bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến

Khó khăn nảy sinh trong việc nghiên cứu về PTVPH nằm trong đặc trưng không cục bộ của phương trình và chúng xuất hiện ngay cả trong phương trình tuyến tính.Ví dụ, câu hỏi về tính giải đư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN VĂN TIẾN

BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN

Chuyên ngành : Toán Giải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

THƯ

VIỆN

Toán-Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơn

Xin chân thành cảm ơn

TP Hồ Chí Minh tháng 12 năm 2010

C a b R Không gian Banach các hàm liên tục v a b: , R

C a b D Không gian các hàm liên tục v a b: , D

thoả điều kiện Carathèodory, nghĩa là :

 Hàm f t , : AB liên tục với mỗi t a b ,

 Với mỗi r0 tồn tại q rL a b R sao cho   , ; 

v C a b R thoả mãn điều kiện :v t 0,ta b1, 1

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân hàm (PTVPH) xuất hiện vào thế kỉ 18 với vai trò như những công thức toán học trong các bài toán vật lí và hình học Ta có thể tìm thấy chúng trong những công trình của Ơle và Condorcet Tuy nhiên, cho đến cuối thế kỉ 19, PTVPH chỉ được nghiên cứu về những ứng dụng cá biệt và chưa được nghiên cứu một cách hệ thống

Chỉ trong các công trình của E.Schmidt , F.Shurer và E.Hilb ở những năm đầu thế kỉ 20, những cố gắng đầu tiên về một nghiên cứu có tính hệ thống về những phương trình đặc biệt với đối

số chậm xuất hiện Tầm quan trọng trong dạng PTVPH này đã nảy sinh trong thập niên 30 đặc biệt

là những ứng dụng mở rộng trong cơ học, sinh học và kinh tế Tại thời điểm này, những cơ sở của lý thuyết định tính về phương trình đối số chậm và phương trình vi tích phân được đặt ra trong công trình của Myshkis và R.Bellman Họ và một số nhà toán học khác theo hướng này đã được công nhận trong việc xây dựng lí thuyết định tính mở rộng của PTVPH tồn tại cho đến bây giờ Lý thuyết đó không chỉ quan trọng trong ứng dụng mà còn ảnh hưởng rộng rãi đến nhiều lãnh vực của toán học thuần tuý

Trong thập kỉ 70, người ta chú ý nhiều đến việc xây dựng lí thuyết về bài toán biên của PTVPH Nhiều phương pháp khác nhau đã được đưa ra sử dụng trong vấn đề này Thí dụ: lý thuyết toán tử Fredholm, phương pháp tham số nhỏ, phương pháp topo, v v

Từ quan điểm đương thời, có thể nói rằng phương pháp giải tích hàm và phương pháp topo là những phương pháp hữu dụng nhất Qua những ứng dụng có tính hệ thống của các phương pháp này, cơ sở lý thuyết về bài toán biên cho một lớp rộng PTVPH đã được xây dựng

Tuy nhiên cho đến tận bây giờ, thực tế bài toán biên cho PTVPH được nghiên cứu chỉ với những thành công bộ phận Khó khăn nảy sinh trong việc nghiên cứu về PTVPH nằm trong đặc trưng không cục bộ của phương trình và chúng xuất hiện ngay cả trong phương trình tuyến tính.Ví

dụ, câu hỏi về tính giải được của bài toán biên đơn giản nhất (bài toán giá trị đầu):

'

trở nên tầm thường như với phương trình vi phân thông thường, có nghĩa là trong trường hợp t t, t [a;b]

Bởi vậy ta cũng không ngạc nhiên khi biết rằng trong những tài liệu chuyên khảo không có nhiều các thông tin chi tiết về tính giải được của bài toán giá trị đầu

thường), thì một cách trực giác ta trông đợi bài toán đã cho có nghiệm duy nhất Trong những trường hợp đơn giản, hiệu lực của các giả thiết có thể thử lại trực tiếp Với những bài toán phức tạp

hơn thì phương pháp toàn cục không cung cấp đủ độ chính xác, do đó tự nhiên ta cần tìm một kĩ thuật chính xác hơn để nghiên cứu về PTVPH phát sinh

Về phần PTVP thường, một lý thuyết hoàn toàn hiệu quả đã được xây dựng cho bài toán giá trị biên, sử dụng những phương pháp mà cơ sở của nó nằm trong giải tích toán học Việc này tương ứng với những nỗ lực để điều chỉnh các phương pháp của giải tích toán học trong việc nghiên cứu PTVPH Trong một vài năm sau cùng những nỗ lực này đã thành công trong trường hợp một vài bài toán biên của PTVPH Đặc biệt trong các công trình của I.Kiguradze và P.Buza, những điều kiện phức tạp về tính giải được và giải được duy nhất của một lớp rộng thật sự bài toán biên cho PTVPH

cả tuyến tính lẫn phi tuyến đã được tìm ra

Được truyền cảm hứng từ những kết quả này tôi quyết định sử dụng phương pháp giải tích toán học và các nghiên cứu kĩ thuật về bài toán biên của PTVP thông thường với những điều chỉnh phù hợp cho PTVPH Phần lớn phương pháp là đánh giá tiên nghiệm và kĩ thuật về bất đẳng thức vi phân

hàm bậc nhất phi tuyến Bài toán có dạng như sau:

Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm phi tuyến:

 a b và thỏa mãn điều kiện biên , u a u b h u 

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Chúng ta xây dựng điều kiện cần và đủ để một toán tử tuyến tính và bị chặn mạnh

 thuộc vào lớp V ab( , ) 

Chương 2 Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương 2 chúng ta xây dựng các điều kiện đủ để bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến có nghiệm và có duy nhất nghiệm

Chương 3 Trong chương 3 chúng ta xây dựng các tính chất hiệu quả để bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến có nghiệm và có duy nhất nghiệm Trong phần cuối của chương, chúng ta áp dụng các kết quả của bài toán biên dạng tuần hoàn cho

phương trình vi phân hàm phi tuyến để nghiên cứu các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân đối số lệch

CHƯƠNG 1:

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN

Trong luận văn này, chúng ta nghiên cứu tính giải được của bài toán biên dạng tuần hoàn cho

phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến Trước hết ta giới thiệu các bất đẳng thức vi phân

1.1 BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC

trên [a,b] và thỏa mãn điều kiện biên (1.2)

Lưu ý. Các đẳng thức và bất đẳng thức của các hàm khả tích đều hiểu là hầu khắp nơi trên [a,b]

Cùng với bài toán (1.1) , (1.2) ta xét bài toán thuần nhất tương ứng

Từ các kết quả của I Kiguradze, B Puza trong [1] ta có định lí sau:

Định lý 1.1 Bài toán (1.1) , (1.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán thuần nhất tương ứng

Chú ý 1.2 Theo định lý Riesz-Schauder thì nếu bài toán thuần nhất (1.10), (1.20) không có nghiệm

tầm thường thì tồn tại q L([a,b]; ),c   sao cho bài toán (1.1), (1.2) không có nghiệm

(i) Bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

(ii) Với mọi q L a b R c R ([ , ]; ),  thỏa mãn

thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm không âm

Chú ý 1.4 Theo định nghĩa, toán tử V ab( , )  nếu và chỉ nếu với mọi u v C a b, [ , ];thoả

Chú ý 1.5. Theo Định lý 1.1, rõ ràng nếu V ab( , )  thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất

với mỗi c và q L([a,b]; ). 

Hơn nữa, nếu P ab và V ab( , )  thì   

Chứng minh

ab

P



 nên   u t L a b R  , ; 

Do đó ta suy ra ( )u t ( )( )u t q t( ) 0

tăng ngặt theo t hay u b u a  

Áp dụng Chú ý 1.4 với v t 0, q t 0 ta được ( ) 0u t  với t a b,

Do đó, bài toán (1.4) không có nghiệm không âm khác tầm thường

Điều kiện đủ : Giả sử bài toán (1.4) không có nghiệm không tầm thường không âm Ta chứng

Ta có:

Theo định nghĩa 1.3 ta có toán tử V ab( , ) 

Định lí 1.7 Giả sử    và P ab Khi đó toán tử V ab( , )  nếu và chỉ nếu tồn tại hàm số

Điều kiện cần: Giả sử tồn tại hàm số C a b[ , ];(0,)thoả mãn hai bất đẳng thức (1.5), (1.6)

Bước 1 Gọi u là một nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) với q L a b ([ , ];)và c  thoả mãn bất

Bước 2 Ta chứng minh bài toán thuần nhất (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Như vậy tồn tại tồn tại hàm số C a b[ , ];(0,)thoả mãn các bất đẳng thức

s ds thì V ab ,  Chú ý thêm rằng, nếu bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường và    1    

b a

s ds thì ta cũng có V ab , 

CHƯƠNG II:

CÁC BỔ ĐỀ VỀ TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN BẬC NHẤT

2.1 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN

Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm phi tuyến:

Chú ý: Các đẳng thức, bất đẳng thức với các hàm khả tích được hiểu là hầu khắp nơi trên  a b ,

Từ các kết quả trong tài liệu [2] ta có kết quả sau:

q s x ds x

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm

2.2 NHỮNG BỔ ĐỀ

Phần này ta xét một vài bổ đề về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) dựa

trên các kết quả của bài toán tuyến tính (1.1), (1.2)

Bổ đề 2.2. Giả sử 0L ab và bài toán thuần nhất

Khi đó, tồn tại một số r0 0 sao cho với mọi q L a b R   , ;  và với mọi c R

,ta có nghiệm v(t) của bài toán:

Do đó định lí được chứng minh

Bổ đề 2.3. Giả sử tồn tại   và toán tử 0  L ab sao cho bài toán thuần nhất 1 1 0 , 1 2 0có

nghiệm tầm thường và với mọi   0,1 , mọi u C a b R  , ;  là nghiệm của bài toán

q v t  t c v  hầu khắp nơi trên [a,b] 

Theo giả thiết bài toán thuần nhất tương ứng chỉ có nghiệm tầm thường nên bài toán (2.10) có

Đặt :C a b R  , ; C a b R là toán tử biến mỗi hàm   , ;  u C a b R thành nghiệm    , ;  v t của  

q s x ds x

Khi đó bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất 1 nghiệm

Chứng minh

Bổ đề 2.7 Giả sử 0    và giả sử tồn tại toán tử  0, 1P ab sao cho

* 0

11

L L

L L

kết hợp điều kiện (2.21) và bất đẳng thức (2.38) ta thu được các bất đẳng thức sau:

41

Dễ thấy nếu 6  b thì u t 0 khi6  t b và u 6 0

quả trên ta suy ra

L L

L L

41

4

L L

Bổ đề 2.8 Giả sử 0    và giả sử tồn tại toán tử  0, 1P ab sao cho

Khi đó tồn tại t t1, 2 a b sao cho , t1t và 2 u t 1 M, u t 2 m

Từ u t 0  u t 1  u t q t t ,  a b, và điều kiện  0, 1P ab ta chứng minh được:

* 1

 Nếu t1t2 lấy tích phân biểu thức (2.50) từ t1 đến t2 ta được:

* 1

* 1

* 1

* 1

111

sgnhay

L L

L L

Bởi các bất đẳng thức cuối và (2.49), từ (2.59) ta có:

L L

L L

L L

được thỏa mãn với mọi v B 1c  a b R, ; , trong đó q K a b   , R R là hàm không giảm theo ; 

biến thứ hai thỏa mãn b  

x a

bài toán thuần nhất nên u thỏa mãn (2.69),(2.70)

Từ đó ta có *

C L

Do (2.75) ta thấy trên u B 1 c  a b R, ;  bất đẳng thức (2.72) đúng với q F 0 

Do các điều kiện của bổ đề 2.10 đúng nên bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm Sau đây ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của bài toán

Kết hợp điều kiện  0, 1B ,  ta có u  Từ đó suy ra 0 u1 u2

Bổ đề 2.12 Giả sử    và tồn tại  0, 1P ab sao cho

CHƯƠNG 3:

CÁC TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ VỀ TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN DẠNG

TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN BẬC NHẤT

Ở chương 3, ta thiết lập những điều kiện cụ thể cho tính giải được và giải được duy nhất của bài

được thoả mãn Mục 3.1 nói về các định lý tồn tại nghiệm của bài toán; mục 3.2 nói về các định lý

duy nhất nghiệm của bài toán Mục 3.3 đề cập đến phương trình vi phân đối số lệch Mục 3.4 đưa ra

ví dụ nhằm chứng minh tính tối ưu của bất đẳng thức ở Định lí 3.1 Các định lý trong chương 3 chỉ

q s x ds x

Từ (3.1),(3.2) ta thấy các điều kiện của Bổ đề 2.7 được thỏa mãn Từ đó suy ra 1 

Vậy bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm

Chú ý 3.2 Giả sử 0    Đặt D là tập hợp các cặp số thực dương  x y,  R R thỏa mãn 

Khi đó, bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm

Kết hợp với các bất đẳng thức ở trên ta thấy các điều kiện của Bổ đề 2.10 được thỏa mãn Do đó bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm

Chứng minh

Từ điều kiện 0V ab , ,  1 V ab , ở trên theo Bổ đề 2.12 ta có  0, 1B ,  Điều này kết hợp với các bất đẳng thức còn lại ta suy ra các điều kiện của Bổ đề 2.11 được thỏa mãn Do

đó bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất

3.3 BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH

Trong mục này ta xét một trường hợp riêng của bài toán (2.1), (2.2) Đó là bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân đối số lệch

o 0 0 0

0

2 11

L

L L L

Kết hợp với (3.8), (3.9) ta thấy các điều kiện của định lý 3.1 được thỏa mãn Do đó, theo định lí 3.1

bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm Từ đó suy ra bài toán (3.5), (3.6) có ít nhất một nghiệm

Chú ý Bất đẳng thức nghiêm ngặt (3.8), (3.9) không thể thay thế bởi bất đẳng thức không ngặt

Chi tiết có thể xem mục Chú ý phần 3.4

Một cách tương tự như ở định lí 3.8 Từ (3.10),(3.11),(3.12) ta thấy các điều kiện của định lí 3.3

đúng Do đó, theo định lí 3.3 bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm.hay bài toán (3.5), (3.6) có

ít nhất một nghiệm

3.3.2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM

nghiệm duy nhất Từ đó bài toán (3.5), (3.6) có nghiệm duy nhất

nghiệm duy nhất Từ đó bài toán (3.5), (3.6) có nghiệm duy nhất

0 0

0 0

x

bởi (3.15) không có nghiệm, khi đó điều kiện

u u

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Mục đích của luận văn là nghiên cứu các điều kiện đủ cho việc và tồn tại nghiệm của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến (2.1), (2.2) Nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Chúng ta xây dựng điều kiện cần và đủ để một toán tử tuyến tính và bị chặn mạnh

Chương 3 Trong chương 3, dựa trên các kết quả của chương 1 và chương 2 chúng ta xây dựng các tính chất hiệu quả để bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm và có duy nhất nghiệm Kết quả chính

nó do thời gian có hạn

Chính vì vậy thông qua các kết quả đã đạt được trong luận văn này, tác giả mong muốn được

mở rộng và tiếp tục nghiên cứu các vấn đề nêu trên Tuy nhiên, với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi từ sự góp ý và chỉ bảo của Quý Thầy, Cô trong và ngoài Hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Haim Brezis (2002), Giải tích hàm lý thuyết và ứng dụng, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí

Minh

Tiếng Anh

[2] I Kiguradze and B Puza (1997), “On boundary value problems for systems of linear functional

differential equations”, Czechoslovak Math.J, 47(2), pp.341 – 373

[3] I Kiguradze and B Puza (1997), “Conti-Opial type theorems for systems of functional

differential equations”, Differentsial’nye Uravneniya, 33(2), pp.185 – 194

[4] I Kiguradze and B Puza (1997), “On periodic solutions of systems of linear functional

differential equations”, Arch Math J, 33(3), pp.197 – 212

[5] I Kiguradze and B Puza (1998), “On the solvability of nonlinear boundary value problems for

functional differential equations”, Georgian Math J , 5(3), pp.251 – 262

[6] R Hakl, A Lomatidze and J Sremr (2002), Some boundary value problems for first order

scalar functional differential equations, Masaryk University Brno, Czech Republic