khái niệm số thập phân đối với học sinh trung học phổ thông

C’est la construction qui sera retenue plus loin - Tập hợp các số tự nhiên với cấu trúc cộng và cấu trúc thứ tự rời rạc của chúng là một chướng ngại khi lĩnh hội cấu trúc đại số và cấu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hoàng Đức Huy

KHÁI NIỆM SỐ THẬP PHÂN

ĐỐI VỚI HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠN PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số: 60.10.40

Người hướng dẫn khoa học:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Ở Pháp, kể từ sau cuộc chống cải cách Toán học Hiện đại (1968/1978) số thập phân đóng vai trò cơ sở trong việc nghiên cứu hệ thống số (theo Bronner, 1997) Sự chọn lựa didactic này chịu ảnh hưởng từ ý kiến sư phạm của những nhà toán học lớn của Pháp, chẳng hạn theo Lebesgue :

Nếu ta chọn hệ đếm thập phân cho giảng dạy ở phổ thông là vì những lý do sư phạm : để tiết kiệm thời gian, và bởi vì số được biểu diễn trong hệ thập phân sẽ cụ thể và phù hợp với tư duy của trẻ (Lebesgue,1931, tr 8)

Trong đời sống và trong các ngành khoa học, nhất là các ngành khoa học thực nghiệm như vật lý, hóa học…, người ta thường sử dụng số thập phân khi tính toán và chấp nhận các kết quả thập phân gần đúng

Trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất, theo Luận án tiến sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) khái niệm số thập phân chỉ chính thức được nghiên cứu ở tiểu học Đến trung học cơ sở, số thập phân được nhận dạng như những số hữu tỷ đặc biệt Thể chế dạy học trung học cở sở và trung học phổ thông không xem số thập phân là đối tượng nghiên cứu.Tuy nhiên chúng vẫn xuất hiện trong định nghĩa số thực và tính toán gần đúng, nhất là trong tính toán với máy tính bỏ túi hiện rất được khuyến khích tại Việt Nam

Vì vậy, chúng tôi cho rằng vai trò và vị trí của đối tượng số thập phân trong dạy học toán bậc phổ thông Việt Nam không được xem trọng như trong thể chế dạy học của Pháp

Mặt khác, các nghiên cứu về việc giảng dạy số thập phân trong thể chế dạy học Việt Nam cũng rất hiếm Điều này giải thích cho tính thích đáng của nghiên cứu mà chúng tôi dự định thực hiện

Chúng tôi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi sau:

Khái niệm số thập phân đã được đưa vào chương trình hiện hành và sách giáo khoa phổ thông Việt Nam như thế nào? Có sự tiến triển nào về chương trình và sách giáo

khoa đối với việc dạy học khái niệm số thập phân qua hai chương trình hiện hành

và trước năm 2001 ?

Những khó khăn nào mà học sinh Việt Nam gặp phải khi học khái niệm này? Lý do của những khó khăn trên là gì ? Trong những khó khăn này, cái nào giống và khác với những gì mà các nhà Didactic Toán của Pháp đã phát hiện khi nghiên cứu thể chế dạy học của Pháp ?

Quan niệm về khái niệm số thập phân của học sinh có được sau khi học khái niệm này là gì?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu của chúng tôi sử dụng chủ yếu các công cụ của lý thuyết nhân chủng học của Chevallard (1991) Đặc biệt hai định đề mà chúng tôi tích lại dưới đây của

Chevallard đóng vai trò giả thuyết công việc cho nghiên cứu của chúng tôi

+ Mọi thực tế thể chế đều có thế phân tích được, theo những quan điểm khác nhau và bằng những cách khác nhau, thành một hệ thống các nhiệm vụ xác định

+ Việc thực hiện mỗi kiểu nhiệm vụ là kết quả của việc áp dụng một kĩ thuật

- Trong khuông khổ của nghiên cứu này, chúng tôi sẽ đặc biệt nghiên cứu những sai lầm của học sinh khi học số thập phân Điều rút ra từ việc từ việc nghiên cứu sai lầm

đã được Brousseau nhận định:

“Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra (… ), mà còn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nũa Những sai lầm thuộc loại này không phải thất

thường hay không dự đoán được Chúng tạo thành chướng ngại Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được.” (G.Brousseau, 1976)

“Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên hệ với nhau trong một nguồn chung : một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng, nhất quán - nếu không muốn nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt động nào đó.”

(G.Brousseau, 1976)

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng

tôi giới hạn đề tài của mình vào các câu hỏi nghiên cứu sau:

Q1: Những đặc trưng khoa học luận của khái niệm số thập phân là gì? Đâu là những chướng ngại khoa học luận gắn với khái niệm này?

Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng số thập phân trong chương trình hiện hành? Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặp những khó khăn gì khi học khái niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốc khoa học luận? Những khó khăn nào gây ra do

sự lựa chọn Didactic của thể chế dạy học?

3 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp lại một số kết quả của những nghiên cứu trước đó (Pháp: Brousseau 1987,

Margolinas 1985, Neyret 1995; Việt Nam: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) để trả lời cho

câu hỏi Q1

- Phân tích chương trình và sách SGK hiện hành từ tiểu học đến trung học phổ thông

để tìm một số yếu tổ trả lời câu hỏi Q2

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận

+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

+ Trong chương 1, chúng tôi tóm tắt một số đặc trưng khoa học luận và toán học của

số thập phân từ công trình của Brousseau (1998), cấu trúc đại số và thứ tự của số thập phân

từ quan điểm của toán học cao cấp Đặc biệt chúng tôi sẽ nhấn mạnh sự phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân

+ Trong chương 2, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế dạy học ở trường tiểu học, trung học cơ sở, trung học phổ thông ở Việt Nam liên quan đến đối tương số thập phân

+ Trong chương 3, chúng tôi trình bày một thực nghiệm nhằm tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh với số thập phân

+ Phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn

Chương 1:

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ TOÁN HỌC CỦA SỐ

THẬP PHÂN 1.1 Một số kết quả khoa học luận của Brousseau (1998)

Từ các nghiên cứu khoa học luận và việc trình bày số thập phân Brousseau (1998) đã kết luận rằng:

Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng số thập phân Những định nghĩa và cách xây dựng này khác nhau do sự lựa chọn những kiến thức khởi đầu khác nhau Ngoài ra việc xây dựng khái niệm số thập phân bằng tiên đề là kiểu định nghĩa cuối cùng của khái niệm số thập phân nói riêng và của những khái niệm toán học khác nói chung Brousseau cũng nhấn mạnh rằng cách xây dựng bằng phương pháp tiên đề cần phải được bổ sung thêm các lý thuyết để có thể hiểu được định nghĩa

Il existe bien des mainières de définir mathématiquement ou de cons-truire les décimaux Elles diffèrent par le choix de ce que l’on considère connu comme objets mathématiques et comme méthode de démonstration, mais leur résultat est le même, en ce sens qu’il existe un moyen de montrer l’équivalence, l’isomorphisme des structures obtenues Chacune de ces constructions axiomatiques est dans le champ des mathématiques ; par contre, l’étude de ce qui fait leurs différences, les raisons des choix, de ce qui est admis ou non, de ce qui est important ou non, facile ou non ne relève pas des mathématiques Une constructions axiomatique est chargée implicitement d’option épistémologiques, de présupposés didactiques qu’il faut se garder de croire nécessaires au même titre que les conclusions mathématiques, mais par lesquels il faut bien passer pour obtenir un discours qui permet de communiquer la notion Deux méthodes diffèrent par le choix des axiomes et des règles de production des théorèmes1

( Brousseau 1998, trang 201) Brousseau tóm tắt một số cách xây dựng số thập phân theo hai cách mở rộng hay thu hẹp một tập số cho trước

- Xây dựng số thập phân bằng cách mở rộng Z hay N

Prenons, par exemple, une construction directe des décimaux D :

Considéron, dans ZxN, la relation d’équivalence ~

( , , , )D  x  , la classe de (a,n) étant notée

Qui prolongent les opérations dans N, identifié à ( ,0)N D

Dest ordonné par ( , ) ( , )a n  b p a.10nb.10p

Alors ( , , , )D  x  est un anneau commutatif unitaire intègre et totalement ordonné

( Brousseau, 1998, trang 203)

- Xây dựng số thập phân từ việc thu hẹp tập số hữu tỉ

Exemple : les descimaux sont les rationnels exprimables par une fraction descimale (C’est la construction qui sera retenue plus loin)

- Tập hợp các số tự nhiên với cấu trúc cộng và cấu trúc thứ tự rời rạc của chúng là một chướng ngại khi lĩnh hội cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự của tập hợp số thập phân Đặc biệt, thứ tự rời rạc của tập hợp số tự nhiên sẽ ngăn cản việc lĩnh hội thứ tự không rời rạc của tập hợp số thập phân

- Những lựa chọn Didactic liên quan đến việc xây dựng số thập phân trong thể chế dạy học Pháp càng làm gia tăng chướng ngại này Nghĩa là chướng ngại khoa học luận kể trên cũng là chướng ngại có nguồn gốc didactic2 (đối với thể chế dạy học của Pháp)

1.2 Cấu trúc đại số của số thập phân

1.2.1 Số thập phân có cấu trúc vành

Trong lý thuyết toán học: Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong X kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

1 X cùng với phép cộng là một nhóm aben

2 X cùng với phép nhân là nửa nhóm

3 Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử x y z X, ,  ta có:

x( y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx

Từ đó, khi gọi D là tập các số thập phân, có thể thấy tập số thập phân D có cấu trúc vành và có các đặc trưng sau :

1.2.2 Số thập phân là một vành giao hoán có đơn vi

2 Theo Cornu (1983): Là những chướng ngại gây ra bởi phương pháp giảng dạy Đó là những chướng ngại hoặc do giáo viên gây

ra hoặc do hệ thống dạy học (bao gồm chương trình, chỉ dẫn của chương trình, thói quen, lựa chọn các ví dụ , …) gây ra

(b c a ba bc )  

4 Phép nhân trong D có phần tử đơn vị:

a D

  : Ta có a.1  a

1.2.3 Số thập phân không có cấu trúc trường

Thật vậy, vì một số số thập phân không có phần tử nghịch đảo nên số thập phân không

có cấu trúc trường

Ví dụ: 0,3 D ; nhưng 1

0,3 D

1.2.4 Số thập phân là tập con của các trường Q và R

Thật vậy, như ta đã biết: mỗi số thập phân là số hữu tỉ, như vậy tập số thập phân là tập con của các trường Q và R

1.3 Sự phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân

1.3.1 Số thập phân có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng viết

Các dạng viết này có thể xuất hiện như là nghiệm của phương trình hay kết quả khai căn bậc hai của một số thực, kết quả của tính xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm Vậy mỗi dạng viết khác nhau của số thập phân liên hệ với những vấn đề toán học sinh ra số thập phân này

Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng viết như sau:

- Dạng viết thập phân là 2,5

- Dạng viết phân số là 5

2(ví dụ khi giải phương trình 2x = 5)

- Dạng viết a là 6, 25 (Ví dụ khi giải phương trình x2 = 6,25)

- Dạng viết 2 + sin30o (Dạng viết này có thể xuất hiện khi giải phương trình lượng giác)

1.3.2 Tất cả các số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân Như vậy, người ta có

thể phân biệt các kiểu số dựa vào dạng viết thập phân của chúng

- Số thập phân có dạng viết thập phân hữu hạn hoặc vô hạn với chu kỳ 0

- Số hữu tỉ có thể viết dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn (kể cả số thập phân) Khi đó

ta xem số thập phân là số có dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ 0 hoặc chu kỳ 9

4= 0,25 ta có thể kết thúc ngay ở số 5; trong khi 1

3 là một số thập phân vô hạn tuần hoàn vì khi biểu diễn 1

3= 0,333 ta có thể viết thể viết thêm bao nhiêu chữ số 3 nữa vẫn chưa biểu diễn đúng hẳn được số 1

3, nhưng nếu muốn kéo dài con số 3 đến bao nhiêu cũng viết được Cũng như thế, có thể viết

Šư thế trong biểu diễn dạng thập phân của 1

7, các số 142857 được lặp lại theo thứ

tự đó bao nhiêu lần tùy ý … và ta muốn dừng lại ở số mấy cũng được miễn là đã biểu diễn đầy đủ 6 con số này tức là quy tắc tuần hoàn của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,1428571 = 1

7

( Toán học cao cấp tập 2 , Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 9)

Như vậy chúng ta cần chú ý rằng, chẳng hạn dạng viết 0,333 … không phải là số thập phân Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một số thập phân vô hạn tuần hoàn”, điều này

có thể gây hiểu lầm rằng đây là số thập phân Trong khi đó chỉ là dạng viết thập phân của số hữu tỉ

- Số vô tỷ được chứng minh là có dạng viết thập phân vô hạn không tuần hoàn (cách chứng minh dựa vào tính đếm được và không đếm được trong tập hợp các số)

Người ta chứng minh rằng bất kì một số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn

Nhưng, với số vô tỉ thì không như thế, người ta cũng chứng minh được rằng bất

kì một số vô tỉ nào cũng biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn Chẳng hạn khi viết:

Tương tự như trên, ta chỉ có thể biễu diễn xấp xỉ 2với 5 con số sau dấu phẩy

và từ năm con số đó không thể suy diễn để viết tiếp những con số thập phân khác vì

2 là số vô tỉ, có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn

Ngoài ra như định nghĩa trên tập các số hữu tỉ và số vô tỉ, ta có bao hàm thức:

N  Z Q R

( Toán học cao cấp tập 2, Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 10)

Như vậy chúng ta cũng chú ý 2 không phải là số thập phân nhưng có thể biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một

số TP vô hạn không tuần hoàn”, điều này có thể gây hiểu lầm rằng số ấy là số TP Trong khi

đó chỉ là dạng viết TP của số vô tỉ

Tóm lại, ta cần phân biệt giữa dạng viết thập phân của một số thực với số thực này Tương tự như vậy, chúng ta cũng có thể biểu diễn số thực dưới dạng liên phân số thông qua

số hữu tỉ (nghĩa là có thể nói liên phân số là dạng viết hữu tỉ của số thực)

1.4 Thứ tự không rời rạc của tập số thập phân và tính trù mật của nó trong

Q và R

- Quan hệ thứ tự:

là một quan hệ thứ tự trong X, nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:

1 (Phản xạ): Với mọi a X aSa :

2 (Phản đối xứng): Với mọi a b X,  nếu aSa và bSa thì a = b

3 (Bắc cầu): Với mọi a b c X, ,  nếu aSb và bScthì aSc

Ta nói một tập X sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự

Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là một tập được sắp Nếu với mọi a b X, 

đều có a b hoặc b a thì X gọi là được sắp tuyến tính (hay sắp toàn phần) Trong trường hợp khác thì X gọi là được sắp bộ phận

Tập con A của một không gian Mêtric X gọi là trù mật trong X nếu A X

Từ các định nghĩa và các cách xây dựng tập số thập phân (D) hoặc bằng cách mở rộng tập N hoặc bằng cách thu hẹp Q hay tập R (Brossseau 1987) đã chỉ rõ các tính chất đặc trưng liên quan đến thứ tự của tập D so với N, Q và R

Tập D phân biệt so với tập N bởi thứ tự không rời rạc

Chẳng hạn “n là số liền sau của 17” có lời giải trong N, nhưng không có lời giải trong

D (Brossseau 1987, trang 449)

- Tập D là trù mật trong Q hay R

D trù mật trong Q và trù mật trong R vì với một sai số mong muốn cho trước, luôn tồn tại một số thập phân mà khoảng cách từ số thập phân này đến số thực nhỏ hơn sai số đã chọn (Brousseau, 1987, trang 450) Nghĩa là D R

1.5 Kết luận

• Các tính chất đặc trưng của số thập phân :

- Tập hợp số thập phân là một vành giao hoán có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân Tập hợp số thập phân không phải là trường vì tồn tại những số thập phân không có phần tử khả nghịch là số thập phân

- Thứ tự trên tập hợp số thập phân là thứ tự không rời rạc (nghĩa là không có khái niệm hai số thập phân kề nhau)

- Tập hợp số thập phân là trù mật trong Q và trù mật trong R : với mọi số thực cho trước, luôn tồn tại 1 dãy các số thập phân hội tụ về số thực này

• Số thập phân có thể viết dưới nhiều dạng viết Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng viết như sau:

- Dạng viết thập phân là 2,5

- Dạng viết phân số là 5

2(ví dụ khi giải phương trình 2x = 5)

- Dạng viết a là 6, 25 (Ví dụ khi giải phương trình x2 = 6,25)

- Dạng viết 2 + sin30o (Dạng viết này có thể xuất hiện khi giải phương trình lượng giác)

• Các số hữu tỉ và vô tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân Ví dụ: - 13= 0,333 Đây

là dạng viết thập phân của số hữu tỉ

- 2= 1,4142 Đây là dạng viết thập phân của số vô tỉ

• Chướng ngại liên quan đến việc lĩnh hội số thập phân :

Cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự rời rạc của tập hợp các số tự nhiên tạo nên một chướng ngại khoa học luận và có thể là chướng ngại Didactic đối với việc lĩnh hội tập hợp số thập phân

Từ các nghiên cứu trên, làm cơ sở cho chúng tôi nghiên cứu câu hỏi :

Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng số thập phân trong chương trình hiện hành? Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặp những khó khăn gì khi học khái niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốc tri thức luận? Những khó khăn nào gây ra do

sự lựa chọn Didactic của thể chế dạy học?

Chương 2 :

MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI SỐ THẬP PHÂN Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Để làm rõ trong thể chế dạy học Toán trung học phổ thông, chúng tôi buộc phải phân

tích mối quan hệ thể chế đối với đối tượng này trong thể chế dạy học Toán tiểu học và trung học cơ sở Bởi vì theo nghiên cứu sơ lược của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) về chương trình hiện hành thì đối tượng số thập phân cũng chỉ được tập trung nghiên cứu trong hai thể chế tiểu học và trung học cơ sở Như trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình trên các vấn đề về cấu trúc đại số, thứ tự trong tập hợp số thập phân và sự phân biệt giữa số thập phân với dạng viết thập phân

Phân tích chương này chúng tôi dựa vào các sách giáo khoa và chương trình sau đây:

1 Chương trình toán tiểu học hiện hành (2000), Bộ Giáo dục và Đào tạo

2 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2007), sách giáo khoa Toán 5, NXBGD

3 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 5, NXBGD

4 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách giáo khoa Toán 4, NXBGD

5 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 4, NXBGD

6 Đỗ Đình Hoan chủ biên (2007), sách giáo viên Toán 5, NXBGD

7 Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo khoa Toán 7, NXBGD

8 Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo viên Toán 7, NXBGD

9 Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2006), sách đại số 10 nâng cao, NXBGD

10 Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2006), sách giáo viên đại số 10 nâng cao, NXBGD

2.1 Thể chế ở trường tiểu học

2.1.1 Ở cấp độ chương trình

Trong chương trình toán hiện hành các phép tính cộng trừ đã được đưa vào chương trình ở lớp 1 và lớp 2 trong phạm vi các số tự nhiên bé hơn 100 Phép nhân và phép chia được giảng dạy lần đầu ở lớp 3 trong phạm vi 100 và 1000 Ở đây phân số xuất hiện lần đầu

ở lớp 2 thông qua dạy bài 1

2, số thập phân được chính thức giảng dạy ở lớp 5

Liên quan đến số thập phân, chúng tôi tìm thấy những yêu cầu sau:

Đối với số thập phân chương trình tiểu học yêu cầu nắm:

a) Khái niệm ban đầu về số thập phân Đọc, viết, so sánh các số thập phân Viết và chuyển đổi các số

đo đại lượng dưới dạng số thập phân

b) Phép cộng và phép trừ các số thập phân có đến ba chữ số ở phần thập phân, có nhớ không quá ba lần

c) Phép nhân các số thập phân có tới ba tích riêng và phần thập phân của tích có không quá ba chữ

số

d) Phép chia các số thập phân, trong đó số chia có không quá ba chữ số (cả phần nguyên và phần thập phân), thương có không quá bốn chữ số, với phần thập phân của thương có không quá ba chữ

số

e) Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng và phép nhân, nhân một tổng với một số

f) Thực hành tính nhẩm trong một số trường hợp đơn giản Tính giá trị biểu thức số thập phân có không quá ba dấu phép tính

(Chương trình hiện tại, trang 17)

Như vậy, số thập phân chưa được nghiên cứu đầy đủ, thể chế chỉ giới hạn nghiên cứu trên tập D3 (tập hợp các số thập phân có tối đa 3 chữ số thập phân sau dấu phẩy)

2.1.2 Phân tích sách giáo khoa

A Phần bài học:

- Ở sách giáo khoa lớp 5 người ta không định nghĩa chính thức số thập phân mà khái niệm số

thập phân được giới thiệu thông qua các ví dụ

Khái niệm số thập phân được hình thành, giới thiệu thông qua các phân số thập phân

và việc đổi đơn vị độ dài như sau :

1000,001 đọc là: không phẩy không không một; 0,001 = 1

1000Các số 0,1; 0,01; 0,001 gọi là số thập phân

Mối liên hệ giữa số thập phân và số tự nhiên cũng được hình thành thông qua việc đổi đơn vị độ dài

1000,009 đọc là: không phẩy không không chín; 0,009 = 9

1000Các số 0,5; 0,07; 0,009 cũng được gọi là số thập phân

 2m7dm hay 2 7

10 được viết thành 2,7m;

2,7m đọc là: hai phẩy bảy mét

 8m56cm hay được viết thành 8,56m

8,56 đọc là : tám phẩy năm mươi sáu

(Toán 5, Đỗ Đình Hoan chủ biên, NXBGD, 2007)

Nhận xét : Như Brousseau (1998) đã đề cập việc dạy học số thập phân cùng với việc

đọc số thập phân như sách giáo khoa đã lựa chọn nhấn mạnh trên sự tương đồng giữa số thập phân và số tự nhiên, gây ra hậu quả là học sinh có khuynh hướng hiểu số thập phân chỉ là số

tự nhiên có thêm dấu phẩy

Thứ tự trên số thập phân là một mục tiêu chính của chương trình toán 5 liên quan đến dạy học toán 5

Mục tiêu: Theo sách giáo vien lớp 5 thì mục tiêu của phần này là giúp học sinh biết cách so sánh hai số thập phân và biết sắp xếp các số thập phân theo thứ tự từ bé đến lớn (hoặc ngược lại)

(Toán 5, Sách giáo viên, trang 88)

B Phần bài tập

Chúng tôi sẽ xem xét các kiểu nhiệm vụ theo 2 trục

- Nhóm trục thứ nhất liên quan đến cấu trúc đại số

- Nhóm trục thứ hai liên quan đến thứ tự trên số thập phân

• Liên quan đến cấu trúc đại số : có các phép toán : cộng, trừ, nhân, chia

Kĩ thuật để giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cộng, trừ, nhân, chia số thập phân được quy về cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên rồi sau đó thực hiện việc đổi đơn vị hay thực hiện quy tắc đặt dấu phẩy Điều này càng nhấn mạnh trên sự tương đồng giữa số thập phân

và số tự nhiên

Kiểu nhiệm vụ T1: Cộng số thập phân : Phép cộng hai số thập phân được đưa vào chương trình thông qua ví dụ:

Ví dụ (ví dụ 1 trang 49 sách giáo khoa Toán 5): Đường gấp khúc ABC có đoạn thẳng

AB dài 1,84m và đoạn thẳng BC dài 2,45m Hỏi đường gấp khúc đó dài bao nhiêu mét?

1,84 Thực hiện phép cộng như cộng các số tự nhiên

2,45 Viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các dấu phẩy của các

Kĩ thuật cộng hai số thập phân cuối cùng được mô tả như sau :

Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

- Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau

- Cộng như cộng các số tự nhiên

- Viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng (Toán 5, trang 50)

Kiểu nhiệm vụ T2: Phép trừ

Tương tự như phép cộng 2 số thập phân

Kĩ thuật phép trừ 2 số thập phân được mô tả :

Muốn trừ một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:

- Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau

- Trừ như trừ các số tự nhiên

- Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ

Chú ý: Nếu số chữ số ở phần thập phân của số bị trừ ít hơn số chữ số ở phần thập phân của số trừ, thì ta có thể viết thêm một số thích hợp chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của số bị trừ, rồi trừ như trừ các số tự nhiên

(Sách giáo khoa Toán 5, Đỗ Đình Hoan chủ biên , 2007 , NXBGD)

Kiểu nhiệm vụ T3: Nhân các số thập phân:Như đã nói các kĩ thuật này dựa trên các

kĩ thuật nhân các số tự nhiên

a) Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

Muốn nhân một số thập phân vói một số tự nhiên ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên

- Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái

b) Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000,…

Muốn nhân một số thập phân với 10, 100, 1000, …ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số

đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba, … chữ số

c) Nhân một số thập phân với một số thập phân

Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên

- Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái

Chú ý: Khi nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001, … ta chỉ việc chuyển dấu phẩy

của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba, … chữ số

Kiểu nhiệm vụ T4: Chia số thập phân

Tương tự như kiểu nhiệm vụ T3, kĩ thuật chia các số thập phân được mô tả kĩ và cũng dựa vào kĩ thuật chia 2 số tự nhiên

Kết luận: Việc nghiên cứu cấu trúc đại số của tập hợp số thập phân càng làm tăng

thêm sự tương đồng của số thập phân và số tự nhiên Sự khác biệt trong các kĩ thuật nhân, chia, cộng, trừ số thập phân so với nhân, chia, cộng, trừ số tự nhiên chỉ được phân biệt qua đặt dấu phẩy vào kết quả tìm được

• Liên quan đến thứ tự :

Theo sách giáo viên Toán lớp 5, trang 87, 88 thì mục tiêu của phần này là :

Giúp học sinh nhận biết: Viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân hoặc bỏ chữ

số 0 (nếu có) ở tận cùng bên phải của số thập phân thì giá trị của số thập phân không đổi

Giúp học sinh biết cách so sánh hai số thập phân và biết sắp xếp các số thập phân theo thứ tự từ bé đến lớn (hoặc ngược lại)

Liên quan đến thứ tự của số thập phân, trước tiên chúng tôi tìm hiểu số thập phân bằng nhau

a) Ví dụ: 9dm = 90cm

Mà : 9dm = 0,9m

nên : 0,9m = 0,90m Vậy : 0,9 = 0,90 hoặc 0,90 = 0,9

b) Nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của một số thập phân thì được một số thập phân bằng nó

Ví dụ: 0,9 = 0,90 = 0,900 = 0,9000

12 = 12,0 = 12,00 = 12,000 Nếu một chữ số thập phân có chữ số 0 ở tận cùng bên phải phần thập phân thì khi bỏ chữ số 0 đó đi, ta được một số thập phân bằng nó

Ví dụ: 0,9000 = 0,900 = 0,90 = 0,9 12,000 = 12,00 = 12,0 = 12 (Toán 5, trang 40)

Trong bài tập của phần này, chúng tôi thấy có 15 nhiệm vụ liên quan đến thứ tự số thập phân (tuy nhiên chỉ có 3/15 nhiệm vụ thể hiện mối liên hệ giữa số thập phân và phân số thập phân).Chẳng hạn :

Bài 3/40 Khi viết số thập phân 0,100 dưới dạng phân số thập phân, bạn Lan viết:

100 0,100

Kiểu nhiệm vụ T5: So sánh hai số thập phân

• Chúng tôi tìm thấy hai kỹ thuật so sánh số thập phân

- Kĩ thuật 1: kĩ thuật so sánh các số thập phân bằng cách chuyển về các số tự nhiên tương ứng vẫn được giới thiệu thông qua việc đổi đơn vị độ dài

Ví dụ (ví dụ 1 trang 40 sách giáo khoa lớp 5):: So sánh 8,1 và 7,9

Ta có thể viết : 8,1m = 81dm 7,9m = 79dm

Ta có : 81dm > 79dm (81 > 79 vì hàng chục có 8 > 7) Tức là : 8,1m > 7,9m

Vậy : 8,1 > 7,9 (phần nguyên có 8 > 7) (Toán 5, trang 41) Như vậy, việc so sánh các số thập phân có thể thực hiện được thông qua việc so sánh các số tự nhiên sau khi đã đổi đơn vị độ dài

Một kỹ thuật khác để so sánh hai số thập phân tiếp tục được giới thiệu thông qua ví dụ 2 trang 41 sách giáo khoa toán lớp 5 như sau

Trong hai số thập phân có phần nguyên bằng nhau, số thập phân nào có hàng phần mười lớn hơn thì số đó lớn hơn

(Toán 5, trang 41)

Ky thuật thứ hai được trình bày chính thức và trở thành kỹ thuật được thể chế mong đợi:

Muốn so sánh hai số thập phân ta có thể làm như sau:

- So sánh các phần nguyên của hai số đó như so sánh hai số tự nhiên, số thập phân nào có phần nguyên lớn hơn thì số đó lớn hơn

- Nếu phần nguyên của hai số đó bằng nhau thì so sánh phần thập phân, lần lượt

từ hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn, … ; đến cùng môt hàng nào đó,

số thập phân nào có chữ số ở hàng tương ứng lớn hơn thì số đó lớn hơn

- Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số đó bằng nhau thì hai số đó bằng nhau

Ví dụ:

2001,2 > 1999,7 (vì 2001 > 1997) 78,469 < 78,5 (vì phần nguyên bằng nhau, ở hàng phần mười có 4 < 5) 630,72 > 630,70 (vì phần nguyên bằng nhau, hàng phấn mười bằng nhau, có hằng phần trăm có 2 > 0)

(Toán 5, trang 42)

Nhận xét : Như vậy, việc so sánh hai số thập phân có phần nguyên bằng nhau được

quy về việc so sánh 2 phần thập phân của chúng Trong ví dụ 2 ở trên, kĩ thuật chuyển 2 phần thập phân thành 2 số tự nhiên tương ứng (bằng cách đổi đơn vị độ dài từ m ra mm) đã được vận dụng

Ở sách giáo khoa Toán lớp 5 chúng tôi thấy xuất hiện kiểu bài tập so sánh 2 hoặc nhiều số thập phân có độ dài bằng nhau và khác nhau

Tuy rằng kỹ thuật cuối cùng được rút ra là thứ tự từ điển nhưng một kỹ thuật khác có thể được hình thành trong ví dụ 2 (trang 41 sách giáo khoa Toán 5) đó là chuyển 2 số thập phân cần so sánh về phân số thập phân rồi so sánh hai phân số đó

Trong chương trình tiểu học, thông qua sách giáo khoa lớp 5, hai kĩ thuật chính về so sánh số thập phân được giới thiệu: Thứ nhất là đưa việc so sánh hai số thập phân về so sánh hai số tự nhiên, thứ hai là dùng quy tắc cổ điển, ngoài ra sách giáo khoa còn giới thiệu so sánh 2 số thập phân bằng cách đưa về so sánh phân số thập phân

Như vậy : Nhiều kỹ thuật được rút ra khi so sánh hai số thập phân nhưng chỉ duy nhất thứ tự

rời rạc được sách giáo khoa vận dụng

Kết luận : Việc so sánh các số thập phân dựa vào thứ tự trên các số tự nhiên mà

không có 1 bài tập nào để chỉ ra sự khác biệt này Như vậy thứ tự trên tập hợp số thập phân được nghiên cứu chỉ là thứ tự rời rạc

• Vấn đề so sánh các số thập phân không cùng độ dài

Vấn đề này được tìm thấy trong bài tập sắp xếp số thập phân, chẳng hạn

Bài 2 trang 42 Viết các số theo thứ tự từ bé đến lớn

Quan sát cặp số thập phân có cùng phần nguyên 6,375 và 6,735 chúng ta thấy chúng có cùng

độ dài và phần nguyên 735 > 375 Như vậy, nếu học sinh hiểu số thập phân là một cặp các số nguyên và so sánh chúng dựa trên cặp số nguyên này (kiến thức sai) thì câu trả lời của học sinh vẫn đúng

• Vấn đề chặn các số thập phân :

Trong chương trình tiểu học, chúng tôi thấy vấn đề chặn các số thập phân được đặt ra Tuy nhiên trong các kiểu nhiệm vụ này, số chữ số thập phân sau dấu phẩy luôn bằng nhau Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện ngay trong bài so sánh số thập phân Nó xuất hiện dưới dạng bị chặn trên và chặn dưới Ví dụ :

Bài 3 trang 43: Tìm chữ số x, biết 9,7x8 < 9,718

Bài giải:

Theo sách giáo viên Toán 5: Cho học sinh tự làm rồi chữa bài

Kết quả là: 9,708 < 9,718

Như vậy, bài toán chặn này học sinh chỉ làm việc trên 2 số tự nhiên cùng độ dài

Bài 4 trang 43: Tìm số tự nhiên x, biết:

a) 0,9 < x < 1,2 b) 64,97 < x < 65,14

Bài giải:

Theo sách giáo viên toán 5, trang 90: Cho học sinh tự nêu bài tập rồi làm bài và chữa bài: a) x = 1 vì 0,9 < x < 1,2

- Chương trình tiểu học chỉ xét các số thập phân trong tập D3

- Mối liên hệ giữa số thập phân, số tự nhiên và phân số thập phân chỉ được đề cập ngầm

ẩn trong phần bài học

- Vấn đề so sánh các số thập phân không cùng độ dài chiếm tỉ lệ ít

- Vấn đề chặn một số thập phân bằng hai số thập phân khác không được đặt ra

- Đối với kiểu nhiệm vụ liên quan đến thứ tự số thập phân thì thứ tự không rời rạc chưa bao giờ được nghiên cứu

Số thập phân xuất hiện trở lại ở lớp 7

2.2 Thể chế ở trường trung học cơ sở

2.2.1 Ở cấp độ chương trình

Theo sách giáo viên Toán lớp 7 thì mục tiêu của phần này là:

- HS nhận biết được số thập phân hữu hạn, điều kiện để một phân số tối giản biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần toàn

- Hiểu được rằng số hữu tỉ là số có biểu diễn thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn

Chú ý: Các nhận xét nêu trong SGK là các điều kiện để một phân số viết được dưới dạng số thâp phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn HS cần nắm được các điều kiện này để nhận biết một phân số có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn hay không Cần lưu ý rằng khi xét các điều kiện này, phân số phải tối giản

(Sách giáo viên Toán 7, trang 38)

Như vậy: Mục đích của việc quay lại số thập phân lần này là để giới thiệu các dạng

viết thập phân của số hữu tỉ và số thực

Để làm rõ các kết luận trên, chúng tôi đi sẽ phân tích phần bài học và bài tập của sách giáo khoa lớp 7

2.2.2 Phân tích sách giáo khoa lớp 7

100 0,15 120 1,48

0 200

0 Vậy 3

20 = 0,15; 37

25= 1,48 Vậy, các số 0,15 ; 1,48 gọi là số thập phân hữu hạn

Ví dụ 2 : Viết phân số 5

12 dưới dạng thập phân 5

12 = 0,4166666666666666,…

Phép chia này không bao giờ chấm dứt Nếu cứ tiếp tục chia thì trong thương, chữ số 6 sẽ được lặp đi lặp lại Ta nói rằng khi chia 5 cho 12, ta được một số (số 0,4166 ), đó là một số thập phân vô hạn tuần hoàn Số 0,4166 được viết gọn là 0,41(6) Kí hiệu (6) chỉ rằng chữ số 6 được lặp lại vô hạn lần Số 6 gọi là chu kỳ của

số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,41(6)

Tương tự : 1

9 = 0,111… = 0(1); 0(1) là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 1

Nhận xét : Giống như giáo trình Toán Đại học mà chúng tôi đã phân tích ở chương 1,

sách giáo khoa Toán lớp 7 gọi dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn là số Điều này gây khó khăn cho việc hiểu rằng chúng ta không có một số mới (số thập phân vô hạn tuần hoàn) Đây chỉ là dạng viết thập phân của số hữu tỉ

Ví dụ : Phân số 6

Trích đoạn hướng dẫn sau đây của sách giáo viên toán 7 cho phép thấy rõ thể chế để xác định số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn

2 Dạng viết thập phân vô hạn không tuần hoàn

Tương tự như dạng viết thập phân vô hạn không tuần hoàn, các tác giả sách giáo khoa Việt Nam cũng gọi dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn là số Sách giáo khoa dùng dạng viết này để định nghĩa số vô tỉ như trong lời giải thích của sách giáo khoa lớp 7 trang 45

Theo sách giáo viên lớp 7, sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh thấy sự tồn tại của

số thập phân vô hạn không tuần hoàn Đó là số vô tỉ Số vô tỉ đầu tiên học sinh nhận biết đó là 2– số đo độ dài đường chéo hình vuông có cạnh bằng 1 GV không nên đi sâu vào lí thuyết chặt chẽ về số vô tỉ

(Toán 7, Sách giáo viên, trang 45)

Nhận xét: Việc so sánh các số thực được quy về việc so sánh trên các dạng viết thập

b) 1, 24598 1, 24596 

GV cho học sinh thấy: Ta có thể so sánh hai số thực viết dưới dạng số thập phân tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân

(Toán 7, Sách giáo viên, trang 48)

Vấn đề: So sánh 0,999… và số 1 không được đặt ra

Việc gọi các dạng viết thập phân vô hạn là số có thể gây hiểu nhầm rằng tất cả các dạng viết thập phân đều là số thập phân Kĩ thuật so sánh hai số thực chỉ dựa vào kĩ thuật so sánh hai dạng viết thập phân của chúng càng làm gia tăng sự hiểu nhầm

Kỹ thuật: Giống kỹ thuật so sánh hai số thập phân

Xét một số nhiệm vụ huy động thứ tự của số thập phân trên các Di khác nhau

Bài 72 trang 35: Các số sau đây có bằng nhau không?

0,(31); 0,3(13);

Bài giải:

Chúng tôi giải bài toán trên dựa vào lời giải của sách giáo viên Toán lớp 7

Theo sách giáo viên toán 7 trang 41

Bài 91 trang 45: Điền số thích hợp vào ô trống :

đề chặn một số thập phân bởi hai số thập phân khác vẫn không được đặt ra

2.3 Thể chế ở trường trung học phổ thông

Ở Chương trình trung học phổ thông, số thập phân xuất hiện ở bài 4: Số gần đúng và sai số trong chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, ban khoa học tự nhiên Theo sách Toán dùng cho giáo viên lớp 10 nâng cao thì mức độ cần đạt được của bài này là :

Kĩ năng:

- Viết được số quy tròn của một số căn cứ vào độ chính xác cho trước

- Biết sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán các số gần đúng

Sự phân biệt giữa số thập phân và số thực thể hiện thông qua khái niệm số gần đúng được đề cập trong phần bài học

Khi quy tròn số đúng a đến hàng nào thì số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó Chẳng hạn, số gần đúng của  chính xác đến hàng phần trăm là 3,14; số gần đúng của 2 chính xác đến hàng phần nghìn là 1,414

Liên quan đến quy tắc làm tròn số, thể chế có một số đề cập rất rõ đến mối liên hệ và

sự phân biệt giữa số thực (ví dụ 2) và số thập phân gần đúng của số thực ấy (ví dụ 1,4142)

Như vậy, thứ tự không rời rạc trong tập hợp số thập phân và vấn đề trù mật của số thập phân trong số thực có thể được thể hiện một cách rõ ràng

Tuy nhiên, mối liên hệ giữa số thập phân và dạng viết thập phân của số thực đã không được làm rõ Thí dụ các dạng viết thập phân vô hạn không được giải thích ở đây

 Đến lớp 7, số thập phân được đề cập trở lại Nội dung chủ yếu ở chương trình lớp này là dạng viết thập phân của các số thực Sách giáo khoa định nghĩa số thực thông qua dạng viết thập phân của chúng Tuy nhiên:

+ Thứ tự không rời rạc trong tập hợp số thập phân vẫn không được nghiên cứu

+ Sự phân biệt giữa số thập phân với dạng viết thập phân của các số hữu tỉ và các số vô tỉ không được sách giáo khoa chú ý

+ Việc so sánh các số thực được thực hiện thông qua việc so sánh các dạng viết thập phân của chúng mà thực ra là so sánh các số thập phân gần đúng của chúng Tuy nhiên mối quan hệ giữa số thập phân gần đúng, dạng viết thập phân và số thực không được làm rõ