lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung

KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD: TS NGUYỄN VĂN HOA SVTH: PHẠM THỊ MAI

TP HỒ CHÍ MINH-THÁNG 5/2010

LỜI CẢM ƠN

Em xin cảm ơn giáo viên hướng dẫn, TS Nguyễn Văn Hoa, đã định

hướng giúp em tiếp cận vấn đề nghiên cứu trong khóa luận này; động viên và

giúp đỡ em hoàn thành khóa luận

Em xin cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp nhiều ý kiến quý

báu cho khóa luận

Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã giúp đỡ em rất nhiều về thuật

toán trong ngôn ngữ lập trình

Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em

trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm

nay

Em xin cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 và những người thân đã giúp đỡ em

trong suốt thời gian làm khóa luận

Em xin cảm ơn ba mẹ luôn bên cạnh và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em

hoàn tất khóa luận

Mục lục

MỞ ĐẦU 3

NỘI DUNG 7

Chương 1 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro 7

1.1Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro 7

1.2Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro 12

1.3Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính 16

1.4Nhận xét 17

Chương 2 Sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro 18

2.1Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn 18

2.2Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử 20

2.3 Nhận xét 25

Chương 3 Sử dụng sơ đồ vòng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro 26

3.1Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp 26

3.2Thiết lập sơ đồ vòng lặp 26

3.3Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ vòng lặp 28

3.4Nhận xét 30

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

PHỤ LỤC 34

Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều 34

Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn 37

Phụ lục 3 Toán tử thế năng 40

Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của ˆH 46

Phụ lục 5 Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn 48

Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran 52

MỞ ĐẦU

1) Tình hình nghiên cứu

Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ,

đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác Trong khi đó, phương

pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn

không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn

Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có

phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây

Và phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng

cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà

Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu

Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm

1979 Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu

tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L I thuộc

trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một

nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết

trường,…

Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương

pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp

truyền thống như:

Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông

thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt Trong suốt quá trình tính

toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán

như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán

Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất

kỳ

Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những

khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển

không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu

2) Lí do chọn đề tài

Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta

có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái

dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và

bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên

tâm) Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên Việc nghiên

cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các

phương pháp của cơ học lượng tử Ngoài ra các kết quả thu được có một

tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh

những tính chất của hệ thực tương ứng

Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của

vật lý lượng tử Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán

về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp Để giải được bài toán này,

ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung

lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử

momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự

phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…

Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí

qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã

cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị

nào của trường ngoài, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn

Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp

áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là

hội tụ Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều

chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính

bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm

vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh

Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng

lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà

không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số

biến phân Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau

mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại,

để được một giá trị gần đúng hơn nữa Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri

sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai khác mong muốn thì dừng lại

Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng

cần tìm

Do thời lượng nghiên cứu và kiến thức còn hạn chế, nội dụng bài nghiên

cứu này chỉ dừng lại ở mức độ khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận:

lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc

tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro

3) Mục tiêu của đề tài

Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một

công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:

Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu

điểm… Kết hợp phương pháp toán tử và lý thuyết nhiễu loạn để tính mức

năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro

Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn

và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản

của nguyên tử hydro Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa

chọn cho những bài toán có phức tạp hơn

4) Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được

Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài

toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt

trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương

pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện

luận văn này

Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng

lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng

tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử

cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

5) Cấu trúc của luận văn

Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận

văn gồm 3 phần chính:

Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài,

phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc

Phần nội dung: gồm 4 chương

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ

HYDRO

Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về

bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng…

Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro và

dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức

năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính

Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC

BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn

Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu

loạn bằng phương pháp toán tử

Chương 3: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH

NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

Nêu mục đích của sơ đồ lặp

Thiết lập sơ đồ vòng lặp

Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro

Nhận xét kết quả thu được

Phần kết luận: tóm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát

triển sắp tới của đề tài

NỘI DUNG

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN

TỬ HYDRO

1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro

Thế năng của một hạt khối lượng m o chuyển động trong một trường lực

đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r)

Do đó hamilton của hạt có dạng:

2 2

Trong nguyên tử hiđrô, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ

phụ thuộc vào khoảng cách r1r2 giữa chúng Như đã biết từ trong cơ học

giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác U r( 1r2) rút về

bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực

electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên

Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt

nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là:

U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với

nguyên tử hiđrô phương trình Schrodinger là phương trình dừng

Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu

Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp

2 2

Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường

đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật

bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định

luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không

gian Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử Lˆ2và Lˆzvới Hˆ

Trong trường hợp này Hˆcó dạng:

Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc  , nên giao hoán với

các toán tử lấy vi phân theo r

Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong

trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình

phương mômen Lˆ 2 và hình chiếu mômen LˆZ Do đó chúng ta sẽ khảo sát các

trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này Một cách tương ứng ta, ta

viết nghiệm của phương trình dưới dạng

 nlm( , , )r   R r Y n( ). l m, ( , )  (1.9)

Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị

riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số

lượng tử từ m Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng

1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hiđrô

Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của

Trong hệ không thứ nguyên m e   1thì:

2 2

Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử

hiđrô Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình

phương các số nguyên Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn

đối với hàm sóng ở vô cực

Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất E1 13, 6eV

Khi n càng tăng thì các mức E nliên tiếp càng gần nhau hơn Khi n  thì

0

n

Một số mức năng lượng kích thích E2 3, 4eV E; 3 1, 5eV;

Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên

kết, bắt đầu ứng với năng lượng

2 4 2

2

m Z e



 và kết thúc ứng với năng lượng 0

Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì lcó thể có những

giá trị l = 0, 1, 2, , n- 1 Như vậy có tất cả n giá trị của l; lgọi là lượng tử số

quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng

  gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ

Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị

, 1, , 1, 0,1, , 1,

m   l l  l l Tất cả có 2l 1giá trị của m Lượng tử số m

xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z

z

Như vậy, ứng với một mức năng lượng E n có nhiều trạng thái khác

nhaunlm , ta nói có sự suy biến Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái

suy biến có cùng giá trị năng lượng E n là

1

2 0

Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bảnE1 không suy biến, mức

kích thích thứ nhất E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc

9

Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng

2

2 n

1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hiđrô

Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hiđrô có dạng:

2

o o

Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt xa x0 ,

Z H

Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số Ta

viết lại các thành phần trong Hamiltonian H trong biểu thức (1.19) qua biểu 

diễn các toán tử sinh huỷ này

1.2.1 Toán tử động năng

2 2

Với số hạng liên quan đến tương tác Culông thì các toán tử sinh huỷ sẽ

nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể

sử dụng trong tính toán Dùng phép biến đổi Laplace ta có thể viết thành phần

với:

  0

ˆ

x

S : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử S x 0 khi tác dụng

lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi

S : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử S khi tác dụng lên ˆx'

vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét

dt t

Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử

Hamilton H trong bài toán không nhiễu loạn, với: ˆ0

(0) (0) (0) 0

Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán

tử nhiễu loạn ˆV , với:

ˆ

4

x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Z

bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính

1/ 2

0 2 , ,

dt t

Để so sánh tính ưu việt của các hướng tiếp cận, nên không sử dụng

phương pháp biến phân, tức là chọn thông số biến phân 1 Suy ra :

E  0 0.37837915139550750 (1.38)

Sử dụng phương pháp toán tử, ta tính được năng lượng cơ bản của

nguyên tử Hydro khi chưa có bổ chính là E  0 0.37837915139550750, giá trị

này còn sai khác nhiều với giá trị chính xác Để thu được kết quả tốt hơn, ta

tính các bổ chính năng lượng cơ bản

Tính bổ chính năng lượng của nguyên tử theo lí thuyết nhiễu loạn là cách

làm phổ biến và khá hiệu quả

2 Chương 2

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH

CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN

TỬ HYDRO

Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo

hàm riêng phần và các hệ số biến đổi Nghiệm chính xác của nó có thể tìm

được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử

hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,…

Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của

không gian trong bài toán cần giải Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử

dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải

được một cách chính xác Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp

gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và

hàm riêng của nó Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để

giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn Nội dung của phương

pháp nhiễu loạn như sau:

Thành phần ˆV còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý

thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn ˆV phải “nhỏ” so với H , ˆ0

0

V  H Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của

phương trình (2.1) Lúc này chúng ta xem  và n  là nghiệm gần đúng bậc n

zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét

đến ảnh hưởng của ˆV thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng Ở đây

ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và

dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của 

Ta giả thiết rằng các trị riêng của ˆH là không suy biến và có phổ gián

đoạn, hệ hàm riêng  của n H là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng ˆ0  , n

với n 0,1, 2, Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển

theo các hàm riêng của H như sau: ˆ0

   là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng Biến

đổi toán học, ta được

Phương trình (2.6) và (2.7) gọi là sơ đồ Rayleigh-Schrodinger cho

phương pháp nhiễu loạn dừng (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn)

hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử

Do thế nhiễu ˆV không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma

trận trên đường chéo chính của ˆV bằng 0

2.2.2 Tính bổ chính bậc hai

Từ (2.14) suy ra biểu thức bổ chính bậc hai cho năng lượng của hệ là:

(2)

(0) 0

nk kn n

k n kk

k n

V V E

Bổ chính bậc hai cho cho năng lượng cơ bản sẽ là một đại lương âm phụ

thuộc vào đặc tính của nhiễu loạn Như vậy, với độ chính xác đến các số hạng

có độ bé cấp hai, năng lượng của hệ suy ra từ (2.6), (2.7), (2.10), được tính

bằng:

2 (0)

(0) 0

Trong bài toán nguyên tử hydro gọi k=k x +k y +k z thì biểu thức (2.11)

được viết lại như sau:

,

2 (2)

k k k E

Để hiểu hơn về cách tính bổ chính bằng phương pháp toán tử, ta thử tính

một vài yếu tố ma trận của Vˆ và của (0)

x y z

n n n

được tính bằng ngôn ngữ lập trình Mapple

t Z

t Z

t Z

Để đáp ứng yêu cầu khảo sát tính hội tụ nhanh hay chậm của năng

lượng đã bổ chính bậc đến bậc hai theo lí thuyết nhiễu loạn ứng với bậc k

tương đối lớn, tác giả xây dựng chương trình tính bổ chính năng lượng bậc hai

chạy trên máy tính

Xây dựng hàm con cho thành phần không trung hòa Vˆ

Bằng ngôn ngữ lập trình fortran 9.0, viết chương trình tính bổ chính

bậc hai năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro, cho xuất kết quả ứng với tổng

chỉ số k chạy từ giá trị 2 đến 16, ta thu được bảng số liệu sau (xem phụ lục 6)

Nhận xét: Tương ứng với bậc k càng cao thì năng lượng bổ chính càng

tiến về gần giá trị chính xác là -0.5 hơn Tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm

Nguyên nhân là vì ta mới chỉ tính đến bổ chính bậc hai Để thu được kết quả

tốt hơn, ta tiếp tục tính đến bổ chính bậc cao hơn

Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3,4 ứng với bậc k=4

bằng ngôn ngữ lập trình fortran, ta thu được kết quả (xem phụ lục 5)

Năng lượng bổ chính -0.46681682829462616

Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3 ứng với bậc k=6 bằng

ngôn ngữ lập trình fortran, ta thu được kết quả (xem phụ lụ 5c)

Khi ngắt chuỗi đến một bậc k nào đó, năng lượng bổ chính thu được là

gần đúng Nếu tính đến bổ chính bậc càng cao thì kết quả thu được càng tiến

về một giá trị tốt hơn, tuy nhiên, tốc độ hội tụ rất chậm Các chuỗi được đoán

nhận là hội tụ do   ,   1

Với kết quả thu được ở trên, tác giả đặt ra mục tiêu tìm ra một phương

pháp cho kết quả năng lượng có cùng độ chính xác với sơ đồ nhiễu loạn nhưng

khối lượng tính toán ít hơn

3 Chương 3

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA

NGUYÊN TỬ HYDRO

Khi lấy tổng chỉ số k nhỏ, không cần tính đến các bổ chính bậc cao theo

sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, vẫn thu được giá trị năng lượng cơ bản tiến về gần

-0.5 bằng cách bổ chính E 0 thu được theo một sơ đồ vòng lặp

Để tìm nghiệm của phương trình (1.1), không mất tính tổng quát ta có thể

giả thiết hàm sóng cho trạng thái n như sau:

Hệ phương trình đại số (3.5) - (3.6) có thể xem tương đương với phương

trình Schrodinger (1.1) Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng E n

và các hệ số C j, nghĩa là tìm được hàm sóng n( )x qua công thức (3.1) Ta

có sơ đồ lặp như sau:

Hình 3.1 Sơ đồ thuật giải vòng lặp

k k