nghiệm không âm của phương trình vi phân hàm bậc nhất

M Ở ĐẦU Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân thường PTVPT và phương trình vi phân hàm PTVPH ra đời từ thế kỉ 18, song đến nay vẫn được nhiều người quan tâm nhờ các ứng dụng c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-o0o -

Lê Thị Kim Anh

NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-o0o -

Lê Thị Kim Anh

NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

HÀM BẬC NHẤT

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn lời cám ơn sâu sắc về

sự tận tình giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn cũng như

trong học tập

Xin trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô thuộc khoa Toán của trường Đại học Sư phạm

thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt những năm học tập

Xin trân trọng cám ơn Phòng Sau Đại Học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học tập và thực hiện luận văn này

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình tôi, là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt và đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và hoàn thành luận văn này

Lê Thị Kim Anh

M ỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 4

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 6

MỞ ĐẦU 7

CHƯƠNG 1 VỀ CÁC TẬP Sab(a) VÀ Sab(b) 9

1.1 Giới thiệu bài toán 9

1.2 Kết quả chuẩn bị 9

1.2.1 Định lí 9

1.2.2 Định nghĩa 11

1.2.3 Chú ý 11

1.2.4 Chú ý 11

1.2.5 Chú ý 12

1.3 Các kết quả chính 14

1.3.1 Định lí 14

1.3.2 Hệ quả 15

1.3.3 Chú ý 20

1.3.4 Định lí 25

1.3.5 Định lí 27

1.3.6 Hệ quả 28

1.3.7 Chú ý 28

1.3.8 Định lí 30

1.3.9 Các chú ý 35

1.3.10 Định lí 35

1.3.11 Hệ quả 35

1.3.12 Định lí 39

1.3.13 Định lí 39

1.3.14 Hệ quả 40

1.3.15 Định lí 41

1.3.16 Chú ý 41

1.3.17 Phương trình vi phân hàm với các đối số lệch 41

CHƯƠNG II CÁC TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ 56

2.1 Kết quả chuẩn bị 56

2.1.1 Định nghĩa 56

2.1.2 Chú ý 56

2.2 Các kết quả chính 56

2.2.1 Các mệnh đề 56

2.2.2 Bổ đề 59

2.2.3 Định lý 62

2.2.4 Định lý 63

2.2.5 Hệ quả 64

2.2.6 Định lý 65

2.2.7 Định lý 66

2.2.8 Hệ quả 66

2.2.9 Phương trình vi phân với các đối số lệch 66

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

Toán tử t0 – Volterra, với t0∈[ ]a b,

Tập các toán tử ∈ L ab sao cho với bất kỳ a1∈[ ]a t, 0 ,

M Ở ĐẦU

Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân thường (PTVPT) và phương trình

vi phân hàm (PTVPH) ra đời từ thế kỉ 18, song đến nay vẫn được nhiều người quan tâm nhờ các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp, …

Từ quan điểm đương thời, có thể nói rằng phương pháp giải tích hàm và phương pháp topo là những phương pháp hữu dụng nhất Qua những ứng dụng có tính hệ thống của các phương pháp này, cơ sở lý thuyết về bài toán biên cho một lớp rộng PTVPH đã được xây dựng

Tuy nhiên cho đến tận bây giờ, thực tế bài toán biên cho PTVPH được nghiên cứu với những kết quả chưa có tính hệ thống Việc nghiên cứu về PTVPH có hệ thống luôn gặp nhiều khó khăn ngay cả trong phương trình tuyến tính.Ví dụ, câu hỏi về tính giải được của bài toán biên đơn giản nhất (bài toán giá trị đầu):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'

u t =p t u τ t +q t , u a = 0,(với p,q :[a;b]→Rlà hàm khả tích Lebesgue và :[a;b] [a;b]τ → là hàm đo được), không bao giờ trở nên tầm thường như với phương trình vi phân thông thường, có nghĩa là trong trường hợpτ( )t =t, t∈[a; b]

Về phần PTVP thường, một vài kết quả đủ mạnh đã được xây dựng cho bài toán giá trị biên, sử dụng những phương pháp mà cơ sở của nó nằm trong giải tích toán học hiện đại Việc này thể hiện những nỗ lực để điều chỉnh các phương pháp của giải tích toán học trong việc nghiên cứu PTVPH Những năm gần đây nỗ lực này đã thành công trong trường hợp một vài bài toán biên của PTVPH Đặc biệt trong các công trình của I.Kiguradze, P.Buza, R.Hakl… những điều kiện phức tạp về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một lớp rộng bài toán biên cho PTVPH cả tuyến tính lẫn phi tuyến đã được tìm ra

Chính vì những kết quả nhận được trong các nghiên cứu này tôi quyết định sử dụng phương pháp giải tích toán học và các nghiên cứu về bài toán biên của PTVP với những điều chỉnh phù hợp cho PTVPH Phần lớn phương pháp được sử dụng là áp dụng các kĩ thuật về bất đẳng thức vi phân

Trong luận văn này tôi nghiên cứu về vấn đề tồn tại nghiệm không âm của bài toán biên cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính Bài toán như sau:

Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm không âm u của phương trình :

Luận văn gồm 2 chương:

Chương I: Nội dung chính của chương 1 là xây dựng các điều kiện cần và đủ để một toán tử tuyến tính ∈ L ab thuộc tập Sab(a) (hoặc Sab(b)) Trong phần cuối của chương ta áp

dụng các kết quả ở trên cho phương trình vi phân hàm với các đối số lệch

Chương II: Nội dung chính của chương 2 là xây dựng các tiêu chuẩn hiệu quả cho các điều kiện cần và đủ ở chương 1 để một toán tử ∈ L ab thuộc tập S ab( )a (hoặc S ab( )b )

CHƯƠNG 1

VỀ CÁC TẬP S ab (a) VÀ S ab (b) 1.1 Giới thiệu bài toán

Xét bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm không âm u của phương trình

u t′( ) ( )( ) ( )= u t +q t (1.1) với điều kiện biên

Chứng minh

Đặt B=C a b( [ ], ,  là không gian Banach chứa các phần tử v = (u, c)× 0 ), trong đó

• f là toán tử compact Thật vậy :

Ta chứng minh f(M) là tập compact tương đối nếu M là một tập bị chặn trong B

Suy ra f(M) đồng liên tục đều

Theo định lí Ascoli-Arzela f là toán tử compact

• Áp dụng luân phiên Fredholm cho phương trình các toán tử, phương trình

( )

v= f v + có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình h v= f v( ) chỉ có nghiệm tầm thường, tương đương với bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

1.2.2 Định nghĩa

Theo định lí 1.2.1 ta thấy nếu ∈S ab( )a (hoặc ∈S ab( )b ) thì bài toán (1.1), (1.2) (hoặc (1.1), (1.3)) có nghiệm duy nhất với mọi c∈  và + q∈L a b( [ ], , (hoặc mọi c+) ∈  và −

nghiệm duy nhất, không âm

• Điều kiện cần: Giả sử ∈S ab( )a ta chứng minh rằng với mọi u v, ,∈ C a b( [ ], thỏa )

ba bất đẳng thức (i), (ii), (iii) thì u t( ) ( )≤v t Thật vậy:

Đặt w t( )=v t( )−u t( ) Theo (i), (ii), (iii) ta có

( ) ( )( ), [ ],

w t′ ≥ w t t∈ a b và w a( )≥ 0Khi đó dễ dàng thấy ( )w t là nghiệm của bài toán sau:

 Bước 1: Chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất

Giả sử u1, u 2 là hai nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)

Đặt u=u1, v= , thì , u2 u v thỏa ba bất đẳng thức (i), (ii), (iii) suy ra u t1( )≤u t2( )

Đặt u=u2, v= , thì , u1 u v thỏa ba bất đẳng thức (i), (ii), (iii) suy ra u t2( )≤u t1( )

Do đó u t1( )=u t2( ) Vậy bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất

 Bước 2: Giả sử u 0 là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2), ta chứng minh

Chứng minh

• Điều kiện cần: Giả sử ∈S ab( )a , ta chứng minh bài toán (1.5) không có nghiệm không

âm khác tầm thường Thật vậy:

Gọi u là nghiệm của bài toán (1.5)

Áp dụng Chú ý 1.2.4 với v t( )≡0, q t( )≡0 ta được ( ) 0u t ≤ với t∈[ ]a b ,

• Điều kiện đủ: Giả sử bài toán (1.5) không có nghiệm không âm khác tầm thường Ta chứng minh ∈S ab( )a theo định nghĩa 1.2.2 Thật vậy:

 Bước 1: Gọi u là nghi0 ệm của bài toán thuần nhất (1.10), (1.20) Ta chứng minh

Mặt khác từ điều kiện biên u a( )= ta có c v a( )= hay 0 [ ]v −( )a = 0

Như vậy ta thấy [ ]v − là nghiệm của bài toán (1.5)

 Bước 1: Ta chứng minh toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Giả sử u là nghiệm không tầm thường của bài toán (1.10), (1.20) Do ∈P ab và từ (1.10), (1.20) ta có

γ là hàm liên tục nên tồn tại t*∈(a b, ] sao cho ( )

Đặt v t( )=λ γ* ( )t − u t( ), t∈[ ]a b, Rõ ràng:

( ) 0, [ ], , ( ) * ( ) 0, ( )* 0

v t ≥ t∈ a b v a =λ γ a > v t = (1.9)

Từ (1.7), (1.8) và (1.9) ta có v t′( )≥λ γ*( )( )t −( )u ( ) ( )( )t = v t ≥0, t∈[ ]a b, mâu thuẫn với (1.9) Vì vậy bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

 Bước 2: Giả sử u 0 là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) với c∈  và +

11

• Điều kiện α∈( )0,1 trong Hệ quả 1.3.2b) là nghiêm ngặt, ta không thể thay thế bởi điều kiện α∈(0,1] Thật vậy:

Ví dụ 1:

Giả sử α = 1

Lấy p∈L a b( [ ], , thỏa +)

toán (1.10), (1.20) Vì vậy theo Định nghĩa 1.2.2 ∉S ab( )a

• Hơn nữa, nếu α = + với 1 ε ε > 0 nhỏ tùy ý thì Hệ quả 1.3.2b) cũng không đúng Thật vậy:

Khi đó bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường, thật vậy:

nên bất đẳng thức (1.15) cũng được thỏa mãn

Tuy nhiên ta thấy hàm số ( ) ( ) , ,[ ]

t a

toán (1.10), (1.20) Vì vậy theo Định nghĩa 1.2.2 ∉S ab( )a

• Hơn nữa, bất đẳng thức (1.14) trong Hệ quả 1.3.2c) cũng không thể thay thế bởi đẳng thức ( )( )1 exp b ( )( )1 1

Theo ví dụ 3 ta có bất đẳng thức (1.15) cũng được thỏa mãn và do đó với toán tử  được định nghĩa như vậy thì bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Tuy nhiên ( ) 1 ( )

1

t a

Giả sử u là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) với q∈L a b( [ ], , và c+) ∈  Ta cần chứng +

minh

( ) 0,

+ Nếu c= và 0 q≡/ 0 thì u không thể không dương trên [ ]a b, , thật vậy:

Giả sử u t( )≤ với 0, t∈[ ]a b, thì do − ∈ P ab nên ( )( )u t = − −( )( )u t >0 suy ra

( ) ( )( ) ( ) 0

u t′ = u t +q t > , và do u a( )= ta có 0 u t( )≥ với 0, t∈[ ]a b, (mâu thuẫn)

Vậy bất kỳ trường hợp nào ta cũng có max{u t( ):t∈[ ]a b, }> 0

Giả sử (1.23) không đúng Khi đó tồn tại t0∈( )a b, sao cho

Tương tự như trên, vì  là toán tử a – Volterra, − ∈ P ab, max{u t( ):t∈[ ]a t, 0 }> , và 0

0< < +∞ nên λ tồn tại t1∈[ ]a t, 0 sao cho v t( )1 = 0 (1.25) Điều này rõ ràng là

Nhưng do (1.21) và (1.24) dẫn đến mâu thuẫn 0<v t( )0 ≤ 0

Vậy u t( )≥ với 0, t∈[ ]a b, Suy ra ∈S ab( )a

1.3.5 Định lí

( )( )1 1

b a

Giả sử u là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) với q∈L a b( [ ], , và c+) ∈  Ta cần chứng +

minh u t( )≥ với 0, ∀ ∈t [ ]a b, Thật vậy:

Giả sử ngược lại là tồn tại t*∈(a b, ]thỏa

Lấy tích phân hai vế của (1.1) từ *

t đến t*, kết hợp với (1.27), (1.29), (1.30), giả thiết

Giả sử u là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) với q∈L a b( [ ], , và c+) ∈  Ta cần chứng +

minh u t( )≥ với 0, ∀ ∈t [ ]a b, Thật vậy:

*

* 0

Đặt

( ) ( )exp ( )( )1

t a

 ∫ , t∈[ ]a b, (1.38) Thì w a( )= , và từ (1.35) ta suy ra c

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0( )

Dễ dàng thấy rằng − ∈ P ab,  là một toán tử a – Volterra Thật vậy:

+ Do − ∈ P ab,  là toán tử a - Volterra nên lấy v∈C a b( [ ], , thì +)

+ Do  là toán tử a - Volterra nên  là một toán tử a – Volterra

Suy ra ∈ −P ab,  là toán tử a-Vollterra

với

( )( ) exp ( )( )1 ( )( )

t a

, ,

0, ,

t a

t b

∫ Hiển nhiên, vì  là toán tử a – Volterra, nên hàm

( ) 1 ( ) , [ ],

t

a

là nghiệm duy nhất của bài toán u t′( ) ( )( ) ( )= u t , 1u a = Mặt khác, u b( )= − < Vì ε 0vậy, ∉S ab( )a

• Ví dụ 2 cũng cho ta thấy điều kiện (1.31) trong Hệ quả 1.3.6 cũng không thể thay thế bởi điều kiện ( )( )1 exp ( )( )1 1

Để chứng minh ∈S ab( )a ta cần chứng minh nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) không

âm và bài toán thuần nhất (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

• Bước 1: Chứng minh nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) không âm

Giả sử u là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) với q∈L a b( [ ], , , c+) ∈  và v là nghiệm +

của bài toán

Từ (1.43) suy ra u t( )≥ với 0, ∀ ∈t [ ]a b,

• Bước 2: Chứng minh bài toán thuần nhất (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường Thật

vậy, giả sử u là nghiệm của bài toán (1.10), (1.20) Vì − cũng là nghiệm của (1.1u 0), (1.20) nên cùng với kết quả trên ta có:

• Giả thiết 0∈S ab( )a ,− ∈1 S ab( )a trong Định lí 1.3.8 không thể thay thế bởi giả thiết

(1−ε)0∈S ab( )a ,− ∈1 S ab( )a với ε > tùy ý0 Thật vậy:

( ) ( )( ) ( ) ( ( )( ) ( )( ) )

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )

b b a a b a

Suy ra bài toán u t′( ) ( )( ) ( )= u t , 1u a = với  = 0− có nghiệm duy nhất là u 1

Mặt khác, tích phân hai vế u t′( ) ( )( )=  u t từ a tới b ta có :

( ) ( )( ) ( ) ( ( )( ) ( )( ) )

a b

a

εε

∫

∫

nghiệm tầm thường Nên bài toán u t′( ) ( )( ) ( )= u t , 1u a = có nghiệm duy nhất là u

Mặt khác, tích phân hai vế u t′( ) ( )( )=  u t từ a tới b ta có:

( ) ( )( ) ( ) ( ( )( ) ( )( ) )

a b

a b

a b a

và ϕ là một thu hẹp của toán tử ψ trong không gian C a b( [ ], , )

Nghĩa là, nếu u∈ C a b( [ ], ; thỏa bất đẳng thức )

( ) ( )( ), ,[ ]

Hơn nữa, nếu v∈ C a b( [ ], , thỏa bất đẳng thức (1.46) thì hàm ) u t( )=ϕ( )( )v t , ,t∈[ ]a b

thỏa bất đẳng thức (1.45) và u a( )= thì 0 v b( )= nên theo Chú ý 1.2.5 ta có 0

b) T ồn tại một số nguyên không âm k, một số tự nhiên m>k, và một số thực α∈( )0,1 sao cho

Vậy  là toán tử b – Volterra

Tương tự ta cũng có nếu  là toán tử b – Volterra thì  là toán tử a – Volterra

a) Vì  là toán tử b – Volterra nên theo chứng minh trên  là toán tử a – Volterra

Mặt khác từ (1.47) ta có − ∈ P ab thì ∈P ab



Do đó từ Hệ quả 1.3.2 suy ra ∈S ab( )a

Vậy theo Chú ý 1.3.9.2 ∈S ( )b

( )( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

11

Vì ∈P ab,  là toán tử b – Volterra nên ˆ− ∈ P ab và ˆ là toán tử a – Volterra

Mặt khác, theo giả thiết ta có :

Nên ˆ− ∈ P ab, ˆ là toán tử a – Volterra và

và ∈P ab,  là toán tử b – Volterra thì ˆ− ∈ P ab, ˆ là toán tử a – Volterra

Mặt khác khi đó giả thiết ( )( ) ( )( )

1.3.17 P hương trình vi phân hàm với các đối số lệch

Áp dụng các Định lí 1.3.1 - 1.3.15 cho phương trình vi phân với các đối số lệch ta có kết quả sau

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )( ) [ ]

0 0

0

11

p s ds

τ

δ

λ εδ

1.3.17.2 Chú ý

• Điều kiện α∈( )0,1 trong Định lí 1.3.17.1a) là nghiêm ngặt, định lí sẽ không còn đúng khi α = hay 1 α = + 1 ε với ε > 0 nhỏ tùy ý Để thấy được điều này ta có thể xem các ví dụ

1 và ví dụ 2 ở Chú ý 1.3.3 với  là toán tử được định nghĩa ( )( )v t = p t v( ) ( )τ( )t

• Bất đẳng thức (1.55) trong Định lí 1.3.17.1b) không thể thay thế bởi đẳng thức

( ) ( ) ( ) ( ) exp bp( ) 1

s t

này ta có thể xem các ví dụ 3 và ví dụ 4 ở Chú ý 1.3.3 với ,   là toán tử được định nghĩa

0 0

0

11

x

b a

x x

g s ds

δ

η εδ

hoặc (1.62) hoặc (1.63) trong Định lí 1.3.17.3 Thì toán tử  được định nghĩa

Từ giả thiết và theo Định lí 1.3.17.1 ta có 0∈S ab( )a

Từ giả thiết và theo Định lí 1.3.17.3 ta có − ∈1 S ab( )a

t huộc tập S ab( )b

Chứng minh

Định lí này được suy ra từ Định lí 1.3.17.5 và Chú ý 1.3.9.2

CHƯƠNG II CÁC TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ

Trong chương 2 này chúng ta sẽ xét các tiêu chuẩn hiệu quả cho các điều kiện cần và đủ ở chương 1 để một toán tử ∈ L ab thuộc tập S ab( )a (hoặc S ab( )b )

• Giả sử ∈P abSab theo Định nghĩa 2.1.1 phương trình (0.10) có một nghiệm dương γ

Khi đó theo Định lí 1.3.1 suy ra ∈S ab( )a Vì vậy P abSab ⊆P ab S ab( )a