vành hoàn thiện và nửa hoàn thiện và các đặc trưng đồng điều của chúng

Điều này thật sự có ý nghĩa đối với đại số đồng điều bởi các đặc trưng khá thú vị của chúng: mọi môđun trái, phải hữu hạn sinh trên vành nửa hoàn thiện đều có cái phủ xạ ảnh, mọi môđun p

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Văn Thị Kim Xuyến

VÀNH HOÀN THIỆN VÀ NỬA HOÀN

THIỆN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Văn Thị Kim Xuyến

VÀNH HOÀN THIỆN VÀ NỬA HOÀN THIỆN

VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU

CỦA CHÚNG

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết về các môđun trên vành Artin một phía đã phát triển rất mạnh mẽ Đến thập niên 1960, một phần lý thuyết này đã được mở rộng đến vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải (trái) Điều này thật sự có ý nghĩa đối với đại số đồng điều bởi các đặc trưng khá thú

vị của chúng: mọi môđun (trái, phải) hữu hạn sinh trên vành nửa hoàn thiện đều có cái phủ xạ ảnh, mọi môđun phải dẹt trên vành hoàn thiện phải đều là môđun xạ ảnh… Những đặc trưng khá thú vị này đã đem lại nhiều ứng dụng cho phương pháp đồng điều trong lý thuyết vành

Vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải đều được khái quát từ vành Artin một

phía Hơn nữa, chúng còn được khái quát từ vành nửa nguyên sơ Ta đã biết vành R được gọi là

Ngoài ra, vành hoàn thiện phải còn được đặc trưng bởi điều kiện dây chuyền giảm (DCC) trên các iđêan trái chính Mối quan hệ giữa hai lớp vành này với các lớp vành cơ bản được thể hiện qua sơ đồ sau:

{vành Artin một phía}

∩ {vành nửa nguyên sơ}

∩ {vành hoàn thiện phải}

∩ {vành địa phương} ⊂ {vành nửa hoàn thiện} ⊂ {vành nửa địa phương}

Luận văn nghiên cứu mối quan hệ giữa lớp các vành hoàn thiện, nửa hoàn thiện với các lớp vành Artin trái (phải), vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa phương, vành địa phương, đồng thời nghiên cứu các đặc trưng đồng điều của vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải

Luận văn gồm ba chương:

lớp vành cơ bản

- Chương 3: Đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện và nửa hoàn thiện

tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi nhiều thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của độc giả

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011

Văn Thị Kim Xuyến

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU 3

Mục lục 5

Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN 8

1.1 Định nghĩa môđun, môđun con 8

1.1.1 Định nghĩa môđun 8

1.1.2 Định nghĩa môđun con 8

1.1.3 Ann(M) 9

1.2 Đồng cấu môđun 9

1.3 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC) 10

1.3.1 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) 10

1.3.2 Điều kiện dây chuyền giảm (DCC) 10

1.4 Môđun Noether và môđun Artin 10

1.5 Vành Noether và vành Artin 11

1.5.1 Vành Noether 11

1.5.2 Vành Artin 11

1.6 Tổng trực tiếp và tích trực tiếp 11

1.7 Dãy khớp 13

1.7.1 Định nghĩa dãy khớp 13

1.7.2 Định nghĩa dãy khớp ngắn 13

1.7.3 Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ 13

1.7.4 Một số tính chất 13

1.8 Môđun tự do 14

1.9 Môđun xạ ảnh 14

1.9.1 Định nghĩa môđun xạ ảnh 14

1.9.2 Một số tính chất 14

1.10 Hàm tử tenxơ 14

1.11 Môđun dẹt 16

1.12 Môđun đơn, môđun nửa đơn 17

1.12.1 Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui) 17

1.12.2 Định nghĩa môđun nửa đơn 17

1.12.3 Tính chất 17

1.13 Vành đơn, vành nửa đơn 17

1.14 Vành nguyên 17

1.15 Vành chia 17

1.16 Vành nguyên thủy 18

1.17 Tập nil , tập lũy linh 18

1.18 Radical Jacobson của một vành 18

1.18.1 Định nghĩa radical Jacobson của một vành 18

1.18.2 Định nghĩa vành J-nửa đơn (vành nguyên thủy) 18

1.18.3 Một số tính chất 18

1.19 Vành nửa nguyên sơ 19

1.20 Iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố 20

1.21 Radical nguyên tố của một vành 20

1.22 Vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố 20

1.23 Tập lũy linh địa phương 21

1.24 Định nghĩa phần tử lũy đẳng 21

1.25 Vành địa phương 21

1.26 Môđun không phân tích được, môđun thật sự không phân tích được 21

1.27 Vành nửa địa phương 22

1.28 Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng 23

Chương 2: LỚP CÁC VÀNH HOÀN THIỆN, NỬA HOÀN THIỆN VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA CHÚNG VỚI CÁC LỚP VÀNH CƠ BẢN 27

2.1 Vành nửa hoàn thiện 27

2.2 Vành hoàn thiện 34

2.3 Một số nghiên cứu về các phát biểu tương đương của định lí Bass 41

Chương 3: ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA VÀNH NỬA HOÀN THIỆN VÀ VÀNH HOÀN THIỆN 44

3.1 Môđun con đủ bé 44

3.1.1 Định nghĩa 44

3.2.2 Một số nhận xét 44

3.2 Radical của môđun 45

3.2.1 Định nghĩa 45

3.2.2 Nhận xét 3.2 45

3.3 Một số tính chất 45

3.4 Cái phủ xạ ảnh 47

3.4.1 Định nghĩa 473.4.2 Một số nhận xét về cái phủ xạ ảnh 483.5 Đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện và vành nửa hoàn thiện 493.6 Một số nghiên cứu thêm về các đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện phải và vành nửa hoàn thiện 59

Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62

Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ

THUYẾT MÔĐUN

1.1 Định nghĩa môđun, môđun con

1.1.1 Định nghĩa môđun

vành R nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R, tức có ánh xạ µ:M× →R M mà kết quả µ( )x r, ta ký hiệu là xr và gọi là tích của phần x với hệ tử r, ngoài ra các tiên đề sau

với mọi r s, ∈R và mọi x y, ∈M

Ký hiệu: M R , ta gọi M là R-môđun phải, R là vành hệ tử

Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta đã xác định được một tác động trái từ R

1.1.2 Định nghĩa môđun con

Cho A, B là các tập con của môđun M và K⊂R ( với A B K, , ≠ ∅), ta định nghĩa:

,,

A B a b a A b B

KA ra r K a A

Tập A≠ ∅ trong X được gọi là bộ phận ổn định của M nếu A+ ⊂A A và RA⊂ A

Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một

Nhận xét: - Mỗi môđun bất kỳ luôn có hai môđun con tầm thường là (0) và chính nó

- Mỗi vành R đều là R-môđun trái (phải) với các môđun con chính là các iđêan trái (phải) của R

1.1.3 Ann(M)

linh hóa M Cụ thể:

- Nếu M là R-môđun phải thì ann M( )= ∈{r R Mr=( )0 }

- Nếu M là R-môđun trái thì ann M( )= ∈{r R rM =( )0 }

1.2 Đồng cấu môđun

Định nghĩa Cho M, M’ là các R-môđun Ánh xạ '

:

nếu f r x( 1 1+r x2 2)=r f x1 ( )1 +r f x2 ( )2 với mọi x x1, 2∈M và với mọi r r1, 2∈R

Để giản tiện về mặt ngôn ngữ, các R-đồng cấu được gọi một cách đơn giản là các đồng cấu

Khi f là đồng cấu, ta định nghĩa:

+ Ảnh của f là f M( )={f x x( ) ∈M }

Kerf = f− = x∈M f x =

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f đồng thời là đơn ánh

Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f đồng thời là toàn ánh

Nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu thì f được gọi là đẳng cấu

Tính chất

:

- Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu Tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)

là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)

- Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = (0)

1.3 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC)

1.3 1 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC)

Một họ các tập con { }C i i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền

tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt:

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(1) Mọi dây chuyền tăng C i1 ⊆C i2 ⊆ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho

1 2

C =C + =C + =

(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại

1.3 2 Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)

Một họ các tập con { }C i i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền

giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(1) Mọi dây chuyền giảm C i1 ⊇C i2 ⊇ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho

1 2

C =C + =C + =

(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu

1.4 Môđun Noether và môđun Artin

gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC)

Tính chất: - Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.

- Môđun M vừa Noether vừa Artin khi và chỉ khi M có chuỗi hợp thành (hữu

hạn)

1.5 Vành Noether và vành Artin

1.5.1 Vành Noether

R-môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong

các điều kiện sau thỏa mãn:

- Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng

- Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại

1.5.2 Vành Artin

trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều

kiện sau thỏa mãn:

- Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu

1.6 Tổng trực tiếp và tích trực tiếp

Tích trực tiếp của họ các môđun

Cho họ bất kỳ khác rỗng các môđun { }M i i I∈ trên cùng vành hệ tử R, ta xác định trên tập tích

Với mỗi k∈I, ta có cặp phép nhúng j k:M k →∏M i và phép chiếu p k:∏M i →M k được xác định bởi các công thức sau:

● j k( )x k = (j k( )x k  ) trong đó

được gọi là tích trực tiếp của họ đồng cấu { }f i i I∈ , và được ký hiệu là f =∏ f i

Tổng trực tiếp của họ các môđun

Cho họ khác rỗng các môđun { }M i i I∈ Xét tập con của ∏M i gồm các bộ x=( )x i mà hầu

gọi là môđun tổng trực tiếp của họ { }M i Ký hiệu: i

i I M

∈

Khi thu hẹp f =∏ f i trên tổng trực tiếp ⊕M i ta được một đồng cấu gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu { }f i i I∈ , và ký hiệu là f = ⊕f i

Tổng trực tiếp trong của họ các môđun con

Cho họ { }M i i I∈ các môđun con của môđun M thỏa:

Khi đó ta có M ≅ ⊕M i, và môđun M được gọi là tổng trực tiếp trong của họ môđun { }M i và

được gọi là khớp tại môđun B nếu Imf = Kerg

Dãy đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian

Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian

Dãy khớp ngắn (2) là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B

(2) Đồng cấu χ có nghịch đảo trái;

(3) Đồng cấu σ có nghịch đảo phải

H ệ quả 1.1 Nếu dãy khớp

A B C

→ → → → chẻ ra tại B thì ta có:

B≅Imf ⊕Img

Định lí 1.2 Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh

Định lí 1.3 Tổng trực tiếp của họ môđun i

(3) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do nào đó

Định lí 1.5 Khi R là vành chính, R-môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P tự do

1.10 Hàm tử tenxơ

Tích tenxơ hai môđun

Ánh xạ ϕ:M× →N G được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa:

với mọi x x x, ,1 2∈M và mọi y y y, 1, 2∈N

ii) ϕ là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên M và N’, tức là:

ϕ(xr y, )=ϕ(x ry, )

với mọi r∈R và mọi x∈M y, ∈N

tuyến tính ϕ:M× →N G, tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính ϕ đó, tồn tại duy nhất đồng cấu f M: ⊗ →N G thỏa mãn ϕ= fτ Ánh xạ song tuyến tính τ khi đó được gọi là ánh xạ tenxơ

Tích tenxơ của hai môđun là tồn tại duy nhất và sai khác một đẳng cấu

- Tích tenxơ của hai đồng cấu đồng nhất là một đồng cấu đồng nhất

- Nếu A→ →f B g C là các đồng cấu R-môđun phải và ' f' ' g' '

● Đặt mỗi vật X∈R Mod tương ứng với nhóm A⊗X

● Đặt mỗi đồng cấu α: X →Y tương ứng với đồng cấu nhóm 1A⊗α:A⊗ → ⊗X A Y

Tương tự, với mỗi R-môđun trái B, ta xây dựng hàm tử − ⊗B Mod: R →Ab:

● Đặt mỗi đồng cấu α: X →Y ứng với đồng cấu nhóm α ⊗1 :B X⊗ → ⊗B Y B

với: Nếu A→B là đơn cấu thì M ⊗R A→M ⊗R B cũng là đơn cấu

Tính chất: - Tổng trực tiếp các môđun dẹt là môđun dẹt

- R R luôn là môđun dẹt

- Mọi môđun tự do đều là môđun dẹt

- Hạng tử trực tiếp của môđun dẹt là môđun dẹt

- Môđun xạ ảnh là môđun dẹt

1.12 Môđun đơn, môđun nửa đơn

1.12 1 Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)

R- môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ có hai môđun con tầm thường là (0) và M

1.12.2 Định nghĩa môđun nửa đơn

môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M

1.12 3 Tính chất

Định lí 1.6 Đối với mỗi R-môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương:

(1) M là nửa đơn;

(2) M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn;

(3) M là tổng của các môđun con đơn

1.13 Vành đơn, vành nửa đơn

nó

Định lí 1.7 Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(1) R là R-môđun trái nửa đơn;

(2) Mọi R-môđun trái đều là môđun xạ ảnh;

(3) Mọi R-môđun trái hữu hạn sinh đều là môđun xạ ảnh;

(4) Mọi R-môđun xyclic đều là môđun xạ ảnh

1.14 Vành nguyên

Vành R được gọi là vành nguyên nếu R≠( )0 và ab= ⇒ = 0 a 0 hoặc b= 0

Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên

1.16 Vành nguyên thủy

trung thành

1.17 Tập nil , tập lũy linh

Cho vành R, tập I ⊆R

Phần tử x∈R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại n∈ sao cho x n = 0

I được gọi là tập nil nếu mọi phần tử của I đều lũy linh, và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là

nil iđêan

I được gọi là tập lũy linh nếu tồn tại n∈ sao cho I n = 0, và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là

iđêan lũy linh

Tính chất: Iđêan lũy linh là nil iđêan

1.18 Radical Jacobson của một vành

1.18 1 Định nghĩa radical Jacobson của một vành

Cho vành R , ta định nghĩa radical Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan trái tối đại của R (đồng thời cũng là giao của tất cả các iđêan phải tối đại của R) Ký hiệu: radR

Nếu R = (0), ta định nghĩa radR = (0)

RadR là iđêan của R

Tính chất: M n(radR)=radM n( )R

1.18.2 Định nghĩa vành J-nửa đơn (vành nguyên thủy)

Vành R≠( )0 được gọi là J-nửa đơn nếu radR = (0)

1.18.3 Một số tính chất

Bổ đề 1.1 Với mỗi y∈R, các phát biểu sau là tương đương:

(1) y∈radR; (2) 1 xy− khả nghịch trái với mọi x∈R; (3) yM =( )0 với mọi R-môđun trái M

Từ kết quả của bổ đề này ta suy ra 1 radR+ ⊆U R( ), với U R( ) là tập các phần tử khả

nghịch của vành R

Định lí 1.8 Cho R là vành Artin trái Khi đó, radR là iđêan trái lũy linh lớn nhất của

R đồng thời là iđêan phải lũy linh lớn nhất của R

Hệ quả 1.2 Trong vành Artin trái, mọi nil iđêan trái đều lũy linh

Định lí 1.9 Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(1) R là nửa đơn;

(2) R là J-nửa đơn và Artin trái;

(3) R là J-nửa đơn và thỏa mãn DCC đối với các iđêan trái chính

Định lí 1.10 (Định lí Hopkins – Levitzki (1939))

radR

R-môđun R M , các phát biểu sau đây là tương đương:

(2) Với mọi R-môđun trái hữu hạn sinh M, JM =M ⇒M =( )0 ;

N+JM =M ⇒N =M

1.19 Vành nửa nguyên sơ

radR là vành nửa đơn và radR lũy linh

1.20 Iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố

Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu ab∈P ⇒ ∈a P hoặc b∈P

Iđêan C của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu với mọi iđêan U ⊆R mà 2

(4) Với mọi iđêan trái (phải) U ⊆R mà 2

U ⊆C ta luôn có U ⊆C

1.21 Radical nguyên tố của một vành

Radical nguyên tố của vành R là giao tất cả các iđêan nguyên tố của vành R

Ký hiệu: Nil R∗

Nil R∗ là iđêan nửa nguyên tố nhỏ nhất của vành R

1.22 Vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố

Vành R được gọi là vành nguyên tố (nửa nguyên tố) nếu ( )0 là iđêan nguyên tố (nửa

nguyên tố) của R

Mệnh đề 1.2 Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(1) R là vành nửa nguyên tố;

(2) Nil R∗ =0 ;

(3) R không có iđêan lũy linh khác ( )0 ;

(4) R không có iđêan trái lũy linh khác ( )0

Hệ quả 1.3 Nếu A là iđêan trái tối tiểu của vành nửa nguyên tố R thì A =Re, với e là phần tử lũy đẳng nào đó trong A

Định lí 1.11 Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(1) R là nửa đơn;

(2) R là nửa nguyên tố và Artin trái;

(3) R là nửa nguyên tố và thỏa mãn DCC đối với các iđêan trái chính

1.23 Tập lũy linh địa phương

các phần tử của S đều là tập lũy linh

Nếu U ⊆R là iđêan một phía thì

U là lũy linh ⇒ U là lũy linh địa phương ⇒ U là nil iđêan

Ta luôn có: Nil R∗ ⊆ −L radR⊆Nil R∗ ⊆radR, trong đó L radR− là tổng tất cả các iđêan lũy

linh địa phương của R, và là iđêan lũy linh địa phương lớn nhất của R, Nil R∗ là tổng của tất cả

các nil iđêan của R và là nil iđêan lớn nhất của R

1.24 Định nghĩa phần tử lũy đẳng

Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu 2

e =e Nhận xét: - Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi là hai phần tử lũy đẳng tầm thường

- Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1

1.25 Vành địa phương

Định lí 1.12 Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(1) R có duy nhất iđêan trái tối đại;

(2) R có duy nhất iđêan phải tối đại;

R-môđun phải M ≠( )0 được gọi là không phân tích được nếu M không thể viết được thành tổng trực tiếp của hai R-môđun con thật sự Điều kiện sau dẫn đến: Vành End M( )R

không có phần tử lũy đẳng không tầm thường

R-môđun phải M ≠( )0 được gọi là thật sự không phân tích được nếu End M( )R là vành địa phương

Nhận xét: Môđun thật sự không phân tích được là môđun không phân tích được Chiều

ngược lại chưa chắc đúng

lớp các môđun như thế được gọi là có chiều dài hữu hạn, nghĩa là các môđun này thỏa mãn cả DCC và ACC đối với các môđun con

Khi đó, r=s và sau khi sắp xếp lại ta được M i ≅N i i, =1,r

1.27 Vành nửa địa phương

Định nghĩa

radR là vành nửa đơn

Nhận xét: - Vành địa phương là nửa địa phương, vành Artin một phía là vành nửa địa

phương

- Tổng trực tiếp của các vành nửa địa phương là vành địa phương

Mệnh đề 1.3

radR⊇ radK R⊇ radR , với n≥ 1nào đó

Mệnh đề 1.4 Vành nửa địa phương là Dedekind – hữu hạn

1.28 Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng

Với mỗi phần tử lũy đẳng e của vành R, ta luôn có ba sự phân tích sau:

(1) R=Re⊕Rf

(2) R=eR⊕ fR

(3) R=eRe⊕eRf ⊕ fRe⊕ fRf

trong đó f = − 1 e là phần tử lũy đẳng bù với e, và

eRe r R er r re fRf r R fr r rf

(1) và (2) là sự phân tích theo các iđêan phải, trái

(3) là sự phân tích theo nhóm con đối với phép cộng

Mệnh đề 1.5

Cho e e, ' là các phần tử lũy đẳng của vành R, môđun R M

Khi đó, tồn tại đồng cấu nhóm cộng λ:Hom R(eR M, )→Me Đặc biệt, tồn tại đẳng cấu nhóm cộng Hom R(eR e R, ' )≅e Re'

Hệ quả 1.4 Với mỗi phần tử lũy đẳng e∈R, ta luôn có End R( )eR ≅eRe

Mệnh đề 1.6 Với mỗi phần tử lũy đẳng e≠ 0 trong R, các phát biểu sau là tương đương:

(1) eR là R-môđun phải không phân tích được;

(1’) Re là R-môđun trái không phân tích được;

(3) e= +α β, với α β, là các phần tử lũy đẳng trực giao khác 0

Định nghĩa phần tử lũy đẳng nguyên thủy

là phần tử lũy đẳng nguyên thủy

Mệnh đề 1.7 Với mỗi phần tử lũy đẳng e∈R, các phát biểu sau là tương đương:

(1) eR là R-môđun phải thật sự không phân tích được;

(1’) Re là R-môđun trái thật sự không phân tích được;

(2) eRe là vành địa phương

Định nghĩa phần tử lũy đẳng địa phương

là phần tử lũy đẳng địa phương

Định nghĩa phần tử lũy đẳng bất khả qui

Phần tử lũy đẳng e≠ 0 trong vành R được gọi là bất khả qui phải nếu eR là iđêan phải tối tiểu của R

Phần tử lũy đẳng e≠ 0 trong vành R được gọi là bất khả qui trái nếu Re là iđêan trái tối tiểu của R

Mệnh đề 1.8 Cho phần tử lũy đẳng e∈R

(1) Nếu e bất khả qui phải thì eRe là vành chia

(2) Nếu R là vành nửa đơn thì ta có chiều ngược lại của (1)

Hệ quả 1.5

(1) Phần tử lũy đẳng bất khả qui phải là phần tử lũy đẳng địa phương

(2) Nếu R là vành nửa nguyên tố thì phần tử lũy đẳng e∈R là bất khả qui phải khi và

chỉ khi e bất khả qui trái

(3) Nếu R là vành nửa đơn thì phần tử lũy đẳng e∈R là bất khả qui phải khi và chỉ

khi e lũy đẳng địa phương, khi và chỉ khi e nguyên thủy

Mệnh đề 1.9 Cho phần tử lũy đẳng e∈R, J radR R, R

J

tương đương:

(1) e là phần tử lũy đẳng địa phương trong R;

(2) e là phần tử lũy đẳng bất khả qui phải trong R;

(2’) e là phần tử lũy đẳng bất khả qui trái trong R;

(3) eR

eJ là R-môđun phải đơn;

(4) eJ là môđun con tối đại duy nhất của eR

Mệnh đề 1.10 Cho e, f là các phần tử lũy đẳng của vành R Các phát biểu sau là tương

đương:

(1) eR≅ fR (đẳng cấu R-môđun phải);

(1’) Re≅Rf (đẳng cấu R-môđun trái);

(2) Tồn tại a∈eRf b, ∈fResao cho e=ab f, =ba

(3) Tồn tại a b, ∈R sao cho e=ab f, =ba

Định nghĩa các phần tử lũy đẳng đẳng cấu

Nếu các phần tử lũy đẳng e, f thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.10, ta

nói chúng là các phần tử lũy đẳng đẳng cấu với nhau Ký hiệu: e≅ f

Chú ý 1.1 Cho e∈R là phần tử lũy đẳng bất kỳ, e' 1 = −e Ta luôn có sự phân tích

Cho I là iđêan của vành R và I ⊆radR Khi đó, với e, f là các phần tử lũy đẳng của

R, ta có: e≅ f trong R khi và chỉ khi e≅ f trong R R

I

= Đặc biệt, nếu e= f thì e≅ f

Định nghĩa phần tử lũy đẳng nâng lên

Cho I là iđêan của vành R, ta nói phần tử lũy đẳng x R

I

nếu tồn tại phần tử lũy đẳng e∈R là tạo ảnh của x trong phép chiếu R R

R có thể được nâng lên từ R

giao từng đôi {x x1, 2, } trong R, tồn tại tập các phần tử lũy đẳng trực giao từng đôi {e e1, 2, }

trong R sao cho e i =x i với mọi i

Chương 2: LỚP CÁC VÀNH HOÀN THIỆN, NỬA HOÀN THIỆN VÀ MỐI

QUAN HỆ CỦA CHÚNG VỚI CÁC LỚP VÀNH CƠ BẢN

Ở chương này, tác giả trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của vành nửa hoàn thiện

và vành hoàn thiện phải, đặc biệt là tính chất của các phần tử lũy đẳng trong lớp các vành nửa hoàn thiện

2.1 Vành nửa hoàn thiện

2.1.1 Định nghĩa Vành R được gọi là nửa hoàn thiện nếu R là vành nửa địa phương và

mọi phần tử lũy đẳng của R

radR có thể được nâng lên từ R

Nhận xét:

+ Nếu R là vành Artin trái (phải) thì R là vành nửa địa phương và radR là lũy linh Vì

radR lũy linh nên mọi phần tử lũy đẳng của R

Artin một phía là vành nửa hoàn thiện

radR là vành chia và R là nửa địa phương Vì R

radR

là vành chia nên R

radR chỉ có hai phần tử lũy đẳng tầm thường là 0 và 1, hai phần tử lũy

đẳng này được nâng lên bởi hai phần tử lũy đẳng 0 và 1 trong R Nói cách khác, mọi phần tử

là lớp con thật sự của lớp các vành nửa địa phương vì có những vành là nửa địa phương nhưng

hai ideal tối đại m 1 và m 2 thì

là ( )1; 0 và ( )0;1 , và hai phần tử này không được nâng lên R vì R chỉ có hai phần tử lũy đẳng tầm thường Vì thế, R không là vành nửa hoàn thiện

+ Tổng trực tiếp của các vành nửa hoàn thiện là vành nửa hoàn thiện Vì vậy, tích trực tiếp của một vành địa phương và một vành Artin trái là vành nửa hoàn thiện

2.1.2 V í dụ về vành nửa hoàn thiện

Cho K là vành địa phương Khi đó, R=M n( )K là vành nửa hoàn thiện Thật vậy, ta

Vì M n( )K là vành Artin đơn nên R

1, ,1, 0, , 0) Gọi u∈M n( )K = R là phần tử nâng lên y (u= y) và 1

v= y− Thê thì uv=uv=1,

1, ,1, 0, , 0

u diag− u là phần tử lũy đẳng

của R nâng lên x

Một trong những tính chất quan trọng của vành nửa hoàn thiện được thể hiện qua mệnh đề sau:

2.1.3 Mệnh đề 2.1

Trong vành nửa hoàn thiện R, mọi phần tử lũy đẳng nguyên thủy e đều là phần tử lũy

đẳng địa phương

Chứng minh

Vì R là vành nửa hoàn thiện nên R nửa đơn và mọi phần tử lũy đẳng của R R

radR

=

đều được nâng lên từ R Do e là phần tử lũy đẳng nguyên thủy trong R nên theo mệnh đề 1.12,

e cũng là phần tử lũy đẳng nguyên thủy trong R Vì R là nửa đơn nên theo hệ quả 1.5 (3), e

bất khả qui phải trong R, và theo mệnh đề 1.9 thì e là lũy đẳng địa phương trong R

Kết quả này cho chúng ta đặc trưng đầu tiên của lớp các vành nửa hoàn thiện

Gọi e e1, 2, ,e n là các phần tử lũy đẳng trực giao trong R nâng lên x x1, 2, ,x Do R n

là nửa hoàn thiện nên các phần tử e i là các phần tử lũy đẳng địa phương

Đặt e = + + + thì e là phần tử lũy đẳng nâng lên e1 e2 e n x1+x2+ + x n = 1

Do đó e = , hay 1 e radR1 − ∈ Vì thế, e= − − ∈ +1 (1 e) 1 radR⊂U R( ) Điều đó có nghĩa e là phần tử lũy đẳng khả nghịch Vì vậy, e= 1

● Ngược lại, giả sử 1= + + + , với e1 e2 e n e i là các phần tử lũy đẳng trực giao Khi

đó, 1= + + + và e1 e2 e n e i là các phần tử lũy đẳng trái bất khả qui trong R , suy ra

là vành nửa địa phương

Lấy x R∈ là phần tử lũy đẳng bất kỳ, ta có R= Rx⊕R(1−x) Nhưng vì ta lại có sự phân tích R= Re1⊕Re2⊕ ⊕ Re n nên Rx ≅ Re1⊕ ⊕ Re i và R(1−x)≅ Re i+1⊕ ⊕ Re n

yxy = + + Gọi e e

v là phần tử nghịch đảo của y trong R và u R∈ là tạo ảnh của y thì ta được uv= , hay 11

uv− ∈radR Do đó, uv 1+radR∈ ⊂U R( ), tức uv khả nghịch, và vì v khả nghịch nên u

u e + + e u i là phần tử lũy đẳng của R nâng lên x

Như vậy, R là vành nửa địa phương và mọi phần tử lũy đẳng của R đều được nâng lên

từ R, tức R là vành nửa hoàn thiện

Chú ý 2.1 Ta có kết quả sau: Nếu 1' 2' '

eπ =u e u− với mọi I, trong đó π ∈S n

- Theo kết quả trên thì sự phân tích 1= + + +e1 e2 e n trong định lí 2.1 là duy nhất sai một phần tử khả nghịch và vị trí các phần tử lũy đẳng

2.1.5 Định lí 2.2

phân tích được khi và chỉ khi R=End M( K) là vành nửa hoàn thiện

Chứng minh

Giả sử M =M1⊕M2⊕ ⊕ M n, với các M i là các K-môđun thật sự không phân tích được Lấy e i∈R là phép chiếu từ M lên M i, ta được 1 = + + + ∈e1 e2 e n R và các phần tử e itrực giao với nhau từng đôi Vì e Re i i ={f ∈R e f i = =f fe i} nên ta có:

Vậy e Re i i ={f ∈R f M( )i ⊆M i, f M( )j =( )0 ,∀ ≠j i}, suy ra e Re i i ≅End M( )i K là vành địa phương, có nghĩa là các phần tử e i là các phần tử lũy đẳng địa phương Vì thế, theo định lí 2.1, R là vành nửa hoàn thiện

Ngược lại, giả sử R=End M( K) là vành nửa hoàn thiện Khi đó, 1= + + +e1 e2 e n, với

{ }e i i=1,n là tập các phần tử lũy đẳng trực giao Đặt M i =e M i( ), ta được M =M1⊕M2⊕ ⊕ M n

và End M( )i K ≅e Re i i là vành địa phương (do e i lũy đẳng địa phương) Vì thế, các môđun M i là thật sự không phân tích được

Chú ý 2.2 Định lí 2.2 là một mô tả khái quát về vành nửa hoàn thiện vì khi cho trước vành

nửa hoàn thiện R, ta sẽ có sự phân tích 1= + + +e1 e2 e n, với { }e i i=1,n là tập các phần tử lũy đẳng trực giao, và nếu ta lấy K =R và M là R-môđun chính qui phải R R thì M =e R1 ⊕ e R n là

tổng trực tiếp của các K-môđun thật sự không phân tích được, và R≅End R( )R =End M( K)

Từ đó ta kết quả: Nếu R=e R1 ⊕ ⊕ e R n , với R là vành nửa hoàn thiện thì R≅End R( )R Vì thế, ta có hệ quả sau:

M K ≅End K cũng là nửa hoàn thiện

Sau đây là một kết quả về cấu trúc của một lớp con của lớp các vành nửa hoàn thiện:

2.1.7 Định lí 2.3

Với mỗi vành R bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương: