tuan-5

Ta thiết lập được biến ngẫu nhiên một chiều vX,Y.

KIỂM TRA 10’

(chọn một trong hai câu sau)

1) Cho (X,Y) là bi n ng u nhiên hai chi u có hàm m t đ là ế ẫ ề ậ ộ

f(x,y) = c(x + y) v i 0< ớ x <3 và x < y < x+2; f(x,y) = 0 trong

các tr ườ ng h p khác ợ

(a) Hãy tìm c.

(b) TínhP( Y >2/X =1).

2) Cho (X, Y) là bi n ng u nhiên hai chi u v i phân ph i xác su t ế ẫ ề ớ ố ấ

nh sau: ư

(a) Tính P(X < 0,5; Y <1,5).

(b) X, Y có là hai bnn đ c l p không?ộ ậ

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

(Buổi 5)

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

(Buổi 5)

Ch ươ ng III

KỲ V NG TOÁN C A BI N NG U NHIÊN Ọ Ủ Ế Ẫ

 Kỳ v ng c a bi n ng u nhiên m t chi u và các ọ ủ ế ẫ ộ ề tính ch t ấ

 Ph ươ ng sai và covariance

Slide Bài giảng Toán V

3.1 KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Kỳ v ng c a bi n ng u nhiên m t chi u ọ ủ ế ẫ ộ ề

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Đ nh nghĩa: ị Giá tr trung bình ị hay Kỳ v ng ọ (Expectation) c a ủ

bi n ng u nhiên ế ẫ X là m t con s độ ố ược ký hi u b i ệ ở E(X) ho c ặ μ

và được xác định như sau:

Ví d 3.1 ụ Cho X là bi n ng u nhiên v i b ng phân ph i xác ế ẫ ớ ả ố

Hãy tìm kỳ v ng c a ọ ủ X.

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

Chú ý

1) Kỳ v ng c a ọ ủ X không nh t thi t là m t s n m trong t p giá ấ ế ộ ố ằ ậ

tr c a ị ủ X Thường là con s thu c “khu v c” có phân ph i xác ố ộ ự ố

su t l n.ấ ớ

2) Trong Đ nh nghĩa trên, khi t ng ho c tích phân không h i t ị ổ ặ ộ ụ

thì ta nói E(X) không t n t i.ồ ạ

3) Kỳ v ng c a ọ ủ X ch ph thu c vào phân ph i xác su t c a nó ỉ ụ ộ ố ấ ủ

Nh v y, hai bi n ng u nhiên có phân ph i nh nhau thì có kỳ ư ậ ế ẫ ố ư

v ng b ng nhau.ọ ằ

Ví d 3.2 ụ Cho X là bi n ng u nhiên liên t c v i hàm m t đ ế ẫ ụ ớ ậ ộ

nh sau:ư

2 khi (0;1) ( )

0 khi (0;1)

f x

x

∈





Hãy tính μ?

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Ví d 3.3 ụ Trong m t trò ch i c b c, ngộ ơ ờ ạ ười ta tung ng u nhiên ẫ

ba đ ng xu Ngồ ười ch i sẽ nh n đơ ậ ược 5 USD n u t t c các ế ấ ả

đ ng xu đ u s p ho c đ u ng a, ngồ ề ấ ặ ề ử ười ch i sẽ m t 3 USD n u ơ ấ ế

ngượ ạc l i Người ch i hy v ng sẽ ki m đơ ọ ế ược bao nhiêu?

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Kỳ v ng c a hàm m t bi n ng u nhiên m t chi u ọ ủ ộ ế ẫ ộ ề

Đ nh lý: ị Cho X là bi n ng u nhiên v i phân ph i xác su t là ế ẫ ớ ố ấ

f(x) Giá tr trung bình hay kỳ v ng c a bi n ng u nhiên ị ọ ủ ế ẫ u(X) là

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Ví d 3.5 ụ Gi s s lả ử ố ượng xe ôtô X đ n c a hàng r a xe vào ế ử ử kho ng th i gian t 4 gi chi u đ n 5 gi chi u c a m t ngày ả ờ ừ ờ ề ế ờ ề ủ ộ

th sáu khô ráo, là m t bi n ng u nhiên có phân ph i xác su t ứ ộ ế ẫ ố ấ

nh sau:ư

Đ t ặ u(X) = 2X - 1 là s ti n (tính theo USD) mà ngố ề ười ch c a ủ ử hàng ph i tr cho công nhân r a xe Ngả ả ử ười công nhân r a xe ử

hy v ng sẽ ki m đọ ế ược bao nhiêu ti n trong kho ng th i gian ề ả ờ nói trên?

Ví d 3.6 ụ Cho X là bi n ng u nhiên có hàm m t đ làế ẫ ậ ộ

2

, khi ( 1;2), ( ) 3

0, khi ( 1;2)

x

x

f x

x



∈ −



= 

 ∉ −

 Hãy tìm kỳ v ng c a ọ ủ g(X) = 4X + 3.

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Kỳ v ng c a hàm hai bi n ng u nhiên m t chi u ọ ủ ế ẫ ộ ề

Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời

là f(x,y) và v = v(x,y) là hàm hai biến xác định trên tập giá trị của (X,Y) Ta thiết lập được biến ngẫu nhiên một chiều v(X,Y)

Đ nh lý: ị Cho X và Y là các bi n ng u nhiên v i ế ẫ ớ phân ph i xác ố

su t đ ng ấ ồ th i là ờ f(x,y) Trung bình hay giá tr kỳ v ng c a ị ọ ủ

bi n ng u nhiên ế ẫ v(X,Y) là

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Ví d 3.7 ụ Cho bi n ng u nhiên r i r c ế ẫ ờ ạ X v i t p giá tr {1, 2, 3}, ớ ậ ị

bi n ng u nhiên ế ẫ Y v i t p giá tr là {1, 2, 3, 4} và B ng phân ớ ậ ị ả

ph i xác su t đ ng th i c a ố ấ ồ ờ ủ X và Y nh sau:ư

Y

X

Tìm kỳ v ng c a ọ ủ X + Y, XY?

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Ví d 3.8 ụ Ch n ng u nhiên m t đi m (ọ ẫ ộ ể X, Y) trong hình vuông

[0; 1]×[0; 1] trên m t ph ng to đ Hàm m t đ đ ng th i ặ ẳ ạ ộ ậ ộ ồ ờ

c a ủ X và Y là







×

∉

×

∈

=

] 1

; 0 [ ] 1

; 0 [ )

, ( khi 0

] 1

; 0 [ ] 1

; 0 [ )

, ( khi

1 )

,

(

y x

y

x y

x f

Tìm kỳ v ng c a ọ ủ X2 + Y2

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Các tính ch t c a kỳ v ng ấ ủ ọ

Đ nh lý: ị Cho a, b là hai s th c, ố ự X là bi n ng u nhiên m t chi u ế ẫ ộ ề

và u(x), v(x) là các hàm m t bi n xác đ nh trên t p giá tr c a ộ ế ị ậ ị ủ X

Ta có:

1) E(aX + b) = aE(X) + b;

2) E[u(X) ± v(X)] = E[u(X)] ± E[v(X)]

H qu ệ ả

E(aX) = aE(X); E(b) = b.

Ví d 3.10 ụ Nhu c u hàng tu n v m t lo i đ u ng nào đó, tính ầ ầ ề ộ ạ ồ ố

theo đ n v 1000 lít, t i m t lo t c a hàng là m t bi n ng u nhiên ơ ị ạ ộ ạ ử ộ ế ẫ liên t c ụ g(X) = X2 + X – 2, trong đó X có hàm m t đ làậ ộ 2( 1) (1;2)

( )

f x

x





Hãy tìm giá tr trung bình cho nhu c u hàng ị ầ

tu n c a lo i đ u ng nói trên ầ ủ ạ ồ ố

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Đ nh lý: ị Kỳ v ng c a t ng ho c hi u hai hay nhi u hàm c a ọ ủ ổ ặ ệ ề ủ các bi n ng u nhiên b ng t ng ho c hi u c a kỳ v ng các ế ẫ ằ ổ ặ ệ ủ ọ hàm T c là, ứ

H qu ệ ả: Cho g(X, Y) = X và h(X,Y) = Y, ta được

Đ nh lý: ị Cho X và Y là hai bi n ng u nhiên đ c l pế ẫ ộ ậ Khi đó

E XY = E X E Y

KỲ V NG C A BNN VÀ TÍNH CH T Ọ Ủ Ấ

.

Ví d 3.11 ụ Tung m t lúc hai con xúc s c cân đ i và đ ng ch t, ộ ắ ố ồ ấ

m t con có màu xanh và con còn l i có màu đ G i ộ ạ ỏ ọ X là s ố

ch m xu t hi n trên con màu xanh và ấ ấ ệ Y là s ch m xu t hi n ố ấ ấ ệ trên con màu đ ỏ

Tính E(X + Y), E(XY).

3.2 PH ƯƠ NG SAI C A M T BNN VÀ COVARIANCE… Ủ Ộ

.

3.2 A Ph ươ ng sai c a m t bi n ng u nhiên ủ ộ ế ẫ

Ví d 3.12 ụ G i ọ X là bi n ng u nhiên bi u th s xe ôtô đế ẫ ể ị ố ược

s d ng cho m c đích kinh doanh chính th c trong m t ngày ử ụ ụ ứ ộ làm vi c nào đó Phân ph i xác su t c a ệ ố ấ ủ X t i công ty A làạ

x 1 2 3

f(x) 0,3 0,4 0,3

và t i công ty B là ạ

x 0 1 2 3 4

f(x) 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1

Tính kỳ v ng c a m i bi n ng u nhiên trên và so sánh hai giá ọ ủ ỗ ế ẫ

tr thu đị ược?

PH ƯƠ NG SAI C A BNN Ủ

.

Đ nh nghĩa: ị Cho X là bi n ng u nhiên v i phân ph i xác su t ế ẫ ớ ố ấ

f(x) và trung bình μ Phương sai của X là một con số

được ký hiệu là σ2

X và được xác định như sau:

• S ố X – μ trong đ nh nghĩa đị ượ ọ c g i là đ l ch c a ộ ệ ủ X kh i giá ỏ

tr trung bình ị và do đó n u giá tr c a ế ị ủ X thườ ng l y giá tr xung ấ ị quanh giá tr trung bình thì ph ị ươ ng sai nh , trong tr ỏ ườ ng h p ợ

ng ượ ạ c l i thì nó l n, nên ớ ph ươ ng sai là s đo đ phân tán c a ố ộ ủ

X quanh giá tr trung bình ị .

• Căn b c hai c a ph ậ ủ ươ ng sai đ ượ ọ c g i là đ l ch chu n ộ ệ ẩ

PH ƯƠ NG SAI C A BNN Ủ

.

Công th c tính ứ

Ví d 13 ụ Tính phương sai c a m i bi n ng u nhiên sau đây:ủ ỗ ế ẫ

x 1 2 3

f(x) 0,3 0,4 0,3

x 0 1 2 3 4

f(x) 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1

Hàm m t đ :ậ ộ ( ) 2( 1), (0;2)

f x

x





PH ƯƠ NG SAI C A BNN Ủ

.

Đ nh lý: ị Cho X là bi n ng u nhiên v i phân ph i xác su t là ế ẫ ớ ố ấ

f(x) Phương sai c a bi n ng u nhiên ủ ế ẫ u(X) là

n u ế X là bi n ng u nhiên r i r c;ế ẫ ờ ạ

n u ế X là bnn liên t c.ụ

=

X

u2( ) [u(x ) µ ( )]2 f (x )

σ

∫

+∞

∞

−

−

X

u2( ) [ ( ) µ ( )]2 ( )

σ

PH ƯƠ NG SAI C A BNN Ủ

.

Ví d 3.15 ụ Tính phương sai c a bi n ng u nhiên ủ ế ẫ u(X) = 2X + 3,

trong đó X là bi n ng u nhiên v i phân ph i xác su t nh sauế ẫ ớ ố ấ ư

x 1 2 3

f(x) 0,3 0,4 0,3

CÁC Ý CHÍNH C A BU I 5 Ủ Ổ

.

• Kỳ v ng bi n ng u nhiên m t chi u: ọ ế ẫ ộ ề

 Đ nh nghĩa v Kỳ v ng c a bi n ng u nhiên m t chi u;ị ề ọ ủ ế ẫ ộ ề

 Các đ nh lý vị ề

+ Kỳ v ng c a hàm m t bi n ng u nhiên m t chi u;ọ ủ ộ ế ẫ ộ ề

+ Kỳ v ng c a hàm hai bi n ng u nhiên m t chi u;ọ ủ ế ẫ ộ ề

+ Các tính ch t.ấ

• Ph ươ ng sai c a bi n ng u nhiên m t chi u ủ ế ẫ ộ ề , phương sai

c a hàm m t bi n ng u nhiên m t chi u.ủ ộ ế ẫ ộ ề