ứng dụng kỹ thuật van der pauw và hiệu ứng hall cho màng mỏng

Các thuộc tính của màng như điện trở mặt, điện trở suất, độ dày, nồng độ hạt tải, độ linh động, loại bán dẫn,v.v… sẽ lần lượt được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau và so sánh vớ

TRƯƠNG TINH HÀ

ỨNG DỤNG KỸ THUẬT VAN DER PAUW

VÀ HIỆU ỨNG HALL CHO MÀNG MỎNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006

TRƯƠNG TINH HÀ

ỨNG DỤNG KỸ THUẬT VAN DER PAUW

VÀ HIỆU ỨNG HALL CHO MÀNG MỎNG

Chuyên ngành:QUANG HỌC

Mã số: 1.02.18 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS LÊ KHẮC BÌNH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006

người đã dành nhiều thời gian hiếm hoi và hết sức quý báu của mình để hướng dẫn và đưa ra nhiều gợi ý sâu sắc, độc đáo cho tác giả trong suốt thời gian thực hiện luận văn này Thầy đã để lại một ấn tượng hết sức sâu sắc về lòng nhẫn nại, bao dung và tinh thần làm việc say mê, tận tụy trong lòng tác giả Những ấn tượng này chắc chắn không phai nhòa trên con đường học vấn và nghiên cứu mà tác giả đang quyết tâm theo đuổi Xin cảm ơn Thầy

Bên cạnh đó, không thể không nhắc đến Th.S Đào Vĩnh Ái- người anh, người đồng nghiệp- đã dìu dắt tác giả vào con đường khoa học thực nghiệm Những chỉ dẫn, gợi ý của anh luôn là những bài học bổ ích được rút ra từ thực tiễn làm việc Anh còn

là người hướng dẫn và cung cấp cho tác giả nhiều vật liệu cần thiết để hoàn thành luận văn này

Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy Cô của Khoa Vật Lý vì những bài giảng nghiêm túc và chất lượng, những giây phút trao đổi thú vị và bổ ích, những lời khuyên nhủ sáng suốt và chân tình trong suốt khoá học

Để thực hiện luận văn này, tác giả còn nhận được sự giúp đỡ quý báu và kịp thời của các bạn đồng nghiệp trẻ ở Khoa Vật Lý Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên TP.HCM khi tiến hành đo đạc và thực nghiệm; những góp ý hữu ích và sắc bén của bạn Lữ Thành Trung- cán bộ giảng dạy của Khoa Vật Lý Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM- cho các chương trình tính toán được thực hiện trong luận văn

Cuối cùng, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc nhất đối với

sự động viên, hỗ trợ lớn lao của những người thân yêu trong gia đình trong suốt những tháng ngày theo đuổi chương trình cao học

Xin chân thành cảm ơn mọi người

TP.HCM, ngày 25 tháng 9 năm 2006

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ………2

MỞ ĐẦU………6

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG HALL………7

1.1 Lịch sử phát hiện……… 7

1.2 Giải thích hiện tượng………8

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP VAN DER PAUW……… 17

2.1 Cơ sở lý thuyết……….17

2.1.1 Xác định điện trở suất……… 17

2.1.2 Xác định nồng độ hạt tải và độ linh động……… 27

2.2 Các vấn đề liên quan đến sai số và cách khắc phục………31

2.2.1 Các nguồn gây ra sai số bên trong……….32

2.2.2 Sai số do dạng hình học của mẫu và cách bố trí điểm tiếp xúc………….34

CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÁC TÍNH CHẤT CỦA MÀNG MỎNG……….40

3.1 Xác định độ dày màng mỏng bằng phương pháp giao thoa………40

3.2 Xác định điện trở suất bằng phương pháp 4 đầu dò………43

3.3 Xác định nồng độ hạt tải bằng phương pháp phổ truyền qua……… 45

CHƯƠNG 4: TIẾN HÀNH THỰC NGHIỆM……… 48

4.1 Mô tả hệ đo và quá trình tạo mẫu đo……… 48

4.1.1 Mô tả hệ đo………48

4.1.2 Quá trình tạo mẫu đo……… 52

4.2 Cách thức tiến hành đo đạc……… 54

4.2.1 Cách thức xác định điện trở suất………59

4.2.2 Xác định độ linh động và nồng độ hạt tải thông qua hiệu ứng Hall…… 63

và phương pháp Van der Pauw……… 70 5.3 Kết luận về loại bán dẫn của mẫu đo……… ….76 5.4 So sánh giá trị nồng độ hạt tải và độ linh động thu được từ phương pháp phổ truyền qua và hiệu ứng Hall……… ………77 5.5 Sự thay đổi của nồng độ hạt tải và độ linh động theo cường độ từ trường … 80

KẾT LUẬN……… ………82 TÀI LIỆU THAM KHẢO……… ….84 PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Bảng tiến trình đo đạc……… 86 Phụ lục 2: Các chương trình tính toán……… 87

DANH MỤC CÁC BẢNG

3 Bảng 4.2: Bảng các giá trị hiệu điện thế cần đo 60

4 Bảng 4.3: Các giá trị hiệu điện thế được đo với chiều dương và

chiều âm của từ trường

64

8 Bảng 5.4: Giá trị thực nghiệm của RS thu được từ phương pháp 4

đầu dò và từ phương pháp Van der Pauw

71

11 Bảng 5.7: Giá trị thực nghiệm của điện trở suất ρ thu được từ

phương pháp 4 đầu dò và từ phương pháp Van der Pauw

75

12 Bảng 5.8: Các giá trị hiệu điện thế Hall của mẫu f16 khi B được áp

theo chiều dương và chiều âm của trục Oz Giá trị ∑Vi thu được <0

cho thấy mẫu thuộc loại bán dẫn loại n

76

13 Bảng 5.9: Các giá trị hiệu điện thế Hall của mẫu f13 khi B được áp

theo chiều dương và chiều âm của trục Oz Giá trị ∑Vi thu được <0

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

STT Ký hiệu của các hình vẽ và đồ thị Trang

1 Hình 1.1: Bản kim loại vàng khi có dòng một chiều đi qua và được

mẫu là a, chiều dày là d

9

4 Hình 2.1: Phương pháp do Van der Pauw đề nghị có thể dùng cho

6 Hình 2.3: Dòng điện 2i đi vào mẫu tại điểm M, chúng ta tính VP-VO 19

7 Hình 2.4: Ta bỏ đi một nữa mặt phẳng bờ MP, đồng thời giảm cường

độ dòng điện đi vào M còn i thì kết quả tính toán bên trên vẫn không

thay đổi

20

8 Hình 2.5: Dòng điện i ra khỏi điểm N, ta tính VP-VO 21

9 Hình 2.6: Ta tính VP-VO trong trường hợp dòng điện i đi vào M và ra

khỏi N

21

10 Hình 2.7: Mẫu có hình dạng giống mẫu ở hình 2.5, trùng với nữa

mặt phẳng phía trên của mặt phẳng z

25

11 Hình 2.8: Một mẫu có dạng bất kỳ, nằm trên mặt phẳng phức t 26

12 Hình 2.9: Kết quả tổng hợp cường độ điện trườngEur

và cường độ điện trường Hall khả kiếnEurH

hướng theo hướng của vectơ mật độ

dòng Jur

29

13 Hình 2.10: Để đo đạc sự biến thiên của hiệu điện thế giữa hai điểm P

và N do từ trường áp vuông góc với bề mặt mẫu gây ra, điện trường

ngang Et được tính tích phân theo đường s từ P đến N’ sau đó từ N’

dọc theo biên đến N

30

14 Hình 2.11: Vị trí và kích thước của các điểm tiếp xúc 35

15 Hình 2.12: Cách bố trí các điểm tiếp xúc trên các cánh tay của mẫu

20 Hình 3.1: Sơ đồ truyền qua của màng mỏng phủ trên đế trong suốt 41

21 Hình 3.2: Phổ truyền qua của màng mỏng phủ trên đế thủy tinh có

23 Hình 3.4: Vị trí đo điện trở trên mẫu, cách biên một đoạn r 45

24 Hình 3.5: Phổ truyền qua và phản xạ của ZnO:Al Giá trị λP được

xác định tại giao điểm của hai đường cong phản xạ (R) và truyền qua

(T)

47

25 Hình 4.1: Bộ phận tạo từ trường gồm 2 cuộn dây và lõi thép chữ U 49

26 Hình 4.2: Biến thế có điện thế thấp được dùng để cấp dòng cho hai

cuộn dây

49

27 Hình 4.3: Mạch điện cấp dòng qua mẫu gồm một biến trở và một 50

điện trở mắc nối tiếp

28 Hình 4.4: Sơ đồ mạch điện cấp dòng cho mẫu đo 50

29 Hình 4.5: Microvolt kế (ở trên) và tesla kế (ở dưới) 51

31 Hình 4.7: Mẫu màng mỏng được định vị trên bảng nhựa và nối dây ở

4 góc bằng keo Ag

52

32 Hình 4.8: Board mạch đỡ mẫu đo sau khi được nối dây hoàn tất 52

34 Hình 4.10: Cách thức bố trí dụng cụ để đo hiệu ứng Hall trong mẫu

màng mỏng

54

35 Hình 4.11: Các mẫu đo có dạng thanh thường được sử dụng trong

kiểu đo theo phương pháp truyền thống

55

36 Hình 4.12: Các hình dạng mẫu đo thường được sử dụng trong kỹ

thuật đo Van der Pauw

55

37 Hình 4.13: Mẫu đo dạng thanh được mắc thêm một mạch cầu bên

ngoài để điều chỉnh VH=0 khi B=0

57

38 Hình 4.14: Các hình dạng mẫu thường được sử dụng trong kỹ thuật

Van der Pauw

58

39 Hình 4.15: Hình dạng mẫu đo và các điện cực được bố trí theo thứ

tự ngược chiều kim đồng hồ

60

40 Hình 4.16: Hai điện trở đặc trưng dọc và ngang và của mẫu 61

41 Hình 4.17: Đo hiệu điện thế Hall tại hai điểm tiếp xúc 2 và 4 khi từ

trường B hướng theo chiều dương của trục Oz

64

42 Hình 5.1: Đồ thị so sánh giá trị RS đo được từ phương pháp 4 đầu dò

và phương pháp Van der Pauw

71

44 Hình 5.3: Đồ thị so sánh các giá trị điện trở suất thu được từ phương

pháp 4 đầu dò và phương pháp Van der Pauw

75

45 Hình 5.4: Đồ thị so sánh các giá trị nồng độ hạt tải n thu được từ

phương pháp phổ truyền qua và phương pháp Hall

78

46 Hình 5.5: Đồ thị so sánh giá trị độ linh động μ thu được từ phương

pháp phổ truyền qua và phương pháp Hall

79

47 Hình 5.6: Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của nồng độ n và độ linh

động μ theo cường độ từ trường B của mẫu f8

80

48 Hình 5.7: Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của nồng độ n và độ linh

động μ theo cường độ từ trường B của mẫu f68

81

Các màng mỏng ZnO:Al là đối tượng nghiên cứu chính của công trình này Các thuộc tính của màng như điện trở mặt, điện trở suất, độ dày, nồng độ hạt tải, độ linh động, loại bán dẫn,v.v… sẽ lần lượt được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau

và so sánh với các giá trị thu được từ phương pháp Van der Pauw

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG HALL

1.1 Lịch sử phát hiện:

Năm 1879, một sinh viên trẻ nguời Mỹ - Edwin H Hall- đã khám phá ra hiện

tượng như sau: khi cho dòng điện một chiều, cường độ I, chạy qua một bản mỏng làm

bằng vàng và được đặt trong từ trường Br

vuông góc với bề mặt của bản thì người ta nhận được một hiệu điện thế giữa hai mặt bên của bản Hiện tượng này sau đó được gọi

Hiệu điện thế nhận được tỷ lệ với tích số của cường độ dòng điện I và độ lớn của cảm ứng từ Br

, tỷ lệ nghịch với chiều dày d của bản

d

IB k

Hệ số tỉ lệ k được gọi là hằng số Hall Hằng số k này tùy thuộc loại vật dẫn

Hiệu ứng Hall sau này đã trở thành một công cụ hết sức quan trọng trong lĩnh vực nghiên cứu các chất bán dẫn trong Vật lý và công nghiệp nhằm xác định điện tích, nồng độ, độ linh động của hạt tải,v.v…Ngoài ra, hai giải Nobel Vật lý năm 1985 và

1998 đã được trao cho các nghiên cứu liên quan đến hiệu ứng Hall lượng tử

1.2 Giải thích hiện tượng

Hiệu ứng Hall là một trong những hiệu ứng galvanic-từ do sự chuyển động của hạt tải trong điện trường và từ trường gây nên Ta biết rằng một điện tích khi chuyển động trong từ trường sẽ bị tác dụng bởi lực Lorentz:

[ ]v x B q

r

v m qvB

r

v m F

(1.2)

và tần số cyclotron

m

qB mv

vqB r

v

ω

Đối với hạt dẫn trong tinh thể thì ngoài chuyển động do trường ngoài, hạt dẫn còn tham gia chuyển động nhiệt và va chạm thường xuyên với các tâm tán xạ trong tinh thể Hai loại chuyển động trên được đặc trưng bởi hai đại lượng thời gian:

- Đối với chuyển động nhiệt: đó là thời gian chuyển động tự do trung bình τ

- Đối với chuyển động dưới tác dụng của từ trường ngoài thì đó là chu kỳ một vòng quay của điện tích trong từ trường

C C

C C

*2

- Nếu T > τ : thì quỹ đạo của điện tích trong từ trường sẽ là từng khúc của quỹ đạo C

tròn ghép lại, trong trường hợp này ta nói từ trường yếu

Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi sẽ giới hạn các nghiên cứu về hiệu ứng Hall xuất hiện trong các từ trường yếu

Để tính toán cụ thể ta sẽ nghiên cứu hiệu ứng Hall trong một mẫu bán dẫn có bề

dày d, bề rộng a, có dòng điện một chiều I chạy qua dọc theo trục x, đồng thời được

đặt dưới một từ trường Br

vuông góc hướng theo trục z như hình 1.2

Hình 1.2: Một mẫu bán dẫn được đặt trong từ trường Brhướng theo theo trục

z và có dòng điện I chạy qua theo trục y Chiều rộng của mẫu

là a, chiều dày là d

Do trong mẫu bán dẫn đang xét có hai loại hạt tải, electron và lỗ trống, nên khi chuyển động dưới tác dụng của điện trường ngoài chúng sẽ có vận tốc ngược chiều nhau Theo hình (1.2), ta thấy hai loại hạt tải dưới tác dụng của lực Lorentz đều cùng lệch về một cạnh của bản Lúc này sẽ xuất hiện một quá trình như sau: khi các hạt tải bị lệch do tác dụng của lực Lorentz về một cạnh của bản, chúng sẽ dần tích tụ tại một cạnh của bản và tạo ra một điện trường giữa hai cạnh của bản, điện trường này có phương theo trục y và sẽ sinh ra một lực điện tác động lên hạt tải Một trạng thái cân bằng sẽ nhanh chóng được hình thành, lúc này các hạt tải sẽ chịu tác động của hai lực: lực Lorentz và lực điện trường mới xuất hiện Hai lực này tác dụng ngược chiều nhau, khi hai lực có độ lớn bằng nhau thì hạt tải sẽ không bị lệch nữa, tức là chỉ có dòng điện hướng theo trục x như ban đầu Hình (1.3) bên dưới minh họa cho trường hợp của các electron Đối với các lỗ trống, quá trình tương tự cũng xuất hiện Lưu ý rằng, do cả hai loại hạt electron và lỗ trống cùng lệch về một cạnh của bản nên chúng sẽ sinh ra hai điện trường ngược chiều nhau, cũng có nghĩa là hai hiệu điện thế ngược nhau Hiệu điện thế mà chúng ta đo được chính là tổng của hai hiệu điện thế này

Hình 1.3: Giải thích hiệu ứng Hall a) Khi vừa cho từ trường tác dụng, các electron bị dồn sang cạnh phải Đường chấm chấm là quỹ đạo mới của electron b) Một điện trường hướng từ phải sang trái dần được hình thành và tác dụng lực điện lên electron Khi sự cân bằng giữa lực Lorentz và lực điện được hình thành, electron sẽ tiếp tục chuyển động thẳng Điện thế tại C sẽ cao hơn điện thế tại A

Ta sẽ tính toán cho từng loại hạt tải rồi tổng hợp để được kết quả cuối cùng

e: điện tích nguyên tố, có giá trị 1,6.10-19C

vr : vận tốc trung bình của các electron e

Nếu có từ trường ngoài tác dụng, r 0r

µ eH : độ linh động của electron khi có từ trường

Er

: điện trường tác động lên electron

Thay (1.4) vào (1.3) và khai triển, ta sẽ thu được:

Nghĩa là: r n = =r h r Độ lớn của r phụ thuộc vào cơ chế tán xạ

Xét trường hợp r=1, các công thức (1.5) và (1.7) được viết lại như sau:

Thay thế v , ey v trong (1.12) và (1.13) bằng các giá trị trong (1.11), khai triển và bỏ ex

qua các số hạng chứa B vì giả thiết là từ trường yếu, lúc này ta sẽ có: 2

e R

ne

2

e

h n

p µ < µ nên R H <0, còn ở khoảng nhiệt độ khác thì p µ h2 >n µ e2 nên R H >0

Ở nhiệt độ đủ cao, thì sự dẫn điện tạp chất là không đáng kể so với sự dẫn điện riêng Khi đó n≈ p, và từ (1.27), ta tính được:

en r

- Còn khi tán xạ lên các tạp chất không bị ion hóa thì r =1

Các kết quả tìm được trên đây hoàn toàn có thể tính toán được trên cơ sở giải phương trình động Boltzmann [7]

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP VAN DER PAUW

Năm 1958, thông qua việc công bố hai công trình nghiên cứu của mình [17,18], Van der Pauw đã đưa ra một kỹ thuật mới để xác định điện trở suất, nồng độ hạt tải và hằng số Hall của mẫu Phương pháp này có nhiều ưu điểm và được sử dụng rộng rãi trong ngành công nghiệp bán dẫn ngày nay vì cho phép đo điện trở suất và hằng số Hall của mẫu mà không cần quan tâm đến hình dạng của mẫu

2.1 Cơ sở lý thuyết:

2.1.1 Xác định điện trở suất:

Chúng ta xét một mẫu phẳng có dạng bất kỳ, không có lỗ hổng trên bề mặt, trên mẫu ta đặt 4 điểm tiếp xúc M, N, O và P tại vị trí bất kỳ trên biên của mẫu (hình 2.1) Cho một dòng điện vào M và ra khỏi N, ta ký hiệu dòng điện này là iMN Đo hiệu điện thế VP-VO và định nghĩa:

O, P được đặt trên đường biên của mẫu

Phương pháp Van der Pauw đưa ra dựa trên định lý thể hiện mối quan hệ giữa

Với d: độ dày mẫu, ρ: điện trở suất của mẫu

Nếu ta biết độ dày d và các điện trở RMN,OP và RNO,PM thì thông qua phương trình (2.1) ta có thể tính được ρ Mặc dù vậy, tính toán giá trị ρ cũng là một việc không

, ,

MN OP

NO PM

R

R

Khi RMN,OP và RNO,PM xấp xỉ bằng nhau, hàm f sẽ có dạng gần đúng như sau:

giá trị của f rồi thế vào công thức (2.2) xác định ρ

Ta sẽ lần lượt nghiên cứu cơ sở lý thuyết của phương trình (2.1) từ các công trình nghiên cứu của Van der Pauw [17,18] Quá trình chứng minh phương trình (2.1)

sẽ qua hai bước cụ thể

Bước 1: Chúng ta nghiên cứu một mẫu có hình dạng đặc biệt là một bản nữa mặt phẳng rộng vô hạn, có bốn điểm tiếp xúc được đặt trên biên để chứng minh công thức (2.1), sau đó từ phương trình (2.1) ta sẽ dẫn đến phương trình (2.2) tính ρ và đồng thời chứng

minh hàm f chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ ,

Xét một mẫu rộng vô hạn, có bề dày là d và điện trở suất là ρ Cho dòng điện có cường

độ 2i đi vào mẫu tại một điểm M trên mẫu, dòng điện sẽ lan truyền trong mẫu và hướng ra xa điểm M theo phương bán kính

Hình 2.3: Dòng điện 2i đi vào mẫu tại điểm M, chúng ta tính VP-VO

Tại một điểm cách M một khoảng r, mật độ dòng điện được tính như sau:

22

i j rd π

+

Do không có dòng điện đi theo hướng vuông góc với đường thẳng qua M, O và

P nên kết quả thu được (2.7) vẫn đúng nếu ta bỏ đi một nữa mặt phẳng bờ MOP và đồng thời giảm cường độ dòng điện từ 2i xuống còn i (hình 2.4)

Hình 2.4: Ta bỏ đi một nữa mặt phẳng bờ MP, đồng thời giảm cường độ dòng điện đi

vào M còn i thì kết quả tính toán bên trên vẫn không thay đổi

Bây giờ ta xem xét tại một điểm N có dòng điện đi ra, N nằm trên cùng đường thẳng đi qua O, P (tức nằm trên bờ của nữa mặt phẳng rộng vô hạn)

+

Xét trường hợp dòng điện đi vào tại điểm M và ra khỏi điểm N

Hình 2.6: Ta tính VP-VO trong trường hợp dòng điện i đi vào M và ra khỏi N

Hiệu điện thế VPO trong trường hợp này được tính bằng cách chồng chập hai kết quả tính được từ bên trên

Để đơn giản, ta đặt

f ρ

(2.15) Phương trình (2.14) được viết lại:

( ) ( 11 22) ( 1 2)

1 2 1 2

x x x

R Mối liên hệ này được thể hiện thông qua đồ thị (2.1).

Công thức tính ρ thông qua hàm f (công thức 2.2) có thể tìm lại được dễ dàng từ định nghĩa hàm f và công thức (2.13)

1 2

ln 22

Chúng ta giả thiết rằng mẫu có dạng nữa mặt phẳng rộng vô hạn đã xét bên trên

trùng với nữa mặt phẳng phía trên của mặt phẳng phức z, với z= +x iy Chúng ta đưa vào hàm phức w= f z( ) ( )=u x y, +iv x y( ), với u và v là hai hàm thực theo hai biến

thực x và y Hàm f(z) được chọn sau cho hàm u đặc trưng cho điện thế trong mẫu Hai hàm thực u và v thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann:

Với En là thành phần pháp tuyến của điện trường

Hình 2.7: Mẫu có hình dạng giống mẫu ở hình 2.5, trùng với nữa mặt phẳng phía trên của mặt phẳng z

Tiếp tục khai triển phương trình (2.19), ta có

Do đó, nếu chúng ta di chuyển theo trục thực từ −∞ đến +∞ thì giá trị của v sẽ không đổi cho đến khi gặp điểm M Khi đi qua điểm M theo một nữa vòng tròn nhỏ trên nữa mặt phẳng phía trên, giá trị của v sẽ tăng lên j

d

ρ Tương tự, khi đi qua điểm

N, giá trị của v sẽ giảm một lượng j

M, N, O và P trong mặt phẳng z Hơn nữa, chọn k t( )= +l im sao cho trùng với

( ) ( ) ( ) ( )

kim đồng hồ dọc theo đường biên của mẫu trong mặt phẳng t; nó chỉ tăng lên một

lượng j

d

ρ khi đi qua điểm A và giảm xuống một lượng j

d

ρ khi đi qua B

Từ lý thuyết của phép chiếu bảo giác ta biết rằng nếu m trong mặt phẳng t được

xem như v trong mặt phẳng z, thì l trong mặt phẳng t sẽ có vai trò tương tự như u

trong mặt phẳng z, tức là, l sẽ đặc trưng cho điện trường trong mặt phẳng t Điều này

dẫn đến là: nếu một dòng điện 'j đi vào mẫu tại A và ra khỏi mẫu tại điểm B và nếu ta

chọn sao cho

' ''

V −V sẽ bằng với hiệu điện thế V S −V R Do đó, ( )d R AB CD,

ρ sẽ không thay đổi dưới

điều kiện biến hình bảo giác Tương tự, kết quả cũng sẽ không thay đổi cho

Giả sử chúng ta cho dòng điện đi vào mẫu tại điểm tiếp xúc M và lấy dòng điện

ra tại điểm tiếp xúc cách M một điểm, trong trường hợp này là điểm O Ta đo đạc

RMO,NP sau khi áp một từ trường đều B có hướng vuông góc với bề mặt mẫu Khi có sự xuất hiện của từ trường, RMO,NP sẽ bị thay đổi một lượng ∆R MO NP, Chúng ta định nghĩa hằng số Hall và sẽ chứng minh tính đúng đắn của công thức sau:

Với các điều kiện:

• Các tiếp điểm trên mẫu phải có diện tích rất nhỏ (2.23)

• Các tiếp điểm phải nằm trên đường biên của mẫu

• Mẫu phải có độ dày đồng đều và không có lỗ hổng trên bề mặt

Tính chính xác của công thức (2.22) phụ thuộc vào điều kiện là sự phân bố đường dòng không bị thay đổi khi có từ trường áp vào

Phương trình (2.22) dựa trên lập luận sau: Nếu ta áp một từ trường vuông góc với bề mặt của mẫu thì công thức sau vẫn đúng

00

div j curl j

Dưới tác dụng của từ trường, điện tích chịu tác dụng của lực từ Lorentz vuông góc với đường dòng và đường sức từ Độ lớn của lực

Ta biết rằng điện trường sẽ tác động lên điện tích đặt trong nó một lực điện là

So sánh (2.25) và (2.27), ta thấy tác dụng của từ trường lên điện tích đang chuyển động cũng tương đương với tác động của một điện trường, ta gọi điện trường này là điện trường khả kiến Hall

H H

=

nq gọi là hằng số Hall RH Từ đó, sau

khi tính toán được RH và biết điện tích q của hạt dẫn, ta sẽ tính được nồng độ n của hạt mang điện

Mặc dù rằng đường dòng không thay đổi khi có từ trường áp vào nhưng điện trường sẽ không còn cùng hướng với đường dòng nữa mà có 1 thành phần ngang Et có cường độ đúng bằng cường độ điện trường khả kiến EH

Hình 2.9: Kết quả tổng hợp cường độ điện trườngurE

và cường độ điện trường Hall khả kiếnEurH

hướng theo hướng của vectơ mật độ dòng Jur

Phân tích Eur

theo hai phương

vuông góc và song song với Jur

, ta sẽ thấy có thành phần pháp tuyến Eurt

có độ lớn bằng với độ lớn của EurH

Độ biến thiên của hiệu điện thế giữa hai điểm N và P do điện trường khả kiến

EH gây ra được tính bằng cách lấy tích phân từ P theo đường vuông góc với đường dòng qua mẫu đến điểm N’ rồi sau đó đi dọc theo biên của mẫu (tức dọc theo đường dòng) từ N’ đến N

Hình 2.10: Để đo đạc sự biến thiên của hiệu điện thế giữa hai điểm P và N do từ trường

áp vuông góc với bề mặt mẫu gây ra, điện trường ngang Et được tính tích phân theo đường s từ P đến N’ sau đó từ N’ dọc theo biên đến N

' '

'

0

Với d: độ dày của mẫu

Từ phương trình (2.29), ta có thể dễ dàng tìm lại phương trình (2.22)

( )

,

MO

2.2 Các vấn đề liên quan đến sai số và cách khắc phục:

Theo lý thuyết do Van der Pauw đề ra, để đo đạc điện trở suất và hiệu ứng Hall, ta cần có các điểm tiếp xúc dạng điểm (point-like contact), tuy nhiên trong thực tế, điều này là rất khó đạt được Qua nhiều nghiên cứu, các tác giả nước ngoài đã nhận định được rằng: nếu các điểm tiếp xúc có kích thước phù hợp tương đối với kích thước mẫu

đo thì ta có thể nhận được một sự xấp xỉ gần đúng với điều kiện của Van der Pauw Qua đó, chúng ta vẫn có thể sử dụng các điểm tiếp xúc có kích thước và có tính chất ohmic để thực hiện các đo đạc nhưng vẫn đạt được giá trị chính xác cần thiết nhờ vào việc sử dụng các thừa số hiệu chỉnh Bên cạnh đó, trong lúc tiến hành đo đạc trên mẫu, chúng ta sẽ gặp một số vấn đề phát sinh gây ra các sai số Phần bổ sung này nhằm nêu lên một cách tóm tắt nhất các kết quả nghiên cứu của các công trình [11], [13], [17], [18] về các nguyên nhân gây ra sai số, các cách khắc phục, các hệ số điều chỉnh,…liên quan đến việc đo đạc trên mẫu thực hiện bằng hiệu ứng Hall theo phương pháp truyền thống và theo phương pháp Van der Pauw

Trong khi thực hiện thực nghiệm, chúng ta chú ý đến hai loại nguồn gốc gây ra sai

số sau: sai số do các nguyên nhân bên trong mẫu (intrinsic), sai số do dạng hình học của mẫu và cách bố tri các điểm tiếp xúc (geometrical)

2.2.1 Các nguồn gây ra sai số bên trong (intrinsic error sources):

Giá trị hiệu điện thế Hall mà ta đọc được là giá trị biểu kiến Giá trị này có thể chứa nhiều giá trị hiệu điện thế (hiệu điện thế giả) khác trong đó Các nguồn gốc gây ra các giá trị hiệu điện thế giả có thể bắt nguồn từ những nguyên nhân sau:

1 Sự dịch trên vôn kế (voltmeter offset - VO): khi chúng ta hiệu chỉnh chưa chính xác giá trị hiệu điện thế ban đầu về 0 trên vôn kế thì khi đo đạc giá trị ta đọc được sẽ là kết quả sau khi đã cộng vào giá trị hiệu điện thế VO ban đầu, kết quả

sẽ không chính xác Hiệu điện thế VO không thay đổi theo cường độ dòng điện qua mẫu và không theo hướng của từ trường

2 Sự dịch trên ampe kế (current meter offset - IO): bên cạnh việc điều chỉnh chưa chính xác vôn kế về 0 trước khi tiến hành đo đạc, ta vẫn có thể mắc phải lỗi này đối với ampe kế Khi chưa điều chỉnh ampe kế về 0 trước khi đo đạc, ta sẽ đọc giá trị cường độ dòng điện qua mẫu không chính xác IO không thay đổi theo cường độ dòng điện qua mẫu và chiều của từ trường

3 Hiệu điện thế nhiệt điện (thermoelectric voltage - VS): nếu có một sự chênh lệch nhiệt độ giữa hai điểm tiếp xúc trên mẫu, thì hai điểm tiếp xúc này được xem như một cặp nhiệt điện Lúc ấy, giữa chúng sẽ xuất hiện hiệu điện thế VS từ hiệu ứng Seebeck Hiệu điện thế VS không bị ảnh hưởng bởi điện trường và từ trường trong gần đúng bậc nhất

4 Hiệu điện thế sinh ra do hiệu ứng Ettingshausen (Ettingshausen effect voltage -

VE): Ngay cả khi không có sự chênh lệch nhiệt độ theo phương ngang từ bên ngoài, bản thân trong mẫu cũng có thể xuất hiện sự chênh lệch nhiệt độ Lực Lorentz urF =qvr ur∧B

có thể bẻ những electron chậm (“lạnh”) và những electron nhanh (“nóng”) về cùng phía với số lượng khác nhau và gây ra một hiệu ứng Seebeck bên trong Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Ettingshausen Không giống trường hợp hiệu ứng Seebeck, VE tỷ lệ với cả điện trường và từ trường

5 Hiệu điện thế sinh ra do hiệu ứng Nernst (Nernst effect voltage – VN): Nếu có một sự chênh lệch nhiệt độ theo phương dọc trong mẫu thì các electron sẽ có xu hướng khuếch tán từ đầu “nóng” sang đầu “lạnh” của mẫu Dòng khuếch tán này sẽ bị ảnh hưởng bởi từ trường và gây ra hiệu điện thế Hall Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Nernst hay hiệu ứng Nernst-Ettingshausen Ta ký hiệu hiệu điện thế này là VN VN tỷ lệ với từ trường nhưng không phụ thuộc vào dòng bên ngoài Đây là một trong những nguồn gây ra các sai số bên trong mà ta không thể khắc phục bằng cách đảo chiều từ trường hay dòng bên ngoài

6 Hiệu điện thế Righi-Leduc (Righi-Leduc voltage - VR): Các electron khuếch tán trong hiệu ứng Nernst cũng chịu tác động của hiệu Ettingshausen do chúng có vận tốc khác nhau nên sẽ tạo ra những mặt “lạnh” và “nóng”; và do đó lại tạo ra hiệu ứng nhiệt điện (hiệu ứng Seebeck) dẫn tới phát sinh một hiệu điện thế gọi

là hiệu điện thế Righi-Leduc, được ký hiệu là VR Hiệu điện thế VR cũng phụ thuộc vào từ trường ngoài nhưng không phụ thuộc vào dòng ngoài

7 Hiệu điện thế do các điểm tiếp xúc không thẳng hàng (misalignment - VM): Khi dòng chạy qua mẫu, nó sẽ gây ra một sự chênh lệch về điện thế dọc theo đường dòng Khi hai tiếp điểm dùng để đo hiệu điện thế Hall không được bố trí đối nhau một cách thẳng hàng (rất thường xuyên trong thực tế) thì giữa chúng cũng xuất hiện một hiệu điện thế dù từ trường áp vào đang bằng 0 Hiệu điện thế này được ký hiệu là VM Nguyên nhân cuối cùng này thường là nguyên nhân gây sai

số lớn nhất cho hiệu điện thế Hall đo được

Do đó, hiệu điện thế Hall đo được từ thực nghiệm, VHa, nói chung có thể chứa những giá trị hiệu điện thế nội trên: VHa=VH+VO+VS+VE+VN+VR+VM

Những hiệu điện thế giả trên có thể bị triệt tiêu bằng cách sử dụng kết hợp các cách thức đo đạc, chỉ trừ hiệu điện thế Hall và hiệu điện thế Ettingshausen Các cách thức đo đạc để khử các hiệu điện thế nội được thể hiện qua bảng sau:

2.2.2 Sai số do dạng hình học của mẫu và cách bố trí điểm tiếp xúc

1 Sai số trong mẫu đo dạng thanh truyền thống:

Theo [13] nếu một mẫu đo dạng thanh - chiều dài là l và chiều rộng w- có tỷ lệ

Đối với dạng thanh hình chữ nhật đơn giản, sai số trong tính toán độ linh động Hall có thể được tính xấp xỉ (khi µ B<<1) bằng công thức:

Hình 2.11: Vị trí và kích thước của các điểm tiếp xúc Cần lưu ý rằng ∆µ H là giá trị mà µ Hphải tăng lên để đạt giá trị chính xác

, đây là một sai số đáng kể

Chúng ta có thể giảm sai số gây ra bởi kích thước điểm tiếp xúc bằng cách đặt các điểm tiếp xúc ở cuối các cánh tay như hình vẽ Với tỷ lệ sau thì sai số sẽ là không đáng kể: p≈c, c≤w/ 3, l≥ 4w

Hình 2.12: Cách bố trí các điểm tiếp xúc trên các cánh tay của mẫu đo

2 Sai số trong mẫu đo có cấu trúc theo kỹ thuật đo Van der Pauw:

Các phân tích và đo đạc của Van der Pauw được thực hiện trên mẫu đo có dạng bất kì

và các điểm tiếp xúc có dạng các điểm Nhưng trong thực tế, trường hợp lý tưởng như vậy là rất khó đạt được Nên ta cần có các thừa số điều chỉnh cho các điểm tiếp xúc có kích thước Thừa số này phụ thuộc vào dạng hình học và góc Hall (được định nghĩa