PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN Trong những bài toán viết phương trình đường thẳng thì phương pháp chung nhất là đi xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và toạ độ một điểm thuộ

A Nội dung:

PHẦN I: VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng d Nếu Vectơ và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì được gọi là

vectơ chỉ phương của đường thẳng d

PHẦN II PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN

Trong những bài toán viết phương trình đường thẳng thì phương pháp chung nhất là đi xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và toạ độ một điểm thuộc đường thẳng sau đó dựa vào công thức của định nghĩa

( trang 83 SGK Hình học 12) để viết phương trình đường thẳng.

Một số trường hợp cơ bản để xác định toạ độ VTCP của một đường thẳng :

TH1: Nếu đường thẳng (d) cho dưới dạng ptts thì 1 VTCP của d là (a;b;c)

TH2: Nếu đường thẳng d cho dưới dạng phương trình chính tắc (a.b.c 0 ) thì 1 VTCP của d là (a;b;c)

TH3: Nếu đường thẳng d đi qua 2 điểm phân biệt A, B thì d có 1 VTCP là

PHẦN III MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Chú ý trong Các dạng bài tập sau:

Kí hiệu lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng ;d’.

Kí hiệu lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P) & (Q)

Dạng 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có ) của đường thẳng d biết d đi

qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vectơ chỉ phương = (a; b; c).

Phương pháp: * Phương trình tham số của đường thẳng d là : ( t là tham số)

* PT chính tắc của đường thẳng d là :

( điều kiện a.b.c 0 )

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d (nếu

có) biết đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1; -4) và có chỉ phương là =(-3; 2; -1)?

Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm A, B cho trước.

Phương pháp: - VTCP của d là - Chọn điểm đi qua là A hoặc B

- Đưa bài toán về dạng 1

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3) Viết phương trình tham số

của đường thẳng AB?

Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( )

Phương pháp: -VTPT của mặt phẳng ( ) là VTCP của đường thẳng d

đưa bài toán về dạng 1

Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,

viết phương trình tham số của d biết d đi qua M(-2; 4; 3)

và vuông góc với ( ): 2x - 3y – 6z + 19 = 0?

Dạng 4 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.

Phương pháp: - VTCP của d’ chính là VTCP của d

đưa bài toán về dạng 1

Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ

oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d

biết đường thẳng d đi qua điểm A(2; -5; 3) và song song với d’ ( t là tham số)?

Dạng 5 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)

Phương pháp: - VTCP của d là = [ P, q]

- Đưa bài toán về dạng 1.

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm M(3; 1; 5) và

song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0?

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc

với đường thẳng ( không vuông góc với (P))

Phương pháp: VTCP của d là = [ P, ]=>Đưa bài toán về dạng 1.

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Trong không gian với hệ

toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường

thẳng d biết đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1; 3),

song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với d’: (t là tham số) ?

Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 và d 2 (d 1

và d 2 là hai đường thẳng chéo nhau)

Phương pháp: - VTCP của d là = [ , ] => Đưa bài toán về dạng 1.

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d

biết d đi qua điểm M(2; -3; 4), vuông góc với d1: ( t là tham số ) và d2: ?

Dạng 8: Viết phương trình tham số d là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng cắt nhau

Phương pháp: Đường thẳng d gồm các điểm vừa thuộc (P) vừa thuộc (Q) nên tọa độ M là

nghiệm của hệ: Bây giờ ta có thể viết phương phương trình tham số của d bằng một trong các cách sau:

Cách 1: Tìm tọa độ một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó rồi viết phương trình tham số của d.

Cách 2: Tìm tọa độ 2 điểm A và B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó.

Cách 3: Trong hệ (I) đặt

rồi tìm x & y theo t ta được phương trình

tham số của d

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng (P) & (Q) lần lượt

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M đồng

thời cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2

Phương pháp1: -Tìm tọa độ B(theo ) và C( theo )

-Từ điều kiện M, B, C thẳng hàng ta xác định

được toạ độ của B và C

-Đưa bài toán về dạng 2

Phương pháp2:

-Viết phương trình mp(P) chứa M và d1

-Viết phương trình mp(Q) chứa M và d2

-Đường thẳng d nếu có là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q)

-Kiểm tra lại suy ra d là đường thẳng cần tìm

Bài tập áp dụng: Bài 1Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết PTTS của đường thẳng d biết d đi qua

điểm A(1; 1; 0) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) : và (d2) : ?

Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng

thời cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2

Phương pháp1:

-Giả sử B và A lần lượt là giao điểm của d với d1 và d2

=> Toạ độ B và A lần lượt theo tham số

-Do d//d’ nên và cùng phương

=> giá trị của tham số => toạ độ 2 điểmB và A

-Đường thẳng d là đường thẳng đi qua A và nhận là VTCP

Phương pháp2: - Viết phương trình mp(P) chứa

- Viết phương trình mp(Q) chứa

- Đường thẳng d nếu có là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng (P) & (Q)

-Nếu suy ra d là đường thẳng cần tìm

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d biết d song

song với d’ : x - 4 = đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 với d1 : và d2 :

?

Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2

Phương pháp1:

-Giả sử d cắt d2 tại B toạ độ B ( theo ) => toạ độ

-Vì d d1 => giá trị => toạ độ điểm B

-Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và nhận là VTCP

Phương pháp2:

-Viết phương trình mp(P) chứa A và vuông góc với d1 Khi đó d chứa trong mặt phẳng (P)

-Tìm giao điểm B của d2 và mp(P)

-Khi đó d đi qua A và B

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đt d đi qua A(0;1;1), vuông

góc với đt d1 và cắt đt d2 cho bởi: (d1): và (d2) : ?

Dạng 12 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d1

Phương pháp:

-Gọi => toạ độ B theo tham số t

-Do AB d1

=> giá trị của tham số t => toạ độ B

-Vậy d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua

A(1;2;-2), vuông góc với d’ và cắt d’ trong đó d’ có phương trình ( t là tham số)?

Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng d nằm

trong mp(P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2

Phương pháp:

- Nhận xét giao điểm của d1 và d2 với d chính là

giao điểm của d1 và d2 với mp(P)

- Xác định A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2

với (P)

-Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng

đi qua 2 điểm A và B

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d nằm trong

mp(P) : y + 2z = 0 đồng thời cắt cả 2 đường thẳng d1: và d2 : ?

Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , nằm trong mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng

Phương pháp:

-Giao điểm A của đường thẳng cũng

chính là giao điểm của

-Đường thẳng d đi qua 2 điểm

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d đi qua

M(0;2;0) ; nằm trong mp(P) : x+ 2y + z - 4 = 0 và cắt đường thẳng d1: ?

Dạng 15 : Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song d1 và d 2

đồng thời d nằm trong mặt phẳng chứa d 1 và d 2

Phương pháp:

- VTCP của d là VTCP của d1 hoặc d2

- Xác định toạ độ điểm M d1, N d2

toạ độ trung điểm I của MN thuộc d

-Vậy đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua I và nhận là VTCP

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d1: ( t là tham số ) và d2:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2 đồng thời cách đều hai đường thẳng đó?

Dạng 16: Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d 2

chéo nhau.

Phương pháp:

Cách 1

- Lấy A d1 và B d2 tọa độ A, B theo

=>Toạ độ của theo

- Để AB là đường vuông góc chung của thì =>

- Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B

Cách 2

- VTCP của đường thẳng d =>

-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1

-Xác định A là giao điểm của d2 và mp(P)

-Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận là VTCP

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1:

và d2 : Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2?

Dạng 17: Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P)

Phương pháp: + Nếu thì hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) là 1 điểm

+ Nếu d’ thì

+ Nếu d //(P) thì

*Xác định A

*Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P)

*d’ là đường thẳng đi qua B và //d

+ Nếu d không vuông góc với mp(P) thì:

*Xác định A ( A không trùng với M)

*Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P)

*d’ là đường thẳng đi qua 2 điểm M và B

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d’ : trên mặt phẳng (P): 2x- 3y + z +1 = 0?

Dạng 18: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt ( ) sao cho khoảng cách từ

M đến đường thẳng d đạt giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

+ Viết phương trình mp(P) chứa A và Khi đó

+Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của M lên (P) & d

+ d là đường thẳng qua A và H

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,

Cho điểm & Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt , sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d đạt giá trị nhỏ nhất?

PHẦN IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Bài 1 Trong không gian oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:

Bài 2 Trong không gian oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:

Bài 3 Trong không gian Oxyz ,Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2;-1) và nhận vec tơ

làm vec tơ chỉ phương là:

Bài 4 Trong không gian Oxyz ,Phương trình đường thẳng đi qua A(4;2;-6) và song song với đường thẳng :

A. B C D

Bài 5 Trong không gian Oxyz ,Cho đường thẳng (d) : Phương trình chính tắc của đường thẳng

d là :

Bài 6 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm và là:

Bài 7 Phương trình chính tắc đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng

là:

Bài 8 Phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng

là:

Bài 9 Phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với là:

Bài 10 Phương trình đường thẳng giao tuyến chung của 2 mặt phẳng

là:

A B.

Bài 11 Phương trình đường thẳng đi qua điểm ; cắt và vuông góc với đường thẳng

là:

thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với là:

Bài 13.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y-2z-1=0 và đường thẳng đi qua

A(-1,0,1) có vtcp (1,2,0).Phương trình đường thẳng đi qua M(1,2,1), song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d là:

tại điểm M Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng có phương trình

là :

B C D

Bài 15.Trong không gian Oxyz ,Cho và Phương trình đường thẳng nằm trong (P) có vectơ chỉ phương và cách điểm A một khoảng bằng là:

C D. hoặc

Bài 16 Phương trình đường thẳng đi qua điểm vuông góc với đường thẳng

đường vuông góc chung của là:

Bài 18.Trong không gian Oxyz ,Cho đường thẳng Phương trình đường vuông góc chung của

d và trục Ox là:

A B C D

Bài 19Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng (P) : và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P), đường thẳng có khoảng cách từ B đến đường thẳng đó nhỏ nhất là: