Toán 8

Định lí TaLet trong tam giác : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.. Định lí

Chủ đề 1: Phương trình bậc nhất một ẩn

A Mục tiêu:

- Học sinh nắm được cách giải và giải thành thạo phương trình bậc nhất một ẩn

- Cách giải phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

- Có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình

- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính toán, tính cẩn thận

B.Câu hỏi:

1 Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát như thế nào?

2 Nêu cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

1 3

 0x = - 2  phương trình vô nghiệm

c x   1 VT của phương trình không âm , VP âm  phương trình vô nghiệm

Bài 3: Tìm giá trị của x sao cho 2 biểu thức A và B cho sau đây có giá trị bằng nhau

Bài 4: Giải các phương trình tích sau:

11 , 1

7

; 5 3

13

; 3 2

; 2

Bài 5: Cho phương trình (3x + 2k - 5)(x - 3k + 1) = 0 trong đó k là một số

a Tìm các giá trị cØa k sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1

b Với mỗi giá trị của k tìm được ở câu a, hãy giải phương trình đã cho

ta có pt:

 1 0

x

b  

3 2

10 1

x

c

x

x x x

2

1 2

3 1 2 1

3

1 1 3

x

x x

x

1

1 5

x

f

1

4 1

5 2

1

1

2 3

) 1 ( 3 1

x x

 1 - x + 3x + 3 = 2x + 3  0x = - 1

 PT vô nghiệm hay S = 

b  

3 2

10 1

2 3



3 2

10 3

2

3 2 )

x x

c

x

x x x

2

1 2

) 3 (

2 _ 1 ( 2 )

1 ( 2

) 1 )(

1 2 _(

2

x

x x x

x

x x

(thoả mãn ®kx®)

3 9

3 1 2 1

3

1 1 3

x

x x x

§KX§: x 

3 1



) 1 3 ( 3

) 3 1 )(

2 ( )

1 3 ( 3

) 1 )(

1 ( 3 ) 1 3 )(

x

x x x

1

1 5

x

§KX§: x  1



) 1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( 5 ) 1 )(

1

(

) 1 )(

x x x

x

x x

f

1

4 1

5 2

1

1

2 3

3

5 2 1 2

x x

1 3 2

x 4 x 5

2 x 6 5

1 x 6

2 x

x

c) 2(x x3) 2( x x1)(x1)(2x x3) d)

x

x x

1 2 16

76

Chủ đề 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

A Mục tiêu:

- Học sinh nắm được cách giải và giải bài toán bằng cách lập PT

- Có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình

- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và cách lập luận bài toán

B.Câu hỏi:

Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Cách giải: B1/ Đặt ẩn và tìm điều kiện cho ẩn

B2/ Lập mối liên hệ giửa đại lượng chưa biết và đại lượng đã biết từ đó lập pt (thường là lập bảng)

B3/ Giải PT tìm được

B4/ So sánh ĐK ở B1 và kết luận

C BÀI TẬP

Bài 1: Thùng dầu thứ nhất chứa gấp đôi thùng dầu thứ hai Nếu chuyển từ thùng dầu

thứ nhất sang thùng dầu thứ hai 25 lít thì lượng dầu hai thùng bằng nhau Tính lượngdầu trong mỗi thùng lúc đầu

Giải:

Gọi số lượng dầu ban đầu trong thùng thứ hai là x (Đk: x > 0)

 lượng dầu trong thùng thứ nhất là 2x

Khi đó số lượng dầu trong thùng thứ hai là: x + 25

Theo gt: 2x - 25 = x + 25

 2x - x = 25 + 25

 x = 50

Vậy lúc đầu lượng dầu trong thùng thứ nhất là 100 lít và thùng thứ hai là 50lít

Bài 2: Học sinh khối 8 nhắt được 65kg kim loại vôn Trong đó đồng nhiều hơn nhôm

15kg, kẽm ít hơn tổng số khối lượng nhôm và đồng 1kg Hỏi khối 8 đã nhặt được baonhiêu kg mỗi loại

Vậy khối 8 nhặt được: 9 kg nhôm

9 + 15 = 24 kg đồng

9 + 24 - 1 = 32 kg kẽm

Bài 3: Một xí nghiệp dệt thảm được giao làm một số thảm xuất khẩu trong 20 ngày.

Xí nghiệp đã tăng năng suất 20% nên sau 18 ngày không những đã làm xong số thảmđược giao mà còn làm thêm được 24 chiếc nữa Tính số thảm xí nghiệp đã làm đượctrong 18 ngày

Số thảm xí nghiệp được giao trong 20 ngày là: x - 20 chiếc.



x

Giải PT tìm được x = 324

Vậy số thảm xí nghiệp đã làm trong 18 ngày là 324 chiếc

Bài 4: Một lớp học tham gia trồng cây ở một lâm trường trong thời gian đã định với

năng suất 300 cây trong một ngày Nhưng thực tế mỗi người đã trồng thêm được 100cây nên đã trồng thêm được tất cả 600 cây và hoàn thành kế hoạch trước một ngày.Tính số cây dù định trồng

Giải:

Gọi số cây dù định trồng là x cây (x nguyên dương)

Khi đó số ngày dự định để trồng cây là :

300

x

ngàyNhưng thực tế mỗi ngày đã trồng 400 cây (vì thêm 100 cây)

Nên số cây đã trồng được tất cả x + 600 và số ngày là:

600



x x

Giải ra ta được: x = 3000 cây

Vậy số cây dù định trồng là 3000 cây

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Hai thư viện có cả thảy 20000 cuốn sách Nếu chuyển từ thư viện thứ

nhất sang thư viện thứ hai 2000 cuốn sách thì số sách của hai thư viện bằng nhau Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện

Thư viện I

Thư viện II

§S: số số sách lúc đầu ở thư viện thứ nhất 12000

số sách lúc đầu ở thư viện thứ hai la 8000

Bài 2 : Số lúa ở kho thứ nhất gấp đôi số lúa ở kho thứ hai Nếu bớt ở kho thứ nhất đi

750 tạ và thêm vào kho thứ hai 350 tạ thì số lúa ở trong hai kho sẽ bằng nhau Tính xem lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu lúa

Lúa Lúc đầu Lúc thêm , bớt

Kho I

Kho II

§S: Lúc đầu Kho I có 2200 tạ Kho II có : 1100tạ

Bài 3 : Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 5 Nếu tăng cả tử mà mẫu

của nó thêm 5 đơn vị thì được phân số mới bằng phân số 2

3.Tìm phân số ban đầu

Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km / h.Luc về người đó đi

với vận tốc 12km / HS nên thời gian về lâu hơn thời gian đi là 45 phút Tính quảng đường AB ?

Đi

Về

§S: AB dài 45 km

Bài 6 : Lúc 6 giờ sáng , một xe máy khởi hành từ A để đến B Sau đó

1 giờ , một ôtô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hớn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9h30’ sáng cùng nàgy Tính độ dài quảng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy

Ngược dòng

Phương trình :6(x+2) = 7(x-2)

Bài 8:Một số tự nhiên có hai chữ số Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng

chục Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là 370 Tìm số ban đầu

Số ban đầu là 48

Bài 9:Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản suất 50 sản

phẩm Khi thực hiện , mỗi ngày tổ đã sản xuất được 57 sản phẩm Do đó tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13sản phẩm Hỏi theo kế hoạch , tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm

x = 1

Bài 10: Một bác thợ theo kế hoạch mỗi ngày làm 10 sản phẩm Do cải tiến kỹ thuật mỗi ngày bác đã làm được 14 sản phẩm Vì thế bác

đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày và còn vượt mức dự định 12 sản phẩm Tính số sản phẩm bác thợ phải làm theo kế hoạch ?

Năng suất 1 ngày( sản phẩm /ngày )

- Học sinh hiểu và biết vận dụng định lý Ta lét, định lý Ta lét đảo và hệ quả của định

lý ta lét vào giải toán

- Nắm được các trường hợp đồng dạng của tam giác và vận dụng nó trong các bàitoán thực tế

B,Câu hỏi:

1 Hãy phát biểu định lý Ta lét, định lý Ta lét đảo, hệ quả của định lý Ta lét

2 Tính chất đường phân giác trong tam giác

3 Thế nào là hai tam giác đồng dạng, Nêu các trường hợp đồng dạng của hai tamgiác

4.tính chất của hai tam giác đồng dạng

TRẢ LỜI

1.

Định lí TaLet trong tam giác : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam

giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

C' B'

A

*.

Định lí đảo của định lí TaLet :Nếu một đường thăng cắt hai cạnh của một tam

giác và định ra trên hai cạnh này những đạon thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thăng

đó song song với cạnh còn lại

C' B'

C B

A

*.Hệ quả của định lí TaLet : Nếu một đường thăng cắt hai cạnh của một tam giác và

song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ

2.

Tính chất đường phân giác trong tam giác :Trong tam giác , đường phân giác

của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy

Các cách chứng minh hai tam giác đồng dạng :

 Nếu một đường thăng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng (cạnh – cạnh – cạnh)

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau , thì hai tam giác đó đồng dạng (cạnh – góc – cạnh)

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (góc – góc)

*.

Các cách chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng :

GT ABC : B’C’ // BC;

(B’  AB ; C’  AC) K

Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia(g-g)

Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia (Cạnh - góc - cạnh)

4.Tỷ số 2 đường cao , tỷ số diện tích của hai tam giác đồng dạng :

Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỷ số đồng dạng

Bài 1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn là CD, đáy nhỏ là AB Qua A kẻ đường

thẳng song song với BC c¨t đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với

AD c¨t đường chéo AC ở F

a Chứng minh tứ giác DEFC là hình thang cân

b Tính độ dài đoạn EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm

OA OD

OB OB

OE



Theo định lý đảo của định lý TalÐt ta lại có: EF // DC

 Tứ giác DEFC là hình thnag (dấu hiệu nhận biết)

Xét tam giác ABC và tam giác BAD có: AB là cạnh chung

A

Hình thang DEFC có hai góc kÌ một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

OB

OA

OC EF

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 14cm, CD = 35cm, AD= 17,5cm.

Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho DE = 5cm Qua E vÊ đường thẳng song song với

25 5 , 17

5 , 12 35

5 14

Vậy EF = EI + IF = 25 + 4 = 29cm

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AD //BC) Đường cao BE cắt đường chéo AC tại

F Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau ở M Tính độ dài đoạn BM, biết AB= 20cm,

Vì ABCD là hình thang cân nên ta

chứng minh được: AD = BC + 2AE F

Từ đó suy ra:

3

4 2

Mặt khác trong tam giác MAD, do BC // AD nên ta có:

Mà AB = 20  MB = 15cm

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm cạnh CD Gọi I là giao

điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC

MD IA

MC KB

IE

 hay

AM

AI n

EI

 (3)

AM

IM MC

IK

 hay

AM

AI n

KF



Từ đó ta có: EI = IK = KF (®pcm)

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi G là một điểm trên cạnh CD, K là một điểm

trên cạnh CB sao cho

Gọi giao điểm của DB với AG và AK lần lượt là E và F Tính độ dài các đoạn thẳng

DE, EF, FB nếu biết BD = 24cm

Do DG // AB nên

AB

DG EB

Bài 6: Qua trọng tâm G của tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với AC cắt

AB và BC lần lượt tại D và E Tính độ dài đoạn DE, biết AD + EC = 16cm, chu vicủa tam giác ABC bằng 75cm

EC AB

EC AD

 Vì AD + EC = 16cm và AB + BC = 75 - AC B E C

 Từ đó ta có:

3

1 75

AD BD

5 5

5 5

 D C

BC = 7cm

5 , 2

5 , 3 5



c Vẽ hình thang ABCD

- B1: Vẽ tam giác ABD theo độ dài cho trước của mỗi cạnh

- B2: Lấy B làm tâm quay cung tròn có bán kính 7cm, lấy D làm tâm quay cùng tròn

có bán kính 10cm, hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C (khác phía với A so với BD)

Bài 8: Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900) Dựng AD vuông góc với BC (Dthuộc BC) đường phân giác BE cắt AD tại F Chứng ming:

EC

EA FA

BD

 (3) Từ (1), (2), (3) 

EC

EA FA

FD



Bài 9: Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh

huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 9cm và 16cm Tính độ dài các cạnh của tamgiác vuông đó

Bài 10:Cho hình thang vuông ABCD (<A = <D = 900), AB = 6cm, CD = 12cm,

AD = 17cm Trên cạnh AD đặt đoạn thẳng AE = 8cm Chứng minh góc

AB

 (vì

12

8 9

6

 )Vậy ABE đồng dạng với DEC E

AE

1 1

a Do BK // AD nên

ED

BE AE

AE

DB

DE AK

AE

 (4)Cộng vỊ với vỊ của (3) và (4) ta có:

BE DB

DE AG

AE AK

BK

 (*); và

DG

CG b

KC

 (**)Nhân vỊ với vỊ của (*) và (**) ta có:

DG

a b

BK

  BK - DG = ab không đổi

Chủ đề 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

A Mục tiêu

- Học sinh nắm được liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, giữa thứ tự và phép nhân

- Biết cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn và phương trình chứa giá trị tuyệtđối

- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập

B Câu hỏi:

1 Nhắc lại sự liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, sự liên hệ giữa thứ thù và phép nhân

2 Thế nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn? Hai bất phương trình như thế nào gọi

là tương đương?

3 Nêu quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân của bất phương trình

4 Nêu cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

5 Khi giải BPT ta chú ý các kiến thức sau:

- Khi chuyển một hạng tử của BPT từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử

đó

- Nhân 2 vế BPT cho số nguyên dương thì chiều BPT không thay đổi

- Nhân 2 vế BPT cho số nguyên âm thì chiều BPT thay đổi

giá trị tuyệt đối của một số.

) 3 ( 3 ) 1



x



30

) 3 ( 10 ) 2 ( 15 30 30

) 4 ( 6

) 1 ( 15 ) 1 2 2

Bài 2: Cho a, b là hai số bất kỳ, chứng tỏ rằng

2 2

1 4ab

2 2

1 0

1 0

b

b a a

b a

- Học sinh nắm được công thức tính thể tích , diện tích xung quanh , diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật , hình lập phương , hình lăng trụ đứng

-Biết vận dụng công thức vào giải toán

h:chiều cao

Stp = Sxq + 2Sđ

V = S.hS: diện tích đáy

d: chiều cao củamặt bên

Stp = Sxq + Sđ V = 1

3S.hS: diện tích đáy

HS : chiều cao

C, BÀI TẬP

Bài 1 : Hình hộp chữ nhật có các kích thước là 3 2 cm ; 4 2 cm ; 5cm Tính thể tích của hình hộp chữ nhật

B

Bài 2 : Một hình lập phương có thể tích là 125cm3 Tính diện tích đáy của hình lập phương

Bài 3 : Biết diện tích toàn phần của một hình lập phương là 216cm3 Tính thể tích củahình lập phương

Bài 4 :a/Một lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông , các cạnh góc vuông của

tam giác vuông là 3 cm , 4cm Chiều cao của hình lặng trụ là 9cm Tính thể tích và diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của lăng trụ

b/Một lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật có các kích thước là 3cm , 4cm Chiều cao của lăng trụ là 5cm Tính diện tích xung quanh của lăng trụ

Bài 5 : Thể tích của một hình chóp đều là 126cm3 , chiều cao hình chóp là 6cm Tính diện tích đáy của nó

Chủ đề 6: BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO Bài 1: Cho các biểu thức sau:

A =

5 4

1 2

x

x và B =

3 5

10 8 2 2 2





x x x

x x

a Tìm điều kiện có nghĩa của B

b Tìm giá trị bé nhất của A và giá trị tương ứng của x

0 3

3

x x

Vậy với x  3; x  - 1 thì B có nghĩa

b Ta có: A =  

1 ) 2 (

1 2 2







x x

) 1 (

2

2

hay A  0Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0  x = - 1

c Ta có: A B =

3 5

10 8 2 5 4

1 2

2 3

2 2

x x x

x x x

= 2

2 2

2

) 1 )(

3 (

) 5 4 ( 2 5 4

) 1 (

x x x

0 3 2

x x

3

x x

Vậy với x < 3 và x  - 1 thì A B < 0

Bài 2:

a Chứng tỏ bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 5 0

2 2

b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 42 1

4 5

2

2

4

2 2

Vậy bất PT nghiệm đúng với mọi x

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 3 khi x =

2 1

2 1995 1995

) 1995 2

( 1995

x

x x x

= 2 2 2 2 2 2

1995

) 1995 (

1995

1994 1995

1995 1995

2 1994

x

x x

x x

) 1995 (

1995

1994

2 2

Dấu “=” xảy ra khi x - 1995 = 0 hay x = 1995

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

1

2 1

x

x x

d x 3  5  x Hai vế không âm bình phương hai vế ta có

(x + 3)2 = (5 - x)2  x2 + 6x + 9 = 25 - 10x + x2

 x = 1 Vậy nghiệm của PT là: x = 1

2 2

2

3 3

2

x x

x

x x

x x

2 2

2

3 3

2

x x

x

x x

3 (

2 2

3 3

x

x x

x x

x

A =  

1

1 )

2 )(

3 (

2 ) 3 )(

3 ( ) 2 ( 2

x x

x x

x

A =

1

1 ) 2 )(

3 (

2 9

x x

x

) 2 )(

3 (

) 3 (

x x x x

0 1 2

1

0 1 1 0 1

0 1

0

y

x y

x y

x

y x

Bài 7: Giải bất phương trình

4 2 3 0

2 2

x x

x

x

2 7 2 7

0 2

0 7

0 2

0 7 0

x x x

x x x x x

x

Vậy bất phương trình đã cho có các nghiệm là - 7 < x < - 2

Bài 8: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất.

A(x) = ( x 1999 ) 2

x

với x > 0Tìm giá trị lớn nhất đó

Giải:

Đặt a = 1999

2 2

· 4 ) ( ) ( )

a x x x a

2 2

a x

) (

2 2

A(x) = x a

a  

4 1

Thay x = 1999 ta có giá trị lớn nhất của A(x) = 1999

1999 4

d) Vẽ phân giác AD của góc A ( D BC) Tính DB

Bài 10 : Cho hình thanh cân ABCD có AB // DC và AB< DC , đường chéo BD vuông

góc với cạnh bên BC Vẽ đường cao BH , AK