bắt đầu với kiểu nhiệm vụ:Tbtdt: “bài toán thực tế liên quan đến bài toán diện tích” Hai

bài tập 19 và 20, SGV GT12NC có trình bày lời giải khá cụ thể, còn bài tập 28 chỉ cho kết quả Nhưng từ lời giải của hai bài tập 19 và 20, ta có thể rút ra được kỹ huật giải quyết kiểu nhiệm vụ

Tbtdt như sau:

btdt:+ Nếu đề bài đã cho công thức biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng Ta tìm đạo hàm của hàm số Sau đó, lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN – GTNN của hàm

số Cuối cùng, kết luận cho bài toán thực tế

+ Nếu đề bài không cho công thức biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng thì trước tiên phải tìm công thức đó Sau đó thực hiện các bước tương tự trên

Công nghệ: btdt: Tính đơn điệu, cực trị, bảng biến thiên của hàm số

Trong kiểu nhiệm vụ có sự chuyển đổi từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học đối với bài tập 20 Còn đối với bài tập 19, 28, có sự chuyển đổi bài toán từ phạm vi hình học sang phạm

vi Đại số - Giải tích

Ngoài ra, hai bài tập 19, 28 được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học Bài giải của bài tập 19 được thể chế mong đợi như sau:

Tương tự, các bài tập trong sách BT GT12 NC cũng được thể chế yêu cầu giải theo hướng tương tự Chúng tôi nhận thấy rằng nếu các bài toán này được đưa ra trong chương trình hình học thì hầu hết HS sẽ sử dụng các kiến thức hình học để giải toán

Đối với kiểu nhiệm vụ Tbtkdt: “bài toán thực tế không liên quan đến diện tích.” Cả ba bài tập

23,25,26 đều được SGV GT12NC trình bày lời giải khá cụ thể Một kỹ thuật khá phổ biến để giải quyết kiểu nhiệm vụ này như sau:

btkdt: Giống kỹ thuật btdt.

Công nghệ: btkdt: Giống công nghệ btdt.

Điều này chứng tỏ, SGK đã chú trọng đến những dạng toán mang tính chất hình học, thực tế Xét về khía cạnh dạy học mô hình hoá hàm số thì SGK đã có quan tâm đáng kể và thực sự khai thác

Tiếp theo đây chúng tôi sẽ phân tích bài 6,7: Về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Chúng tôi không đi vào những đồ thị của những hàm số cụ thể mà chỉ nghiên cứu đồ thị tổng quát

Chủ đề “khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số” được thể hiện trong “các bước khảo sát

sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số” được nêu trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao:

“khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, ta tiến hành các bước sau đây:

1 Tìm tập xác định của hàm số

2 Xét sự biến thiên của hàm số

Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số

Tìm các đường tiệm cận của hàm số, bao gồm: tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng biến thiên

3 Vẽ đồ thị của hàm số”

Bước cuối cùng trong việc khảo sát hàm số là thể hiện tất cả các kết quả của hai bước trước trên đồ thị của hàm số Muốn cho đồ thị biểu diễn được một cách chính xác hàm số đã cho, trước khi vẽ cần chính xác hoá một số điểm sau:

1) Vẽ đường tiệm cận của hàm số (nếu có)

2) Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị (chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ)

3) Nhận xét đồ thị: chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị

Qua phần trích dẫn trên, chúng tôi có rút ra hai nhận xét:

(1) Dễ thấy rằng thể chế mong muốn việc vẽ đồ thị phải được tiến hành sau khi khảo sát sự biến thiên Như vậy, đối với HS lớp 12, vẽ đồ thị phải dựa trên bảng biến thiên lập được bằng công cụ đạo hàm Do đó, đồ thị hàm số trong thể chế I2 chủ yếu dùng để minh họa tính chất của hàm số (2) Trong “Nhận xét” có nói đến việc nhận xét yếu tố đối xứng của các đồ thị, tuy nhiên, noosphère lại không yêu cầu chứng minh

Bài 8: “Một số bài toán thường gặp về đồ thị”

SGV GT12 NC trang 80 nêu mục tiêu bài này như sau:

“Cách xác định giao điểm của hai đường cong (đồ thị của hàm số)

Khái niệm “hai đường cong tiếp xúc” và cách tìm tiếp điểm của chúng.”

Với mục tiêu trên SGK GT12 NC đã chia nội dung bài này thành hai phần là: giao điểm của hai đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong Trong mỗi phần có các ví dụ và hoạt động minh hoạ

cụ thể Điều mà chúng tôi quan tâm ở đây là trong phần bài tập mà SGK đưa ra, ngoài những dạng bài toán tương tự như các ví dụ đã nêu trong phần lý thuyết, có xuất hiện hai bài tập 61 và 67 Nội dung của bài tập như sau:

Chứng minh rằng với mọi   (0; )

v g

và tìm toạ độ tiếp điểm (() được gọi là parabol an toàn)

Bài 67 trang 58 (SGK): Một tạp chí được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn Chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, …) được cho bởi

C(x) = 0,0001x2 – 0,2x + 10000 C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng

10 a) Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí

20 Các khoảng thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu đồng nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí Giả

sử số cuốn in ra đều được bán hết

a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là L(x) = – 0,0001x2 + 1,8x – 1000

b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?

c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó.”

Với hai bài toán này, thì kiểu nhiệm vụ Tbttt có cơ hội được xuất hiện một lần nữa với kỹ thuật giải tổng quát như sau:

61: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol, sau đó tìm toạ độ tiếp điểm

61: Sự tiếp xúc của hai đường cong

67: Tính tổng chi phí T(x), M(x) theo x Lập bảng biến thiên tìm giá trị nhỏ nhất của M(x) Sau đó kết luận về số lượng tạp chí

Tiếp theo tìm tổng số tiền thu được khi bán x cuốn  L(x)

Đối với câu 2b đưa L(x) > 0 về bất phương trình bậc hai Giải bất phương trình bậc hai  kết luận

Đối với câu 2c: Lập bảng biến thiên tìm giá trị nhỏ nhất của L(x) trên (0; +)  kết luận

67: cực trị, bảng biến thiên, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Một số kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật có mặt trong sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao với số lượng bài tập được thống kê lại vào bảng như sau:

Vấn đề dạy học mô hình hoá hàm số được đề cập thông qua các bài toán thực tế, nó thực sự được khai thác, phát triển, tham chiếu với năm bước của quá trình mô hình hoá bài toán thực tế, ta thấy

Bước 1: Những bài toán thực tế được đưa ra chỉ là những bài toán toán học hoặc phỏng thực tế nên bước 1 không có điều kiện xuất hiện

Bước 2: Việc chuyển từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học được thể hiện rõ: chọn ẩn, khai thác các mối quan hệ  bài toán toán học

Bước 3: Việc giải bài toán toán học (ví dụ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) được chú trọng đến cả chi tiết tiến trình lập bảng biến thiên lẫn kết quả Trong khi chỉ cần kết quả đúng để cung cấp cho bài toán phỏng thực tế

Bước 4: Khâu chuyển từ kết quả của bài toán toán học sang bài toán phỏng thực tế được thao tác cụ thể; bằng cách nhìn lại các thao tác ở bước 2

Bước 5: Không có điều kiện xuất hiện

Do đã đủ công cụ để khảo sát hàm số và đồ thị dùng để minh họa các tính chất của hàm số nên các bài tập mang tính chất thực tế có số lượng tăng lên đáng kể Từ đó cho thấy dạy học mô hình hoá hàm số được I2 quan tâm sâu sắc Hơn thế nữa, các bài toán về mô hình hóa hàm số bằng bài toán diện tích chiếm số lượng lớn hơn Chứng tỏ, thể chế I2 nhấn mạnh vai trò quan trọng của loại bài toán này trong việc ứng dụng hàm số

Bảng 1.5 Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong thể chế I1 và I2

 Ở CT lớp 10, SGK chỉ yêu cầu HS học hàm số bậc nhất, bậc hai, những loại hàm số này cũng mang tính chất nhắc lại ở cấp TH cơ sở Hai loại hàm số này, một mặt khá đơn giản, mặt khác HS chưa đủ công cụ để khảo sát sự biến thiên nên giải quyết một bài toán phỏng thực tế (đưa BTPTT BTTHkết luận BTPTT) mang tính hình thức

 Ở CT lớp 12, HS được học nhiều dạng hàm số hơn, thao tác đầy đủ các bước khi khảo sát

sự biến thiên của hàm số Ngoài ra, dạng bài toán phỏng thực tế phong phú hơn, giải quyết bài toán thỏa đáng hơn

Từ đó, chúng tôi rút ra một giả thiết nghiên cứu như sau:

H1: Liên quan đến kiểu nhiệm vụ “Tbttt : Bài toán thực tế”, tồn tại ba quy tắc hợp đồng sau:

Quy tắc R1: HS không có nhiệm vụ chọn biến khi giải bài toán thực tế

Quy tắc R2: Trong bài toán thực tế, biến độc lập luôn được biểu diễn theo trục nằm ngang, biến phụ thuộc được biểu diễn theo trục thẳng đứng

Quy tắc R3: Khi bài toán hình học đặt ra trong chương trình Giải tích thì học sinh sẽ giải bài toán đó bằng công cụ Giải tích

H2: Kỹ thuật “Dùng bảng biến thiên kết luận cực trị” không thực sự sẵn có ở HS khi giải bài toán thực tế

CHƯƠNG II: THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT

Quy tắc R1: HS không có nhiệm vụ chọn biến khi giải bài toán thực tế

Quy tắc R3: Khi bài toán hình học đặt ra trong chương trình Giải tích thì học sinh sẽ giải bài toán đó bằng công cụ Giải tích

H2: Kỹ thuật “Dùng bảng biến thiên kết luận cực trị” không thực sự sẵn có ở HS khi giải bài toán thực tế

2.2 Đối tượng thực nghiệm thứ 1

Để tiến hành nghiên cứu, chúng tôi tổ chức trên đối tượng học sinh khối 12, sau khi học xong chương «Ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số» vì dạy học mô hình hóa thông qua bài toán tính diện tích được nghiên cứu nhiều thông qua 10/25 bài toán phỏng thực tế 2.3 Nội dung thực nghiệm thứ 1

2.3.1 Bài toán thực nghiệm thứ 1:

Bài toán: Cho một tam giác đều ABC cạnh a Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác Xác định

vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó

Yêu cầu: Hãy vẽ hình minh họa và giải bài toán trên

2.3.2 Phân tích bài toán:

Bài toán: là một bài toán viết bằng ngôn ngữ hình học, được đưa ra trong phần bài tập của SGK

GT12NC Chúng tôi muốn kiểm chứng có thực sự tồn tại quy tắc R1, R3 ở học sinh hay không Hình thức và thời điểm thông báo bài toán:

- Phát phiếu làm bài cho HS trong tiết “Ôn tập chương I” phần Giải tích

- Phát phiếu làm bài cho HS trong tiết “Bài tập thể tích khối tứ diện” phần Hình học

- Phát phiếu làm bài cho HS đang trong tiết sinh hoạt ngoại khóa

HS làm việc cá nhân trong 30 phút

Kiến thức liên quan:

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

- Công thức tính diện tích tam giác

- Định lý Thalet

- Hệ quả và ứng dụng bất đẳng thức Cô-si

- Các ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2.3.3 Phân tích a priori bài toán 1:

a.Biến didactic:

V: Hình dạng tam giác đặt ra:

- Nếu tam giác đều thì học sinh dễ dàng thiết lập biểu thức S(x): diện tích hình chữ nhật MNPQ theo biến x = BM Khi đó, học sinh sẽ tìm cực trị là dựa vào bảng biến thiên của S(x) Hoặc,

HS có thể giải bằng công cụ hình học, đại số

- Nếu tam giác bất kỳ thì việc chọn biến khó khăn hơn Lúc này học sinh sẽ giải bài toán theo chiến lược hình học cũng gặp khó khăn do không tìm được độ dài cạnh và số đo góc theo một giá trị nào

b Chiến lược giải:

b.1 Chiến lược giải tích:

* Sgiảitích1

- Nếu HS giải theo cách dùng bất đẳng thức Cô-Si khi có biểu thức hàm số thì khi chọn x =

BM suy ra S(x) = (a – 2x).x 3, HS gặp khó khăn khi phân tích về dạng tổng là hằng số Khi chọn x

a AH

2.3.4 Phân tích a posterriori thực nghiệm 1:

Thực nghiệm được tiến hành lúc 8 giờ, ngày 07/06/2010 cho 109 học sinh ở 3 lớp: 12A1 (41HS) trong tiết Giải tích; 12A2 (38HS) trong tiết Hình học; 12B1 (30HS) trong tiết sinh hoạt lớp

109 HS của ba lớp này đang tham gia học lớp nâng cao hè của của trường THPT Long Phú – Vĩnh Long, sau khi các em học xong chủ đề “ứng dụng đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”

Hình thức thực nghiệm: chúng tôi phát cho học sinh phiếu học tập và giấy nháp, học sinh làm việc cá nhân trong 45 phút Thực nghiệm diễn ra dưới sự quan sát của giáo viên bộ môn, chủ nhiệm

Hình học (38HS)

Sinh hoạt lớp (30HS)

Tổng cộng (109 HS)

không giải

(SB: số bài; TL: tỉ lệ; CKQ: giải theo Shìnhhọc chưa có kết quả; KQ: có đáp số đúng)

Từ bảng thống kê chúng tôi thấy rằng:

1) Phiếu làm bài của học sinh trong tiết Giải tích như sau:

So với các chiến lược khác, Sgiảitích chiếm tỉ lệ cao nhất, mặc dù bài toán được thiết kế bằng ngôn ngữ hình học, khá thuận lợi cho Shìnhhoc nhưng thực tế cho thấy học sinh vận dụng kiến thức hình học để giải chiếm 19,5% thấp hơn nhiều so với tỉ lệ học sinh sử dụng kiến thức giải tích để giải (56,1%) Để lý giải cho hiện tượng này chúng tôi xin trích dẫn một bài làm của HS như sau:

Rõ ràng A115

đã giải bằng phương pháp vận dụng các kiến thức hình học nhưng thất bại Các em chuyển sang cách giải khác là chọn biến x là một cạnh nào đó có liên quan đến điểm M Từ đó cho thấy HS lớp này biết cách chuyển bài toán từ phạm vi Hình học sang phạm vi Đại số - Giải tích để giải Ngoài hai bài giải trích dẫn trên, còn 15 bài giải khác, chúng tôi quan sát giấy nháp của 15 học sinh này,

thấy các em cũng suy nghĩ giải theo hướng hình học nhưng trong giấy bài làm thì các em làm theo

Sgiảitích

Vấn đề chọn biến, SGK mong muốn học sinh sẽ đặt BM = x nhưng A115 giải bài toán bằng cách chọn biến là MN = x, có một số học sinh sẽ chọn biến là QM = x và các học sinh này giải bài toán khá thuận lợi ít gặp khó khăn Từ đó cho thấy các bài toán thực tế liên quan đến mô hình hóa hàm số trong SGK, việc chọn biến đã được đề bài cho sẵn hoặc định hướng sẵn Dù học sinh chọn biến là MN, QM, PM, MC, thì việc tìm ra vị trí điểm M khá dễ dàng Điều này cho thấy sự tác động mạnh mẽ của quy tắc hợp đồng của R1 Nói cách khác, R1 đã được hợp thức hóa

2) Phiếu làm bài của học sinh trong tiết Hình học như sau:

Bài toán được phát biểu bằng “ngôn ngữ hình học” được đặt trong “môi trường hình học” được HS giải theo chiến lược hình học chiếm tỉ lệ cao (63,2%) so với chiến lược giải tích (15,7%) Theo quan sát của chúng tôi, các em tập trung suy nghĩ và giải bài toán bằng các kiến thức hình học nhưng số lượng HS ra được kết quả đúng chỉ có 9/24HS giải theo Shìnhhoc Trong 9 bài giải này có 4 bài là các em dự đoán trước như bài giải của B217:

Từ bài giải của B217, dễ dàng nhận thấy rằng, lời giải chưa hoàn toàn thuyết phục, mặc dù kết quả đúng B217 chưa làm rõ được nội dung: “ Q, P lần lượt là trung điểm của AB, AC” Ngoài

ra, có một số HS khác áp dụng định lý Thalet lập tỉ lệ tương tự như chiến lược Shìnhhọc mà chúng tôi đưa ra Tóm lại, đa số HS khi giải bài toán này là không suy nghĩ đến vấn đề chuyển bài toán hình học này sang phạm vi Đại số - Giải tích để giải

Ta thử quan sát bài giải của một HS theo chiến lược giải tích như sau: