lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương

Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể.. Đặc biệ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN VẬT LÝ

XW

LÊ GIANG BẮC LỚP DH5L

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

LẬP BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG CỦA HỆ MẠNG TINH THỂ LẬP PHƯƠNG

Giảng viên hướng dẫn: ThS VŨ TIẾN DŨNG

Long Xuyên, tháng 05 năm 2008

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại Học An Giang, khoa sư phạm và tổ bộ môn Vật Lý đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được tham gia nghiên cứu khoa học

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn giảng viên hướng dẫn là thầy Vũ Tiến Dũng

đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nguồn tài liệu quý báu để tôi hoàn thành khoá luận này đúng thời hạn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả bạn bè và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài Tôi hy vọng rằng, kết quả nghiên cứu của khoá luận sẽ không phụ lòng mong mỏi của mọi người và giúp ích cho việc tự học, tự nghiên cứu của bạn đọc

LỜI NÓI ĐẦU

Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt

là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng thêm nổi bật Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết

Trong khi học tập môn vật lý chất rắn đại cương, tôi thấy thích thú và bị lôi cuốn bởi môn học này Bởi lẽ đó, mà tôi quyết định sẽ tìm hiểu và khám phá hơn nữa về môn Đặc biệt nhất là về: cấu trúc tinh thể, hệ lập phương, lý thuyết về dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của chất rắn Tôi quyết định chọn tên của khóa

luận là: “ Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương”

để nghiên cứu và tìm hiểu Trong đề tài này tôi trình bày các kiến thức về cấu trúc của mạng tinh thể, lý thuyết về dao động mạng và trên cơ sở đó đi thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của chất rắn do dao động của mạng tinh thể Sau đó, sẽ áp dụng cho hệ mạng tinh thể lập phương và sẽ giải thích một số hiện tượng vật lý có liên quan ở chương trình phổ thông

Chắc chắn rằng khóa luận này còn có những thiếu sót và hạn chế Rất mong được

sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, và bạn đọc để cho khóa luận ngày được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

An Giang, tháng 04 năm 2008 Sinh viên thực hiện

Lê Giang Bắc

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN

X#"W

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Lời nói đầu ii

PHẦN I MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

1 Mục đích nghiên cứu 1

2 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

III Khách thể và đối tượng nghiên cứu 1

1 Khách thể nghiên cứu 1

2 Đối tượng nghiên cứu 1

IV Phương pháp nghiên cứu 2

V Phạm vi nghiên cứu 2

VI Giả thuyết khoa học 2

VII Đóng góp mới của đề tài 2

VIII Bố cục của khóa luận 2

PHẦN II NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

I Cấu trúc của mạng tinh thể 3

1 Mạng tinh thể 3

1.1 Cấu trúc tinh thể 3

1.2 Mạng không gian 3

1.3 Các tính chất đối xứng của mạng không gian 4

1.4 Phân loại mạng Bravais 6

1.4.1 Hệ lập phương 6

1.4.2 Hệ tứ giác 6

1.4.3 Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc) 7

1.4.4 Hệ trực thoi (hay hệ tam giác) 7

1.4.5 Hệ đơn tà 8

1.4.6 Hệ tam tà 8

1.4.7 Hệ lục giác 8

1.5 Sơ lược về hệ mạng tinh thể lập phương 8

1.5.1 Mạng tinh thể lập phương đơn giản 9

1.5.2 Mạng tinh thể lập phương tâm khối 9

1.5.3 Mạng tinh thể lập phương tâm mặt 9

2 Mạng đảo 9

2.1 Khái niệm mạng đảo 9

2.2 Tính chất của các vectơ mạng đảo 10

2.3 Các tính chất của vectơ mạng đảo 10

2.4 Ô cơ sở của mạng đảo 10

2.5 Ý nghĩa vật lý của mạng đảo 11

3 Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman 11

II Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể 12

1 Dao động chuẩn của mạng tinh thể 12

2 Bài toán dao động mạng 12

2.1 Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử 14

2.1.1 Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1) 16

2.1.2 Trường hợp a q=±π .16

2.2 Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử 17

3 Dao động mạng ba chiều 20

4 Tọa độ chuẩn 24

III Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể 27

1 Lượng tử hóa dao động mạng 27

2 Phonon 28

2.1 Phương pháp chuẩn hạt 28

2.2 Tính chất của chuẩn hạt 28

2.3 Phonon 29

2.4 Tính chất của phonon 29

CHƯƠNG II THIẾT LẬP BIỂU THỨC TINH NHIỆT DUNG CỦA HỆ MẠNG TINH THỂ LẬP PHƯƠNG .31

I Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung 31

II Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung 32

1 Hàm phân bố Bose - Einstein 32

2 Lý thuyết Einstein 33

2.1 Trường hợp ở miền nhiệt độ cao 34

2.2 Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp 34

3 Lý thuyết Debye 35

3.1 Trường hợp ở miền nhiệt độ cao 38

3.2 Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp 39

III Áp dụng công thức nhiệt dung cho mạng tinh thể lập phương 40

1 Áp dụng biểu thức nhiệt dung cho hệ mạng lập phương 40

2 Tính nhiệt dung mol của một số chất 43

IV Giải thích một số hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông 43

1 Phân biệt chất rắn kết tinh và chất rắn vô định hình 43

2 Những tính chất nhiệt của vật rắn 45

2.1 Sự giãn nở vì nhiệt của vật rắn 45

2.2 Nhiệt dung mol vật rắn 46

PHẦN III KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

PHẦN I MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng hàng ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng hoặc thể khí Do vậy, vật lý học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu sự vận động của vật chất ở ba thể tồn tại trên Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng thêm nổi bật

Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết

Hiện nay, ở nước ta cùng với nhu cầu nghiên cứu và sử dụng các vật liệu rắn, đặc biệt là vật liệu mới ngày càng tăng Chính vì thế, mà ngành vật lý chất rắn đã được phát triển rất nhanh trong những năm qua

Trong khi học tập môn vật lý chất rắn, tôi thấy mình bị lôi cuốn bởi môn học này, nên tôi thấy mình cần phải tìm hiểu và khám phá hơn nữa về nó Đặc biệt nhất là về: cấu trúc tinh thể, hệ lập phương, các dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của nó

Chính vì những lý do trên, tôi quyết định chọn tên đề tài là: “ Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương” để nghiên cứu và có được hiểu

biết sâu rộng hơn về vấn đề này

II Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

1 Mục đích nghiên cứu

Khảo sát tính chất nhiệt của hệ mạng tinh thể lập phương Qua đó, giải thích một

số hiện tượng vật lý liên quan đến chất rắn được trình bày trong chương trình phổ thông

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về cấu trúc tinh thể của hệ lập phương, dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của vật rắn

Lập biểu thức nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương

III Khách thể và đối tượng nghiên cứu

1 Khách thể nghiên cứu

Hệ mạng tinh thể lập phương Chương trình vật lý phổ thông

2 Đối tượng nghiên cứu

Tính chất nhiệt và thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương

IV Phương pháp nghiên cứu

Trong khi thực hiện đề tài này, tôi có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau

đây:

- Phương pháp đọc sách và tài liệu tham khảo

- Phương pháp hệ thống hóa lý thuyết

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

- Phương pháp gần đúng

V Phạm vi nghiên cứu

Thiết lập biểu thức tính nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương theo quan

điểm năng lượng và chỉ xét đến đóng góp của dao động mạng vào tính chất nhiệt của chất rắn

VI Giả thuyết khoa học

Bằng lý thuyết dao động mạng, có thể thiết lập được biểu thức tính nhiệt dung của

hệ mạng tinh thể lập phương và giải thích được một số hiện tượng vật lý liên quan đến chất rắn trong chương trình Vật lý phổ thông

VII Dự kiến đóng góp của đề tài

Phát triển được hướng tiếp cận về tính chất nhiệt của mạng tinh thể lập phương

Giải thích chính xác và hoàn chỉnh các tính chất vật lý liên quan đến chất rắn trong chương trình vật lý phổ thông, làm tiền đề để nâng cao chất lượng dạy và học ở phổ thông Làm phong phú thêm tư liệu học tập về vật lý chất rắn

VIII Bố cục của khóa luận

Bố cục của khóa luận gồm có 3 phần:

Phần I Mở đầu (2 trang) trình bày về lý do chọn đề tài, mục đích và nhiệm vụ, đối

tượng và khách thể nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, giả thuyết khoa học, đóng góp của đề tài và bố cục của khoá luận

Phần II Nội dung (43 trang) gồm hai chương

Chương I Cơ sở lý thuyết

I Cấu trúc của mạng tinh thể

II Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể

III Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể

Chương II Thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng lập phương

I Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung

II Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung

III Áp dụng cho hệ mạng tinh thể lập phương

IV Giải thích một số hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông

Phần III Kết luận (1 trang) trình bày kết quả đạt được và những hạn chế của khóa

luận

PHẦN II NỘI DUNG

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I Cấu trúc của mạng tinh thể

1 Mạng tinh thể

Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn một nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử gọi là cơ sở của mạng tinh thể đó Trong các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có cấu trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên tử phức tạp hơn đơn vị có thể chứa một vài nguyên tử hoặc phân tử

1.1 Cấu trúc tinh thể

Cấu trúc tinh thể là dạng thực của tinh thể chất rắn nếu ta đặt nguyên tử hay nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hay gần mỗi nút mạng Trong các tinh thể phân tử ở mỗi nút mạng là mỗi phân tử có chứa hàng chục có khi hàng trăm nguyên tử Nguyên

tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy gọi là gốc

Do đó, có thể viết một cách tượng trưng như sau:

Mạng không gian + gốc = Cấu trúc tinh thể

Trong không gian, các nguyên tử phân tử được sắp xếp một cách có trật tự đều

đặn, tuần hoàn trong không gian mạng tinh thể

1.2 Mạng không gian

Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể Ta bắt đầu bằng việc khảo sát tinh thể lí tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là mọi nơi, nó đều chứa những loại nguyên tử như nhau, được phân bố như nhau Tinh thể lí tưởng phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn làm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử

Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp Ở các tinh thể đơn giản như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp chỉ chứa một nguyên tử

Ở các tinh thể phức tạp, có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử

Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong không gian Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc Với tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân

bố trong mạng không gian

Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ a1, a2, a3, gọi là ba vectơ tịnh tiến

cơ sở Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tùy ý có bán kính

vectơ r , ta thấy nó giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ r ':

'

r = r + n1 a + n21 a + n32 a3 (1.1.1)

Trong đó: n1, n2, n3 là các số nguyên tùy ý

Tập hợp các điểm có bán kính vectơ r ' (sau này gọi là điểm r ') xác định theo (1.1.1) với các giá trị khác nhau của n1, n2, n3 lập thành mạng không gian Các điểm

đó gọi là nút của mạng không gian

Ba vectơ cơ sở a , 1 a , 2 a cũng đồng thời xác định các trục của hệ tọa độ trong 3

tinh thể Nói chung, đó là hệ tọa độ không vuông góc Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp

Hình 1.1 Minh họa một số cách chọn các vectơ cơ sở cho mạng hai chiều

Sự lựa chọn ba vectơ cơ sở, và do đó lựa chọn ô sơ cấp không phải là duy nhất Hình vẽ 1.1 cho ta thấy một vài thí dụ về cách chọn các vectơ cơ sở và ô sơ cấp trong mạng hai chiều

Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho nó có dạng đối xứng trung tâm Ô như vậy, gọi là ô Vicnơ – Daixơ (Wignet – Seitz) Các ô này được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng nối nút mạng đang xét với các nút mạng lân cận

Như vậy, mạng lí tưởng là một khái niệm toán học, nó bao trùm toàn bộ không gian, và có tính tuần hoàn trong không gian đặc trưng bằng vectơ r ' như trên Từ công thức (1.1.1) ta thấy chỉ cần biết các vectơ cơ sở thì ta có thể xác định được toàn mạng

Mạng tinh thể lí tưởng chỉ là hình ảnh trừu tượng hóa của những tinh thể có thực trong tự nhiên hoặc nhân tạo Tinh thể thực cũng có cấu trúc tuần hoàn, nhưng khác với tinh thể lí tưởng ở chỗ: nó hữu hạn, nghĩa là có kích thước xác định; sự bố trí các nhóm nguyên tử ở các nút mạng không tuyệt đối giống hệt nhau mà có những sai hỏng Những sai hỏng này có thể xảy ra trong phạm vi một nút hay một tập hợp nút Ngoài ra, các nguyên tử không cố định mà thực hiện dao động quanh vị trí cân bằng của chúng Tuy nhiên, khái niệm mạng tinh thể lí tưởng giúp ta bước đầu hiểu được bản chất dị hướng của các đặc trưng vật lý cũng như ảnh hưởng của cấu trúc tuần hoàn lên các tính chất đó của tinh thể thực

Mạng tinh thể được xác định bởi các chỉ số Miller (hkl) Chỉ số Miller cho phép xác định đường thẳng mạng, mặt phẳng mạng và hướng của mạng tinh thể Ngoài ra, còn giúp ta xác định thể tích ô cơ sở

1.3 Các tính chất đối xứng của mạng không gian

Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn tịnh tiến Ngoài ra, tùy vào các trường hợp cụ thể, chúng còn có (hoặc không có) các tính chất đối xứng khác nữa Phép đối xứng của tinh thể được định nghĩa chung như sau: Nếu sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất

×

× Hình 1.2

kì trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới hoàn toàn giống như vị trí cũ (chỉ có sự đổi chỗ của các nguyên tử cùng loại), thì phép biến đổi này được gọi là phép đối xứng của tinh thể Các phép biến đổi của mạng không gian là: đối xứng với phép tịnh tiến, đối xứng với phép quay quanh một trục xác định, đối xứng với phép nghịch đảo, đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng

Đặc điểm cơ bản của mạng không gian là tính chất đối xứng của nó Điều này được thể hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi, hay nói một cách khác là mạng trùng lại với chính nó khi ta thực hiện một số phép biến đổi

Mạng không gian có tính chất đối xứng tịnh tiến Điều này ta thấy được khi thực

hiện một phép dịch chuyển toàn bộ mạng không gian đi một vectơ R , gọi là vectơ

tịnh tiến: R=n1a1+n2a2+n3a3 (n1, n2, n3 là những số nguyên) Sau phép dịch chuyển này, một nút mạng nào đó đến chiếm vị trí của nút mạng khác Toàn bộ mạng

không có gì thay đổi Hai nút mạng bất kì được nối với nhau bằng vectơ tịnh tiến R Nếu ta lấy điểm gốc ở một nút mạng, thì R là vectơ vị trí của các nút mạng, gọi là

vectơ mạng

Mạng không gian có tính đối xứng với phép quay quanh một số trục Thật vậy, ta hãy xét mạng vuông hai chiều như hình vẽ 1.2,

có thể coi nó như hình chiếu của mạng không

gian trên mặt phẳng, nghĩa là phía trên và phía

(hoặc một trong các điểm có đánh dấu X như

trên hình vẽ 1.2, thì mạng lại trùng với chính

nó Trục quay như vậy, gọi là trục quay bậc 4, và mạng đang xét đối xứng với phép quay quanh trục bậc 4

Mạng không gian chỉ có thể có trục quay bậc n = 2, 3, 4 và 6 Khi quay mạng một góc

n

π

ϕ= 2 mạng lại trùng với chính nó Không tồn tại các mạng có trục quay bậc 5, bậc 7 hoặc cao hơn

Mạng không gian có tính đối xứng nghịch

đảo Phép nghịch đảo là phép biến đổi, trong đó

vectơ vị trí đổi dấu: r biến thành r− Như vậy,

mạng không gian có tâm đối xứng Mạng vuông

hai chiều trên hình vẽ 1.2 bất biến với phép

nghịch đảo và có tâm đối xứng

Mạng không gian có thể đối xứng với phép

phản xạ qua một số mặt phẳng Phép nghịch đảo

chính là gồm một phép quay góc π và phản xạ

qua mặt phẳng vuông góc với trục quay và đi

qua tâm đối xứng Ở hình vẽ 1.3, ta có O là tâm

C góc quay π

Hình 1.3

quay góc π

Các phép biến đổi đối xứng vừa nói đến ở trên, có thể cùng tồn tại ở một mạng không gian Tuy nhiên, thực tế chỉ đối xứng với một số trong các phép biến đổi đó

1.4 Phân loại mạng Bravais

Dựa trên các tính chất đối xứng đối với nhóm tịnh tiến, các mạng Bravais được phân chia ra làm 14 loại Ngoài tính đối xứng

đối với nhóm tịnh tiến, mỗi mạng Bravais còn

có tính đối xứng đối với một nhóm điểm nào

đó Các mạng có cùng một nhóm điểm tạo

thành một hệ Căn cứ vào tính đối xứng với

các nhóm điểm khác nhau 14 mạng Bravais

được chia làm 7 hệ, ứng với 7 loại ô sơ cấp

khác nhau, đó là các hệ: lập phương, tứ giác,

trực giao, trực thoi, đơn tà, tam tà, lục giác

Mỗi hệ được đặc trưng bởi quan hệ giữa các

vectơ cơ sở a1,a2,a3 và các góc α, β, γ giữa

các vectơ đó

1.4.1 Hệ lập phương

Hệ lập phương có a1 = a2 = a3 =a ; α =β =γ =900 Ô sơ cấp là hình lập phương

Hệ có trục quay bậc 4 qua tâm của các mặt đối diện, bốn trục quay bậc 3 trùng với các đường chéo chính của hình lập phương, sáu trục quay bậc 2 qua điểm giữa của các cạnh đối diện, sáu mặt phẳng phản xạ đi qua các cạnh đối diện, ba mặt phẳng phản xạ chứa trục bậc và song song với các mặt của hình hộp Hệ lập phương có ba loại mạng: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối (hay còn gọi tâm thể), lập phương tâm mặt (hay còn gọi tâm diện)

1.4.2 Hệ tứ giác

Hệ tứ giác có a1 = a2 ≠ a3 ; α =β =γ =900 Ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ đứng, đáy vuông Hai phương a và 1 a tương đương nhau Phương của 2 a phân 3

biệt với hai phương trên và gọi là phương c Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương

c , bốn trục quay bậc 2 vuông góc với trục bậc 4 và 5 mặt phẳng phản xạ Hệ tứ giác

có hai loại mạng: tứ giác đơn và tứ giác tâm khối

1.4.3 Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc)

Hệ trực giao có a1≠ a2 ≠ a3 ; α =β =γ =900 Ô sơ cấp có dạng hình hộp chữ nhật Hệ có ba trục quay bậc 2 vuông góc với nhau và ba mặt phẳng phản xạ vuông góc với các trục quay Hệ trực giao có 4 loại mạng: trực giao đơn, trực giao tâm khối, trực giao tâm đáy, trực giao tâm mặt

1.4.4 Hệ trực thoi (hay hệ tam giác)

Hệ trực thoi có có a1 = a2 = a3 ; α,β,γ ≠900 Hệ có một trục quay bậc 3, ba trục bậc 2, cắt nhau dưới góc 600 và ba mặt phẳng phản xạ nằm giữa các trục bậc 2 Hệ chỉ có một loại mạng là mạng đơn

1.4.5 Hệ đơn tà

Hệ đơn tà có a1≠ a2 ≠ a3 ; β =γ =900,α ≠900 Hệ có một trục quay bậc 2 và mặt phẳng phản xạ vuông góc này Hệ có hai loại mạng: đơn và tâm khối

1.4.6 Hệ tam tà

Hệ tam tà có a1≠ a2 ≠ a3 ; α,β,γ ≠900 Hệ chỉ đối xứng với phép nghịch đảo Hệ chỉ có một mạng đơn

1.4.7 Hệ lục giác

Hệ lục giác có ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy là

hình thoi, có góc 600 Tuy nhiên, để nhấn mạnh đến tính

đối xứng của hệ lục giác, người ta thường ghép thêm vào

hai ô sơ cấp nữa, đặt lệch nhau 1200, để có ô dưới dạng

lăng trụ đứng, đáy lục giác, có nút mạng ở tâm hai đáy Ô

này có a1 = a2 ≠ a3 (a3 gọi là c); α = β = 900; γ = 1200

Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau

góc 300, một mặt phẳng phản xạ vuông góc với trục bậc 6

và sáu mặt phẳng chứa trục bậc 6 và một trục bậc 2

1.5 Sơ lược về hệ mạng tinh thể lập phương

Hệ tinh thể lập phương là một hệ tinh thể có các ô sơ cấp hình lập phương Đây là một trong những tinh thể đơn giản nhất và phổ biến nhất của các tinh thể kim loại

Hình 1.11

Phổ biến nhất là lập phương tâm khối với các nguyên tố như: Na, Cr, W,……và lập phương tâm mặt như: Cu, Al, Pb, Fe…

1.5.1 Mạng tinh thể lập phương đơn giản

Ô cơ sở (hay ô sơ cấp) hình lập phương, với cạnh là a

Trong một ô mạng cơ sở của tinh thể lập phương đơn giản có

8 nguyên tử ở 8 đỉnh Mỗi nguyên tử này là chung cho 8 ô

mạng cơ sở tiếp xúc nhau ở một đỉnh Vậy trong một ô mạng

cơ sở lập phương đơn giản có 1 nguyên tử vì: n =

8

1.8 =1

Thể tích ô cơ sở của mạng lập phương đơn giản là : v c =a3

1.5.2 Mạng tinh thể lập phương tâm khối

So với một ô mạng lập phương đơn giản, mỗi ô mạng cơ

sở của lập phương tâm khối có thêm một nguyên tử ở tâm

của nó Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương tâm khối có

2 nguyên tử Như vậy, n =

8

1.8 + 1 = 2 nguyên tử Thể tích ô

cơ sở của mạng lập phương tâm khối là :

2

3

a

1.5.3 Mạng tinh thể lập phương tâm mặt

So với một ô mạng lập phương đơn giản, mỗi ô mạng cơ sở của lập phương tâm mặt có thêm 6 nguyên tử ở 6 mặt mà mỗi nguyên tử này cho

hai mặt tiếp xúc nhau của hai ô mạng cơ sở tiếp xúc qua mặt

đó Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương tâm mặt có 4

nguyên tử Như vậy, số nguyên tử trong một ô cơ sở là n =

2.1 Khái niệm mạng đảo

Mạng đảo là một khái niệm hết sức quan trọng của vật lý chất rắn, do Josiah

Willard Gibbs (1839 – 1903) đề xuất Sự xuất hiện của mạng đảo là một hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng thuận (mạng tinh thể thực)

Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ cơ sở là a1, a2, a , ta định nghĩa 3

mạng đảo là mạng được xây dựng từ ba vectơ b1, b2, b , được xác định như sau: 3

Hình 1.12

Hình 1.13

Hình 1.14

3 2 1

1 3 2

3 2 1

3 2 1

.2

.2

.2

a a a

a a b

a a a

a a b

a a a

a a b

π

(1.1.2)

Các vectơ b1, b2 , b , là các vectơ cơ sở của mạng đảo Vị trí các nút mạng đảo 3

được xác định bởi vectơ mạng đảo có dạng:

3 3 2 2 1

1b m b m b m

Trong đó: m1, m2, m3 là các số nguyên dương hoặc âm có thể bằng 0

2.2 Tính chất của các vectơ mạng đảo

Tính chất 1:

2 1 3

1 3 2

3 2 1

,,,

a a b

a a b

a a b

2.4 Ô cơ sở của mạng đảo

Cách thông thường để xây dựng ô cơ sở của mạng đảo là xây dựng hình hộp không gian trên cơ sở các vectơ b1, b2 , b Ô cơ sở Wigner – Seitz của mạng đảo 3

được gọi là vùng Brillouin (thứ nhất) của mạng thuận

Có thể tính ra rằng thể tích v của ô cơ sở của mạng Bravais (mạng thuận) và thể tích Ω của mạng đảo liên hệ với nhau theo công thức:

2.5 Ý nghĩa vật lý của mạng đảo

Khái niệm mạng đảo nảy sinh ra một cách trực tiếp từ bài toán khai triển Fourier của một hàm tuần hoàn Tuy vậy, ý nghĩa vật lý của khái niệm này sâu sắc và rộng lớn hơn nhiều vì nó đại diện cho tính chất tuần hoàn của mọi loại chuyển động xảy ra trong tinh thể tuần hoàn tịnh tiến Có thể nói rằng khái niệm mạng đảo có các ý nghĩa vật lý sau đây:

- Mạng đảo là khung của không gian chuyển động

- Mạng đảo thể hiện tính chất: Tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng tuần hoàn

- Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ tia X thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ (chứ không phải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh này chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta có thể suy ra mạng thuận (mạng tinh thể thực)

3 Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman

Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể nhiều nguyên tử (N>>1), nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô hạn, chẳng hạn tính đối xứng không còn đúng nữa, ta phải xét điều kiện ở biên tinh thể Trong mạng tinh thể một chiều đó là đầu và biên của dãy nguyên tử Tuy nhiên, nếu mạng tinh thể là

đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ, và tính chất của tinh thể gần như khi mạng

là vô hạn

Để đảm bảo tính chất tuần hoàn tịnh tiến của các nút trong mạng tinh thể Chúng

ta đưa ra điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman như sau:

Dao động của nguyên tử cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ 1) Bằng cách đó, ta coi các dãy giống nhau được xếp kế tiếp nhau thành một dãy dài vô hạn Cũng có thể tưởng tượng là mạng một chiều có đầu và cuối nối nhau thành một vòng kín Giả thiết là điều kiện tuần hoàn giúp cho việc tính toán được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì đến kết quả vật lý

Từ điều kiện tuần hoàn, ta thấy dao động thứ m và dao động thứ (m + N) là như nhau:

r m =r m+N = Ae i q(m+N)a−ϖt

= Ae i(qma −ϖt)e iqNa

iNqa

m e r

=Muốn vậy: 1e iqNa =

Hay: qNa 2= nπ (với n∈Ζ)

Hoặc: n

L Na

N n

II Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể

1 Dao động chuẩn của mạng tinh thể

Các nguyên tử trong vật rắn thực hiện dao động xung quanh vị trí cân bằng của mình Khi dao động thì chúng tương tác với nhau mạnh, dao động này rất phức tạp Việc mô tả một cách chính xác chuyển động của dao động này vô cùng khó khăn Vì thế, trong đề tài này tôi đã sử dụng phương pháp gần đúng và các cách đơn giản hóa khác nhau để giải bài toán này Thay cho việc mô tả dao động của từng hạt riêng lẻ,

ta khảo sát sự chuyển động của cả hệ trong tinh thể như là chuyển động của một hệ được sắp xếp một cách đều đặn trong không gian Cơ sở của việc đơn giản hóa này là

ở chỗ các lực liên kết giữa các hạt trong hệ mạnh, dao động xuất hiện ở một hạt sẽ nhanh chóng lan truyền đến hạt bên cạnh, bằng cách đó trong tinh thể xuất hiện chuyển động của tất cả các hạt trong hệ dưới dạng sóng đàn hồi Chuyển động dao động này của cả hệ được gọi là dao động chuẩn Số các dao động chuẩn có thể xuất hiện trong mạng bằng số bậc tự do của các hạt có trong tinh thể, tức là 3N (trong đó

N là số hạt có trong tinh thể)

2 Bài toán dao động mạng

Những tính chất quan trọng của vật rắn đều liên quan đến tính dao động của mạng tinh thể Mỗi nguyên tử ở nút mạng (có thể là ion hoặc phân tử) tương tác với những nguyên tử khác và có một vị trí cân bằng trung bình mà nó dao động xung quanh Quá trình này không chỉ hạn chế ở nút mạng đó mà nhờ lực tương tác dao động được lan truyền khắp mạng

Đặc trưng của những sóng dao động này phụ thuộc vào hai yếu tố: loại lực liên kết và cấu trúc của mạng Yếu tố thứ nhất liên quan đến bản chất của nguyên tử trong tinh thể và sự tương tác giữa chúng Yếu tố thứ hai liên quan đến sự sắp xếp các nguyên tử ở trong mạng Thực ra hai yếu tố này không hoàn toàn tách rời nhau ra mà

có ảnh hưởng lẫn nhau Với những tinh thể đã cho những dao động tinh thể riêng này, hay nói cách khác phonon quyết định những tính chất quan trọng của chất rắn Trong tinh thể các nguyên tử phân tử không hoàn toàn nằm cố định tại các nút mạng hay các vị trí xác định mà luôn luôn thực hiện dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng Ta xét tinh thể gồm N ô sơ cấp có khối lượng M Năng lượng dao động của tất

cả các nguyên tử trong mạng là:

U K

E = đ + (1.2.1)

Trong đó: ∑

=

n n

rr& là vận tốc của nguyên tử ở nút R n

Để viết ra dạng tuần hoàn thế năng thì cần phải biết trước lực tác dụng của nguyên

tử Song có thể giải thích một cách tổng quát rằng: Tồn tại một hàm U =

U( , , , )l lr ur1 2 luurN

nào đó biểu thị sự phụ thuộc có tính chất tuần hoàn của thế năng tinh thể vào tọa độ của tất cả các nguyên tử trong tinh thể, hay đúng hơn là độ dịch chuyển tức thời của các nguyên tử này Hàm U = U( , , , )l lr ur1 2 luurN

là thế năng của hệ được tạo nên do tương tác đẩy và hút giữa các nguyên tử trong tinh thể Vectơ lurn

là vectơ vị trí của nguyên tử thứ n:

n n

2

3 3

1 1 1 1

12

2 3

Lực này phụ thuộc vào độ dịch chuyển rrn

của các nguyên tử khác vào các hệ số

⎝ ⎠ Hệ số này đặc trưng cho lực tương tác giữa hai nguyên tử thứ n

và thứ m Nó không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của từng nguyên tử mà vào khoảng cách giữa hai hạt khi chúng cùng ở vị trí cân bằng, tức là vào uur uurR n−R m Ta có thể viết:

( )2

2.1 Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử

Ta xét trường hợp đơn giản nhất là trường hợp “mạng tinh thể một chiều” gồm các nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên một đường thẳng Kết quả của bài toán này cũng áp dụng được cho tinh thể ba chiều nếu ta xét trong một số trường hợp đặc biệt, khi sóng đàn hồi thuần túy là dọc hoặc thuần túy ngang Trong sóng dọc các

nguyên tử dịch chuyển song song với phương truyền sóng, còn trong sóng ngang các nguyên tử dịch chuyển vuông góc với phương truyền sóng Trong các trường hợp này, các nguyên tử nằm trên cùng một mặt phẳng tinh thể vuông góc với phương truyền sóng thì dao động giống nhau Vì thế thay cho việc nghiên cứu dao động của mọi nguyên tử trong tinh thể, ta chỉ cần xét trên mỗi mặt phẳng tinh thể một nguyên

tử Bài toán này được quy về trường hợp mạng tinh thể một chiều

Để cho đơn giản, giả thiết với dãy nguyên tử một chiều, ta chỉ xét sóng ngang, và coi như chỉ có tương tác giữa nguyên tử đang xét với hai nguyên tử gần nó nhất Các nguyên tử cách đều nhau một khoảng a nên ô mạng có kích thước là a Ta viết lại

phương trình chuyển động cho nguyên tử thứ m, nhưng bỏ chỉ số α, β, vì đã giả thiết

chỉ xét dao động vuông góc với dãy nguyên tử Khi đó, theo (1.2.9), ta có:

N n

m n

F r

Nghiệm của các phương trình này là một hàm sóng mô tả sự dao động của nguyên

tử và sự lan truyền của dao động dọc theo tinh thể Ta tìm nghiệm dưới dạng sóng:

t i iqma

m

r e

i Ae r

e i Ae r

M

qa M

αα

2

sin2

sin

M

(1.2.16) Trong đó:

vectơ sóng q Vectơ này có cùng phương chiều với hướng lan truyền của sóng Hình

1.16 biểu diễn sự phụ thuộc của ωtheo q Sau đây, ta sẽ khảo sát sự phụ thuộc của

q

i

vì ei2πm = 1 Như vậy, vectơ

sóng q và q' mô tả cùng một trạng thái dao động của mạng tinh thể ứng với một giá trị ω của tần số dao động; nghĩa là q và q’ tương đương nhau về tính chất vật lí Do tính tuần hoàn này ta chỉ cần xét ω trong khoảng

a

π

2 trên trục q Người ta thường chọn khoảng

π

− , khoảng này chứa mọi giá trị khả dĩ của ω q có thứ nguyên của nghịch đảo chiều dài, nên đó chính là đại lượng được xét trong không gian mạng đảo Trong trường hợp đang xét mạng thuận

có chu kì a, thì mạng đảo có chu kì

a

π

2 Mạng đảo của mạng một chiều là mạng một chiều

Khoảng giá trị

a

q a

π

− trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin thứ nhất Nếu xét tại một thời điểm, thì trạng thái dao động của tinh thể lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian, với chu kì là bước sóng λ Dựa vào biểu thức của hàm sóng

αα

M dq

d

v g = ω = α = (1.2.18)

Như vậy với giá trị q nhỏ, tức là dao động với bước sóng λ lớn, vận tốc truyền năng lượng dao động là một hằng số Kết quả này cũng giống như đối với sóng đàn hồi truyền trong môi trường liên tục

M

a dq

2.2 Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử

Ta xét trường hợp phức tạp hơn, là trường hợp mạng một chiều có chứa hai loại nguyên tử khác nhau Để cho xác định ta giả thiết, hai loại nguyên tử có khối lượng khác nhau Giả sử các nguyên tử có khối lượng M1 và M2 đặt xen kẽ nhau, cách đều nhau một khoảng a Ta giả thiết chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau, và

bỏ qua tương tác xa hơn và chỉ xét sóng ngang Như vậy, ô sơ cấp có kích thước 2a

và mỗi ô chứa hai nguyên tử

Gọi độ lệch của các nguyên tử ở ô thứ m là r1,m và r2,m, ta có thể viết hệ phương trình như sau:

2 2

, 2 , 1 1 , 2 , 1 ,

1 1

m m m

m m

m m m

m m

r r r

r r

M

r r r

r r

M

αα

αα

t am q i m

e A r

e A r

ω

ω

2 1 , 1

2 1 ,

−

=

−

++

−

=

qa i

qa i

e A A A

M

e A A A

M

2 1 2 2

2 2

2 2

1 1

1 2

12

12

ααω

ααω

(1.2.22) Biến đổi hệ phương trình trên ta được:

1

01

2

2 2

2 1 2 2

2 2 1

1 1 2

A M A

e M

A e M

A M

qa i

qa i

αωα

αα

ω

(1.2.23)

Giải hệ phương trình này, ta tìm được các ẩn A1, A2 và ω(q) Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là định thức các hệ số của A1, A2 phải bằng o Tức là:

12

2

2 2

2

2 1

e M M

qa i

qa i

αωα

ααω

(1.2.24)

Đây là phương trình trùng phương đối với ω:

(1 cos2 ) 0

2

2

2 1

2 2

2 1

2 1

M M M

M M

M M

M

2 2 1

2

2 1 2

1

41

11

2 1

2

M M

ω- có dạng giống như trường

hợp mạng tinh thể có chứa một loại nguyên tử Ở q = 0, ω = 0 Với các giá trị q bé, ω∼q Ở các giá trị

Dựa vào hình vẽ ở trên, ta có thể rút ra một nhận xét quan trọng Trên phổ ω(q) có một khoảng giá trị từ

2 1

22

M M

αω

α

ω− = ÷ + = không ứng với nghiệm nào của phương trình truyền sóng trong mạng tinh thể Hay là, trong mạng tinh thể không có dao động ứng với tần số trong khoảng đó Đó là đặc điểm của mạng tinh thể có nhiều nguyên tử trong một ô sơ cấp Trong trường hợp này, ở biên vùng Brillouin thứ nhất

có một khu vực cấm Sóng ứng với tần số trong khu vực đó không lan truyền trong tinh thể được, mà bị hấp thụ mạnh

Nhánh trên biểu diễn ω+ Ở nhánh này, ω ít thay đổi theo q Ở q = 0, ta có

2 1

2 1 max 2

M M

1

M

M A

2 1

2

M M

M

M+α

-+ +

Nhánh dao động âm

q

Hình 1.19

M1 và M2 dao động ngược pha nhau (vì r1,m và r2,m trái dấu nhau) Trong tinh thể ion, các nguyên tử M1 và M2 mang điện tích trái dấu nhau Khi chúng dao động, mômen lưỡng cực điện do chúng tạo nên cũng biến đổi tuần hoàn Ánh sáng (sóng điện từ) tương tác mạnh với dao động mạng thuộc loại này Nói cụ thể hơn, vectơ điện trường

E của ánh sáng tương tác mạnh nới mômen lưỡng cực của tinh thể, nếu ánh sáng có tần số bằng ω+ Chính vì lí do đó, mà nhánh này được gọi là nhánh quang học

Khi q ≈ 0, thì với nhánh âm học (ω-), các nguyên tử dao động gần như cùng pha với nhau giống như các dao động âm học có bước sóng lớn

Sự xuất hiện hai nhánh: âm học và quang học trong phổ dao động của mạng tinh thể là kết quả của việc mạng tinh thể có gốc, tức là trong ô sơ cấp có hai nguyên tử hoặc nhiều hơn

3 Dao động mạng ba chiều

Đối với bài toán dao động của mạng ba chiều chứa một loại nguyên tử ta cần tìm nghiệm cho hệ phương trình có dạng như sau:

( )3

3 1

3 1 3

2 1

3 1 2

1 1

3 1 1

=

−+

=

−+

=

−+

β

β αβα

β

β αβα

m m

N m

m m

N m

m m

N m

r R R U r

M

r R R U r

M

r R R U r

trường hợp ba chiều, r là vectơ có hình chiếu lên ba phương của không gian là rmβ m

(β = 1,2,3 ứng với x, y, z) Nghiệm của hệ phương trình trên được tìm dưới dạng sóng, là tổng hợp các sóng có ω khác nhau và A khác nhau:

Với eβ( )q là các hệ số thực và A( )q là biên độ dao động Tổng lấy theo các giá trị

của q trong vùng Brillouin thứ nhất ta giả thiết mạng tinh thể đơn giản, trong mỗi ô

sơ cấp có một nguyên tử Tinh thể có N1, N2, N3 nguyên tử lần lượt theo các phương

x, y, z Ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho cả ba phương, thì các giá trị hình

chiếu của q lên các phương cũng trở nên gián đoạn Tinh thể chứa N = N1.N2.N3

nguyên tử, thì trong vùng Brillouin thứ nhất có N giá trị của vectơ sóng q Mặt khác,

thể tích của vùng Brillouin thứ nhất (cũng là thể tích của ô sơ cấp mạng đảo) là

vectơ q có gốc ở tâm vùng Brillouin và có ngọn ở một trong các ô này Như vậy,

trong một đơn vị thể tích không gian đảo, có 3

Ta thay rmβ ở (1.2.32) vào phương trình (1.2.30), ta có:

q

N n

m n t

q R q i q

n

e q A q e q

α αβ

ω β

Sau khi rút gọn ta thu được:

1

3 1

R R q i m

R U q

e q

R U q

e q M

1

3 1

Gαβ = 1 ∑ αβ (1.2.36) Thì ta sẽ có được:

e

α αββ

đây là hệ phương trình tìm eβ( )q với β = 1, 2, 3 Muốn có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải bằng 0: