vai trò của tham số tự do trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro

Để giải được bài toán này phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn:

TS NGUYỄN VĂN HOA

Sinh viên thực hiện:

MAI THỊ ĐẮC KHUÊ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

THÁNG 4/2010

LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn

Hoa – giáo viên hướng dẫn khóa luận này – thầy đã tận tình hướng dẫn,

truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích và đóng góp những kinh nghiệm quý

báu để em thực hiện khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý

kiến quý báu cho khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã tận tình giúp đỡ em

trong suốt quá trình làm

Em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em được đọc và mượn về nhà các tài liệu

liệu quan đến đề tài

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy

bảo em trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày

hôm nay và cụ thể là qua những kết quả khóa luận này đã phần nào thể hiện

Em xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 cũng như các bạn

khác và những người thân đã giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận

Trong quá trình thực hiện đề tài không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót, em

rất mong nhận được sự góp ý tận tình của quý thầy cô

Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm

thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy

cô giáo lời chúc sức khỏe và thành công!

Sinh viên thực hiện

Mai Thị Đắc Khuê

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 4

1 Tình hình nghiên cứu 4

2 Lí do chọn đề tài 4

3 Mục tiêu của đề tài 6

4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được 6

5 Cấu trúc của luận văn 7

NỘI DUNG 9

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 9

1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro 9

1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro 9

1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro 11

1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro 12

1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro 13

1.2.1 Toán tử động năng 14

1.2.2 Toán tử thế năng 15

1.2.3 Toán tử hamilton 16

1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính 17

Chương 2SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 19

2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn 19

2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử 22

2.2.1 Tính bổ chính bậc một 22

2.2.2 Tính bổ chính bậc hai 22

2.3 Nhận xét 35

Chương 3VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 36

3.1 Vai trò của tham số tự do trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro 36

3.2 Sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến phân 36

3.3 Nhận xét 40

Chương 4SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNHCÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 42

4.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp 42

4.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp 42

4.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro ứng với k=4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp 44

4.4 Nhận xét 46

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

PHỤ LỤC 48

Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều 48

Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn 51

Phụ lục 3 Toán tử thế năng 53

Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của ˆH 58

Phụ lục 5 Chương trình viết bằng Fortran 61

MỞ ĐẦU

1 Tình hình nghiên cứu

Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ,

đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác Trong khi đó, phương

pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn

không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn

Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có

phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây

Phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho

nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý

lý thuyết quan tâm nghiên cứu

Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm

1979 Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu

tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L I thuộc

trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một

nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết

trường,…

Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương

pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp

truyền thống như:

 Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông

thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt Trong suốt quá trình tính

toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán

như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán

 Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất

kỳ

Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những

khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển

không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu

2 Lí do chọn đề tài

Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán có lời giải

chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là:

bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về

nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm) Đây là các

hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên Việc nghiên cứu các hệ đơn

giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ

học lượng tử Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc

biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của

hệ thực tương ứng

Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của

vật lý lượng tử Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán

về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp Để giải được bài toán này

phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong

hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen

xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố

electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…

Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý

qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã

cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị

nào của trường ngoài nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn

Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp

áp dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là

hội tụ Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều

chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính

bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm

vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh

Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng

lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà

không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số

biến phân Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau

mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại,

để được một giá trị gần đúng hơn nữa Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri

sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai số mong muốn thì dừng lại

Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng

cần tìm ứng với sai số đã chọn

Nội dung bài khóa luận này sẽ trình hai hướng tiếp cận bài toán nguyên

tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ

vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của

nguyên tử hydro

3 Mục tiêu của đề tài

Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một

công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:

 Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu

điểm… Kết hợp phương pháp toán tử, lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên

lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

 Tìm hiểu vai trò của thông số biến phân được đưa vào trong toán tử sinh,

hủy cũng như khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro theo thông số biến đó

 Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử

hydro là: lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng

lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho

những bài toán có phức tạp hơn

4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được

Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài

toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt

trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương

pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện

khóa luận này

Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng

lượng cơ bản của nguyên tử hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng

tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng

lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro

Dự kiến kết quả đạt được:

 Tính bổ chính bậc hai cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử

 Thấy được vai trò của tham số tự do đưa vào trong toán tử sinh hủy trong

việc tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro Dùng lý thuyết nhiễu

loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của

nguyên tử hydro khi tính tới bổ chính bậc hai

 Tính toán bằng số trên máy tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro theo sơ đồ vòng lặp Qua đó thấy được sự hội tụ và tính ưu thế của

hướng tiếp cận này so với hướng tiếp cận lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng

nguyên lý biến phân bằng phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ

bản của nguyên tử hydro

5 Cấu trúc của luận văn

Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận

văn gồm 3 phần chính:

 Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài,

phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc

 Phần nội dung: gồm 4 chương

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ

HYDRO

Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về

bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng…

Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử h ydro và

dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức

năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính

Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ

CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn

Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu

loạn bằng phương pháp toán tử

Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO

Vai trò của thông số biến phân trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho

bài toán nguyên tử hydro

Khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông

số biến phân

Chương 4: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG

LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

Nêu mục đích của sơ đồ lặp

Thiết lập sơ đồ vòng lặp

Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

Nhận xét kết quả thu được

 Phần kết luận: tóm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát

triển sắp tới của đề tài

NỘI DUNG

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN

NGUYÊN TỬ HYDRO

1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro[2], [4], [6]

Thế năng của một hạt khối lượng m o chuyển động trong một trường lực

đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r)

Do đó hamilton của hạt có dạng:

2 2

Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ

phụ thuộc vào khoảng cách r1r2 giữa chúng Như đã biết từ trong cơ học

giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác U r( 1r2) rút về

bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực

U(r) Trong trường hợp nguyên tử hydro e. p

thước của proton, nguyên tử hydro sẽ được coi như gồm hạt electron chuyển

động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên

Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt

nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là:

Ze là điện tích của hạt nhân

U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với

nguyên tử hydro phương trình Schrodinger là phương trình dừng

Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu

Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp

2 2

ˆ 21

Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường đối

xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật bảo

toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định luật

bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không

gian Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử Lˆ2và Lˆzvới Hˆ

Trong trường hợp này Hˆcó dạng:

Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc  , nên giao hoán với các toán

tử lấy vi phân theo r

Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong

trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình

phương mômen Lˆ2 và hình chiếu mômen LˆZ Do đó chúng ta sẽ khảo sát các

trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này Một cách tương ứng ta, ta

viết nghiệm của phương trình dưới dạng

 nlm( , , )r   R r Y n( ). l m, ( , )  (1.9)

Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng

của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng

tử từ m Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng

1

( ) 02

e

e

l l m

Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của

Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử

hydro Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình

phương các số nguyên Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn

đối với hàm sóng ở vô cực

Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất E1 13, 6eV Khi n càng tăng

thì các mức E nliên tiếp càng gần nhau hơn Khi n  thì E  n 0

Một số mức năng lượng kích thích: E2  3, 4eV E; 3   1, 5eV;

 Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên

kết, bắt đầu ứng với năng lượng

 và kết thúc ứng với năng lượng 0

 Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì lcó thể có những

giá trị l = 0, 1, 2, , n- 1 Như vậy có tất cả n giá trị của l; lgọi là lượng tử số

quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng

  gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ

Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị

, 1, , 1, 0,1, , 1,

m   l l  l l Tất cả có 2l 1giá trị của m Lượng tử số m

xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z

z

L  m

Như vậy, ứng với một mức năng lượng E n có nhiều trạng thái khác nhaunlm,

ta nói có sự suy biến Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có

cùng giá trị năng lượng E n là

thích thứ nhất E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc 9

Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2

2 n

Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hydro có dạng:

3 / 2

1 ( / ) ( / ) exp( / 2 ) cos

3/ 2

2 2 ( / ) (1 / 6 )( ) exp( / 3 ) cos

1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro[12]

Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrodinger viết cho nguyên

Z H

Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số Ta viết lại

các thành phần trong hamilton Hˆ trong biểu thức (1.19) qua biểu diễn các

toán tử sinh huỷ này

1.2.1 Toán tử động năng

2 2

Với số hạng liên quan đến tương tác Coulomb thì các toán tử sinh huỷ sẽ

nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể

sử dụng trong tính toán Dùng phép biến đổi laplace ta có thể viết thành phần

ˆU

n k

Z dt t

S : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử S khi tác dụng lên ˆx'

vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét

dt t

(1.31)

Toán tử hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai

thành phần: Hˆ Hˆ0 Vˆ (1.32)

 Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử

hamilton H trong bài toán không nhiễu loạn, với: 0

(0) (0) (0) 0

 Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán

tử nhiễu loạn V , với:

ˆ

4

x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Z

2 0

(1 2 )(1 2 )

,

2 2

k n i i

1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ

bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính

(0) 0

dt t

4-0.424413181578387593

E



Chương 2

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN

TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN

CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[6], [10]

Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo

hàm riêng phần và các hệ số biến đổi Nghiệm chính xác của nó có thể tìm

được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử

hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,…

Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của

không gian trong bài toán cần giải Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử

dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải

được một cách chính xác Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp

gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và

hàm riêng của nó Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để

giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn Nội dung lý thuyết nhiễu

loạn như sau:

thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn ˆV phải “nhỏ” so với H , ˆ0

V  H Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của

phương trình (2.1) Lúc này chúng ta xem  và n  là nghiệm gần đúng bậc n

zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét

đến ảnh hưởng của ˆV thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng Ở đây

ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và

dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của 

Ta giả thiết rằng các trị riêng của ˆH là không suy biến và có phổ gián

đoạn, hệ hàm riêng  của n H là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng ˆ0  , n

với n 0,1, 2, Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển

theo các hàm riêng của H như sau: ˆ0

Hệ phương trình đại số (2.9) - (2.10) có thể xem tương đương với phương

trình Schrodinger (2.1) Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng E n

và các hệ số C , nghĩa là tìm được hàm sóng j n( )x qua công thức (2.5) Ta

có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân

tích theo tham số nhiễu loạn như sau:

(0) ( ) 1

   là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng Thay

(2.12) và (2.13) vào (2.10), (2.11) sau đó đồng nhất hai vế theo bậc s ta được:

Phương trình (2.14) và (2.15) gọi là sơ đồ Rayleigh-Schrodinger cho lý thuyết

nhiễu loạn dừng (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn)

2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

Do thế nhiễu ˆV không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma

trận trên đường chéo chính của ˆV bằng 0

2.2.2 Tính bổ chính bậc hai

Xét ở bổ chính bậc hai (s=2) thì từ (2.14) ta được hiệu chính cấp hai cho

mức năng lượng của hệ là:

(2)

(0) 0

nk kn n

k n

V V E

Hiệu chính cấp hai cho mức năng lượng cơ bản sẽ là một đại lương âm

phụ thuộc vào đặc tính của nhiễu loạn Như vậy, với độ chính xác đến các số

hạng có độ bé cấp hai, năng lượng của hệ suy ra từ (2.14), (2.15), (2.17), được

tính bằng:

2 (0)

(0) 0

Trong bài toán tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, gọi

k=k x +k y +k z thì biểu thức (2.17) được viết lại như sau:

,

2 (2)

10(1 2 )

14 (1 2 )

72 (1 2 )

S S S Z

104 (1 2 )

(1 2 )

S S S Z

S S S Z

S S S Z

S S S Z

t Z

t Z

t Z

t Z

t Z

t Z

t Z

t Z

t Z

t Z

t Z



