mối quan hệ giữa các p.i nửa nguyên tố và điều kiện của ore và goldie về sự tồn tại vành các thương

Cách cổ điển còn gọi là “Địa phương hóa theo tâm” là sự mở rộng tự nhiên của việc xây dựng trường các thương của một miền nguyên, với cách làm này ta thu được vành các thương cổ điển bên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Tuyết Mai

MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC P.I NỬA

NGUYÊN TỐ VÀ ĐIỀU KIỆN CỦA ORE VÀ

Tôi xin cám ơn quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc, nhận xét và đóng góp những ý kiến quý báu về luận văn này

Cảm ơn tất cả các bạn học viên Cao học Đại số và Lý thuyết số khóa 18 đã cùng tôi trao đổi hoàn thiện kiến thức trong quá trình học tập

Cảm ơn tất cả các bạn bè cùng đồng nghiệp đã quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng tôi xin dành tất cả những tâm tình sâu lắng nhất đến gia đình, đặc biệt là mẹ tôi trong thời gian điều trị căn bệnh nan y – bệnh ung thư – người đã không ngừng động viên tôi hoàn thành luận văn Có thể luận văn của tôi không hoàn thiện nhưng trong tim mẹ tôi nó là đẹp nhất, hay nhất, đáng trân trọng nhất Cảm ơn bố mẹ đã cho con được đến trường, được có một cuộc đời tươi đẹp, được trải nghiệm hạnh phúc nhất đời mỗi con người là được làm những gì mình thực sự muốn và được chăm sóc mẹ

Do trình độ còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh khỏi sai sót, kính mong được sự thông cảm và góp ý xây dựng của quý thầy cô cùng các bạn

TP HCM năm 2010

Vũ Thị Tuyết Mai

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong lĩnh vực lý thuyết các vành không giao hoán, ta đã biết để xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán các nhà toán học đã xây dựng theo hai cách Cách cổ điển còn gọi là “Địa phương hóa theo tâm” là sự mở rộng tự nhiên của việc xây dựng trường các thương của một miền nguyên, với cách làm này ta thu được vành các thương cổ điển bên trái

(hoặc phải) của vành R không giao hoán Đối với cách xây dựng này các nhà toán học nhận

thấy không phải tất cả các vành không giao hoán đều xây dựng được vành các thương Do đó hai nhà toán học Ore và Goldie đã tìm ra một cách mới, hiện đại hơn để làm điều này, ta tạm gọi là xây dựng vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie

Chúng ta đã biết, đối với các P.I vành nguyên tố thì luôn luôn xây dựng được các thương theo nghĩa cổ điển và do đó các P.I vành nguyên tố cũng có thể xây dựng được theo nghĩa của Ore và Goldie Vấn đề tương tự được đặt ra cho các P.I nửa nguyên tố Liệu các P.I vành nửa

nguyên tố có thể luôn luôn xây dựng được vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie ?

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là chúng tôi muốn giải quyết một bộ phận các câu hỏi đó Luận văn mong muốn làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và các điều kiện của Ore

và Goldie về sự tồn tại vành các thương

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lớp các vành không giao hoán

Phạm vi nghiên cứu là các vành đặc biệt

4 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích và so sánh

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm ba chương

Chương 1 Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán

Trong chương này luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán có liên quan đến các chương sau Luận văn chỉ phát biểu lại các định lý, các bổ

đề, các hệ quả và không đi sâu vào chứng minh chúng

Các kết quả nhắc lại được dùng làm lý thuyết phục vụ đề tài

Chương 2 Các phương pháp xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán

Trong chương này chúng tôi nêu rõ hai phương pháp xây dựng vành các thương, theo cách cổ điển và hiện đại Các định lý hầu hết chúng tôi đều chứng minh một cách tường minh

Chương 3 Nghiên cứu về việc xây dựng vành các thương của Ore và Goldie cho lớp các P.I

nửa nguyên tố

Chúng tôi sẽ chỉ ra một ví dụ về sự không tồn tại của vành các thương theo nghĩa của Ore

và Goldie khi cho một vành P.I nửa nguyên tố

Cho R là một vành có đơn vị Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả đảo (đối với

phép nhân) thì R được gọi là một thể (hay vành chia)

i m a b ma mb

ii m n a ma na iii ma b m ab

Nếu M là R -modul bất khả quy thì M R với  là ideal tối đại của R Hơn nữa

a R x ax  x R

       được gọi là ideal phải chính quy Ngược lại, nếu  là ideal phải

chính quy thì R là R -modul bất khả quy

Định nghĩa 1.1.7 (Định nghĩa tâm tập)

Cho M là R -modul, ta gọi tâm tập của M trên R là tập hợp:

Hiển nhiên, C M là vành con của   E M Do đó   C M là một vành Ta cần chứng  

minh   C M  và   đều là phần tử khả nghịch trong 0 C M Thật vậy, do     nên 0

0

M  và M cũng là mođun con của M

Theo giả thiết M là R -modul bất khả quy nên ta có M M , suy ra  là toàn cấu Hơn nữa  là đơn cấu, do ker  Thật vậy, giả sử ker0   thì do M là R -modul bất khả quy 0nên ker M , khi đó 0  (mâu thuẫn)

A được gọi là một vành Artin phải nếu những tập con khác rỗng của các ideal phải của

A có phần tử nhỏ nhất Hay những tập con khác rỗng của các ideal phải của A thỏa mãn chuỗi

điều kiện giảm

1.2 Radical của vành và của một đại số

Định nghĩa 1.2.1

Radical của vành R , ký hiệu là J R , là tập các phần tử của R mà linh hóa tất cả các  

modul bất khả quy của R Khi đó J R  A M  với M là R - modul bất khả quy J R  

được gọi là ideal hai phía của R

Nếu R không có modul bất khả quy thì J R  Khi đó R được gọi là radical Jacbson R

* a R được gọi là tựa chính quy phải nếu ' a R a a aa:  ' ' 0

* a được gọi là tựa nghịch đảo phải của a '

* Tương tự ta có tựa chính quy trái, tựa nghịch đảo trái

* Một ideal được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó là tựa chính quy phải

* J R là ideal tựa chính quy phải  

Định lý 1.2.9

 

J R là ideal tựa chính quy phải và chứa mọi ideal tựa chính quy phải, tức là J R là  

ideal tựa chính quy phải tối đại duy nhất của R

Định nghĩa 1.2.10

* Phần tử a R được gọi là lũy linh nếu :  n N a n  0

* Ideal phải (trái) của R được gọi là nil-ideal phải (trái) nếu mọi phần tử của nó đều lũy

* Nếu  là ideal lũy linh thì  là nil-ideal

* Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy

* J R chứa mọi nil-ideal một phía  

* Nếu R có ideal lũy linh khác 0 thì R có ideal hai phía lũy linh khác 0

Nếu A là đại số trên trường F thì radical của đại số A trùng với radical của vành A

J M R M J R Với M R là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong n 

vành không giao hoán R nào đó

Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi dãy giảm các ideal phải i của R sẽ dừng

sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các i đều bằng nhau

(Vành R được gọi là vành Artin trái nếu mọi dãy giảm các ideal trái i của R sẽ dừng

sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các i đều bằng nhau)

Nhận xét:

* Trường, thể (vành chia) là vành Artin

* Tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin

* Mọi vành chỉ có hữu hạn các ideal phải (trái) là vành Artin

* Vành các ma trận vuông cấp n trên một trường hay thể là vành Artin

* Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin

Giả sử R là vành tùy ý, nếu R có ideal phải, lũy linh, khác  0 thì R sẽ có ideal phải hai

phía, lũy linh, khác  0

Định nghĩa 1.3.2.4

Phần tử e R e , 0 được gọi là lũy đẳng nếu e2  e

Bổ đề 1.3.2.5

Giả sử R là một vành không có ideal lũy linh khác  0 , giả sử  0 là ideal phải (trái)

tối tiểu của vành R Khi đó  là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng nào đó trong :R  eR

Nhận xét:

Trong vành không có ideal lũy linh khác  0 thì mọi ideal phải (trái) khác  0 , tối tiểu đều là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng

Bổ đề 1.3.2.6

Cho R là vành tùy ý, a R sao cho a2  lũy linh Khi đó, hoặc chính a lũy linh hoặc a

tồn tại đa thức q x với hệ số nguyên sao cho   e a q a   là phần tử lũy đẳng khác 0

Giả sử R là vành không có ideal lũy linh khác  0 và e  là phần tử lũy đẳng trong R 0

Khi đó eR (ideal phải chính sinh bởi e ) là ideal phải tối tiểu của R vành Ree là một thể

Hệ quả 1.3.2.10

Nếu R là vành không có ideal lũy linh khác  0 và e là phần tử lũy đẳng trong R thì eR

là ideal phải tối tiểu của R  Re là ideal trái tối tiểu của R

M trung thành  đơn cấu 

 nhúng đẳng cấu vào trong R E M  

 A M ker  0

ii) Nếu R là vành nguyên thủy thì J R    0 Vì R là vành nguyên thủy thì

Vậy mọi vành nguyên thủy đều nửa đơn

iii) Nếu R là vành bất kì với M là R-modul bất khả quy thì A M là ideal hai phía của  

R là vành nguyên thủy  là ideal phải, tối đại, chính quy trong R sao cho 

Mối liên hệ giữa vành đơn – vành nửa đơn – vành Artin – vành nguyên thủy

i) Nếu R là vành đơn có đơn vị thì R là vành nửa đơn

Thật vậy, do R là vành đơn và có đơn vị nên J R không thể bằng   R

ii) Nếu R vừa là vành đơn vừa là vành Artin thì R là vành nửa đơn

Thật vậy, giả sử R vừa là vành đơn

Thực hiện liên tiếp các bước ta được J R  n R n  R  0 Mà R là vành Artin nên

không có phần tử lũy linh khác  0

iii) Nếu R là vành nguyên thủy thì R vừa là vành đơn

Thật vậy, giả sử R là vành nguyên thủy, khi đó tồn tại M là R -modul bất khả quy trung

iv) Nếu R là vành vừa đơn vừa nửa đơn thì R là vành nguyên thủy

Thật vậy, để chứng minh R là vành nguyên thủy ta chứng minh rằng trong R tồn tại

ideal phải, tối đại, chính quy  mà  :R   0

Ta có :  : R là ideal của R

Do R là vành đơn nên  :R   0 hoặc  : R R

Nếu  : R thì R  : R (vô lý vì R là vành nửa đơn) R

v) Nếu R là vành Artin – đơn thì R là vành nguyên thủy

Thật vậy, vì R là vành Artin nên J R lũy linh, tức là tồn tại n N   sao cho

 

J R n  0

Mặt khác, do R đơn nên R2  0

Mà R là ideal hai phía của R nên 2 R2  R  0 (do R đơn)

Vành R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa một trong các điều kiện sau:

i) Linh hóa tử bên phải (trái) của một ideal phải (trái) khác  0 của R phải bằng  0

ii) Nếu ,A B là hai ideal của R và AB 0 thì suy ra  

 

00

A B

* Nếu là bản số giới hạn, nghĩa là không có bản số đứng ngay trước nó, ta đặt

* Đại số A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra

một đại số con lũy linh

* Một ideal I của A được gọi là ideal lũy linh địa phương nếu A I là đại số lũy linh địa

phương

Nhận xét:

* Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương

* Mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil-ideal

Mệnh đề 1.3.5.6

* Tồn tại duy nhất một nil-ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil-ideal của A , nil-ideal

đó được gọi là upper nil-radical của A , ký hiệu là Un A  

* Tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A chứa mọi ideal lũy linh một phía của A , ideal lũy linh địa phương tối đại này được gọi là Levitzki nil-radical của

1.4.1 Đại số nửa nguyên thủy

Đại số A được gọi là nguyên thủy nếu nó có một modul bất khả quy trung thành

I  , A I được gọi là ideal nguyên thủy  A I là đại số nguyên thủy

Mệnh đề 1.4.2.2

Cho A là một đại số tùy ý, M là một A - modul bất khả quy thì A M  là một ideal hai

phía của A và A A M  là một đại số nguyên thủy

Mệnh đề 1.4.2.3

A là nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính quy  của A sao cho

Nhận xét: Mọi đại số nguyên thủy đều nửa nguyên thủy

Định nghĩa 1.4.2.4

Giả sử R là vành nguyên thủy, M là một R- modul bất khả quy trung thành Đặt

* Đại số A được gọi là đại số nguyên tố nếu 0 là ideal nguyên tố của A

* P A  , P được gọi là ideal nguyên tố  A P là đại số nguyên tố

iii) Linh tử hóa bên trái của một ideal trái khác 0 bất kì là bằng 0

iv) Linh tử hóa bên phải của một ideal phải khác 0 bất kì là bằng 0

1.4.5 Đại số nửa nguyên tố

Định nghĩa 1.4.5.1 (Tích trực tiếp con)

* Tích trực tiếp của họ các K - đại số  A I là tập hợp

I

A



 mà trên đó ta định nghĩa các phép cộng và nhân như sau:

* Một đại số A được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có ideal lũy linh khác 0

* Một ideal B của đại số A được gọi là ideal nửa nguyên tố nếu là nửa nguyên tố

Nhận xét: A là đại số nguyên tố thì A là nửa nguyên tố

 là tổng tất cả các ideal lũy linh của A N  

* Nếu là bản số giới hạn, nghĩa là không có bản số đứng ngay trước nó, ta đặt

* Đại số A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra

một đại số con lũy linh

* Một ideal I của A được gọi là ideal lũy linh địa phương nếu A I là đại số lũy linh địa

phương

Nhận xét:

* Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương

* Mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil-ideal

Mệnh đề 1.4.5.6

* Tồn tại duy nhất một nil-ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil-ideal của A, nil-ideal

đó được gọi là upper nil-radical của A, ký hiệu là Un A  

* Tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A chứa mọi ideal lũy

linh một phía của A, ideal lũy linh địa phương tối đại này được gọi là Levitzki nil-radical của

CHƯƠNG 2:

CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA

CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

2.1 Phương pháp cổ điển (Địa phương hóa theo tâm)

Cho S là tập con đóng nhân nằm trong tâm của vành không giao hoán K và M là một

K -modul Xét tập S M   s x s S x M, ,  ,  

Định nghĩa s x1, 1 s x nếu 2, 2  s S s s x:  2 1s x1 2 Đây là quan hệ tương đương 0

Ta ký hiệu tập thương là M S và lớp tương đương của  s x là , s x1 Ta định nghĩa phép cộng và nhân như sau:

2.2 Phương pháp của Ore và Goldie

2.2.1 Định lý Ore

Định nghĩa 2.2.1.1

Một phần tử trong vành R được gọi là chính quy nếu nó không có ước của không bên trái

và bên phải trong R

Định nghĩa 2.2.1.2

* Vành Q R chứa R được gọi là vành thương trái của R nếu:  

1 Mọi phần tử chính quy trong R đều khả nghịch trong Q R  

2 Mọi x thuộc Q R đều có dạng   x a b 1 , với ,a b R  , a chính qui trong R

Nếu Q R là một vành thương trái của R ta nói R là một thứ tự bên trái (left order)  

trong Q R  

* Vành Q R chứa R được gọi là vành thương phải của R nếu:  

1 Mọi phần tử chính quy trong R đều khả nghịch trong Q R  

2 Mọi x thuộc Q R đều có dạng   x ba 1 với ,a b R  , a chính qui trong R

Nếu Q R là một vành thương phải của R ta nói R là một thứ tự bên phải (right order)  

trong Q R  

Định lý 2.2.1.3 (Định lý Ore)

Điều kiện cần và đủ để R có vành thương trái là: cho , a b R  với b chính quy khi đó tồn

tại a b1, 1 với R b chính quy sao cho 1 b a a b1  1

( Điều kiện cần và đủ để R có vành thương phải là: cho , a b R  với b chính quy khi đó

tồn tại a b1, 1 với R b chính quy sao cho 1 ab1 ba1)

Vậy điều kiện Ore đúng trong R

Giả sử điều kiện Ore đúng trong R

Lấy M   a b a b R b, ,  , chính quy

Trong M ta định nghĩa quan hệ    a b, c d nếu , d a b c1  1 với b d d b1  1 , b1 chính quythì d1 chính quy

Ta thấy b d độc lập nhau, chúng được xác định bởi bội chung bên trái của d và b 1, 1

Thật vậy nếu có b d thỏa 2, 2 b d d b2  2 , ta chọn e e chính quy sao cho: 1, 2 e b2 2 e b1 1

b d  g b với g a a d1  1 , và g chính quy trong R 1

Các phép tốn trên đều được định nghĩa tốt và M thỏa mãn tất cả các tính chất của 1

 

Q R

2.2.2 Những định lý của Goldie

Định nghĩa 2.2.2.1

Cho S là một tập con khác rỗng của vành R Tập l S x R xs   0, s S được gọi

là linh tử hĩa trái của S Một ideal trái  của R là một linh tử hĩa trái nếu  l S  với S thích hợp trong R

Chúng ta cũng định nghĩa tương tự cho linh tử hĩa phải r S của S và phát biểu cho  

ideal phải như một linh tử hĩa phải

Định nghĩa 2.2.2.2

Một vành R được gọi là vành Goldie trái nếu:

1 R thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng trên linh tử hĩa trái

2 R không chứa tổng trực tiếp của vô hạn các ideal trái khác không

Nhận xét