Định nghĩa Tập hợp các số tuân theo 1 quy luật nhất định tạo thành dãy số.. Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương ¥ được gọi là 1 dãy số * vô hạn.. Mỗi số hạ
Trang 1DÃY SỐ - TƯ LIỆU BÀI GIẢNG - GV : NGUYỄN THANH TÙNG
I Định nghĩa
Tập hợp các số tuân theo 1 quy luật nhất định tạo thành dãy số
Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương ¥ được gọi là 1 dãy số *
vô hạn
Mỗi số hạng của u được gọi là 1 số hạng của dãy số u( )1 =u u1, ( )2 =u2.
Ký hiệu dãy số: u n( ) =u n, và u gọi là số hạng tổng quát của dãy số n
Chú ý: nếu là n hữu hạn thì gọi là dãy số hữu hạn.
II Cách cho 1 dãy số
Cách 1 Cho dãy số theo kiểu tường minh, khai triển.
Cách 2 Cho theo công thức tổng quát
Cách 3 Cho theo kiểu hệ thức truy hồi.
Cách 4 Cho theo cách diễn đạt bằng lời cách xác định số hạng của dãy số.
VD1 Cho các dãy số sau, cho theo số hạng tổng quát và truy hồi
a/
1
= +
n
n u
1
1
= − n n
u
1
2,
= +
1 Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số
2 Tìm số hạng thứ 10 của dãy số
Lời giải
1 Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số
1
= +
n
n u n
1 2
2 3
3 4
4
5 ( ): ; ; ; ; 1 2 3 4
2 3 4 5
n
u
( ) 2
1
1
= − n n
u
4
1 9
16 ( ): 1; ;1 1 1; ;
4 9 16
n
u
1
2,
∀ > ∈
= +
u u u ta có u3 = + = + =u2 u1 1 1 2
4 = + = + =3 2 2 1 3
u u u Vậy ( )u n :1; 1; 2; 3;
2 Tìm số hạng thứ 10 của dãy số
Với
1
= +
n
n u
n ta có 10
10 10
10 1 11
+
Trang 2Với ( ) 2
1
1
= − n n
u
n ta có ( )10
1
10 100
1
2,
= +
u u u ta có ( )u n :1; 1; 2; 3; 5, 8; 13; 21; 34; 55 Vậy u10 =55.
VD2 Cho dãy số sau dưới dạng truy hồi 1 *
1
2 2
+
=
u
n
u u Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Lời giải
1 = =2 2
u
2
2 =2 1=2.2 4 2= =
3
3 =2 2 =2.4 8 2= =
4
4 =2 3=2.8 16 2= =
5
5 =2 4 =2.16 32 2= =
…
2
= n
n
u
III Dãy số tăng và dãy số giảm
( )u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có n u n <u n+ 1
( )u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có n u n >u n+ 1
Phương pháp làm bài tập
Xét hiệu số A u= n+ 1−u n
Nếu A>0 thì dãy số tăng
Nếu A<0 thì dãy số giảm
Nếu dãy số dương thì xét thương số = n+1
n
u B u
Nếu B>1 thì dãy số tăng
Nếu B<1 thì dãy số giảm
VD3 Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a/ n 1
n u n
+
2
= +
Lời giải
a/ n 1
n u
n
+
=
Trang 3Xét hiệu số ( ) ( ) ( )
2 1
0
+
Vì A u= n+1− < ⇒u n 0 u n+1<u nên dãy số giảm n
2
= +
0, 2
= + > ∀ ∈¥
u n n nên xét thương số = n+1
n
u B u
Ta thấy 2n+ 1 > ∀ ∈1, n ¥*⇒n2n+ 1+2n+ 1+ >1 n2n+ 1+ + ∀ ∈1 1, n ¥*
suy ra = n+1 >1
n
u B
u nên dãy số tăng.
IV Dãy số bị chặn
+) Cho dãy số ( )u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại 1 số M sao cho mọi n
*:
∈¥ n ≤
+) Cho dãy số ( )u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại 1 số m sao cho mọi n
*:
∈¥ n ≥
+) Cho dãy số ( )u được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, n
nghĩa là tồn tại số M và m sao cho mọi n∈¥*:m u≤ n≤M .
PHẦN 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1: Cho các dãy số sau.
1/u n =n n( 1 2)
n
+
1
n
n u
n
=
n
1 Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?
2 Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?
Câu 2: Cho các dãy số sau:
1/ 1
1
1 3
u
u + u
= −
1 1
3 4
u
=
Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số, từ đó tìm số hạng tổng quát của dãy số
Câu 3: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau
1
n
n u
n
−
=
n
Câu 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau
Trang 4a/u n =2n2−1 b/u n ( 1 2)
n n
= + c/u n =sinn+cosn
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho các dãy số sau.
1/u n ( 1 2)
n n
=
n
+
1
n
n u
n
=
n
1 Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?
2 Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?
Lời giải:
1.Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?
1/ 1 1, 2 1, 3 1 , 4 1
2/ 1 1, 2 3, 3 7, 4 15
4/ 1 0, 2 1, 3 3, 4 1
2 Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?
1/ 10 1
120
10 101
1025
2
Câu 2: Cho các dãy số sau
1/ 1
1
1 3
u
u + u
= −
1 1
3 4
u
=
Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số, từ đó tìm số hạng tổng quát của dãy số
Lời giải:
1/ Ta thấy
1
2
3
4
1 3.1 4
2 3.2 4
5 3.3 4
8 3.4 4
n
u
u
u
u
= − = −
= = − ⇒ = −
= = −
= = −
2/ Ta thấy
0 1
1
2 3
3 4
3 3.4
12 3.4
3.4
48 3.4
192 3.4
n n
u
u
u u
u
−
= =
= = ⇒ =
Câu 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau
1
n
n u
n
−
=
n
Lời giải:
Trang 51/ Ta xét
( ) ( ) 1
0
2/ Ta xét
1
1
n n
n n
+
+
3/ Ta xét
A u= + − =u n+ − n+ − n+ − n = n+ + n> ⇒ dãy số tăng
Câu 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau
a/u n =2n2−1 b/u n ( 1 2)
n n
= + c/u n =sinn+cosn
Lời giải:
a/ Nhận thấy, vì ∀ ∈n ¥*⇒2n2 ≥2.12 = ⇒⇒2 2n2− ≥1 1 do đóu n ≥ ⇒1 dãy số bị chặn dưới bởi 1
b/ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
+ Dễ thấy u n > ∀ ∈0, n ¥*
2 3,
3
n
n n+ ≥ ∀ ∈n ¥ ⇒u ≤
1 0
3
n
u
⇒ < ≤
c/Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới vì sin cos 2 sin 2 2
n+ n= n+π ⇒ − ≤u ≤
*
2 u n 2, n
PHẦN 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 [1D3-2.2-2] Cho dãy số ( )u với n ( ) 1 2
n
u
n
π
+
= − Khi đó u bằng12
A 1
3
1 2
2
−
Lời giải Chọn D.
Ta có ( )12 1
12
Câu 2 [1D3-2.5-2] Dãy số 1
1
n
u n
= + là dãy số có tính chất?
C Không tăng không giảm D Tất cả đều sai.
Lời giải Chọn B.
Trang 6Ta có 1 ( ) ( )
0
Suy ra dãy số ( )u giảm n
Câu 3 [1D3-2.3-2] Cho dãy số 22
1
n
n u
n
= + Số
9
41 là số hạng thứ bao nhiêu.
Lời giải Chọn D.
9
9
n
n n
=
9
n∈¥ ⇒ =n
Câu 4 [1D3-2.4-2] Cho dãy số 1
1
1 1
u
u + u
=
Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
A u n = +1 n B u n = −1 n C ( )2
n
u = + − D u n =n
Lời giải Chọn
Ta có u1 =1, u2 =2,u3=3,… nên u n =n.
Câu 5 [1D3-2.4-2] Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn u0 =1, u1=2, u n =3u n−1−2u n−2, n∈¥
A 1;2; 4;8;16;36; . B 1; 2;8;16;24;54; . C 2n 1
n
n
u = n∈¥
Lời giải Chọn D.
Ta có u0 =1, u1 =2, u3 =4,u4 =8, u5 =32 nên loại đáp án A, B, C
Câu 6 [1D3-2.4-2] Cho dãy số 1
1
5
u
=
Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
2
n
5 2
n
5 2
n
n n
5
2
n
Lời giải Chọn B.
Ta có u1 =5,u2 = + =5 2 7
Loại đáp án A vì u2 =1
Loại đáp án C vì u2 =8.
Loại đáp án D vì u2 =11.
Câu 7 [1D3-2.4-2] Tính tổng S n( ) = − + − + +1 2 3 4 (2n− −1) 2n+(2n+1) là
A S n( ) = +n 1 B S n( ) = −n C S n( ) =2n D S n( ) =n
Lời giải
Trang 7Chọn A.
Ta có tổng S3 = − + − + − + =1 2 3 4 5 6 7 4
Loại đáp án B vì S( )3 = −3
Loại đáp án C vì S( )3 =6
Loại đáp án D vì S( )3 =3
Câu 8 [1D3-2.4-1] Cho tổng S n = + + + +1 2 3 n Khi đó S là bao nhiêu?3
Lời giải Chọn B.
Ta có S3 = + + =1 2 3 6
Câu 9 [1D3-2.5-2] Dãy số 3 1
n
n u n
−
= + là dãy số bị chặn trên bởi?
A 1
1
Lời giải Chọn
Ta có 3 1 1
n
n− <
+ nên dãy số bị chẵn trên bởi 1.
Câu 10 [1D3-2.3-2] Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi 1
1
1 2
u
u + u
=
Hỏi số 33 là số hạng thứ mấy?
Lời giải Chọn B.
Ta có u1 =1,u2 = = +3 1 1.2,u3 = = + −5 1 (3 1 2) , u4 = = + −7 1 (4 1 2)
Dự đoán u n = + −1 (n 1 2 2) = n−1
Dùng phương pháp quy nạp chứng minh đẳng thức đúng
Do đó u n =33⇔2n− =1 33⇔ =n 17