TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Khoa Toán TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN Giảng viên hướng dẫn TS Phan Văn Thiện Học viên thực hiện Trần Thị Nhã Trang Lớp Cao học Toán K20 Chuyên ngành Hình học và tôpô Huế, 4 2012 i MỤC LỤC Trang phụ bìa i MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 3 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1 1 Khái niệm Phạm trù 4 1 2 Phạm trù tích 5 1 3 Hàm tử, song hàm tử 5 1 3 1 Hàm tử 5 1 3 2 Song hàm tử 6 1 4 Phép biến đổi tự nhiên 6 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG 7 KẾT LUẬN 10 TÀI L.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Khoa Toán

TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

ĐỀ TÀI

PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN

Giảng viên hướng dẫn

TS Phan Văn Thiện

Học viên thực hiện Trần Thị Nhã Trang Lớp Cao học Toán K20 Chuyên ngành Hình học và tôpô

Huế, 4/ 2012

MỤC LỤC

1.1 Khái niệm Phạm trù 4

1.2 Phạm trù tích 5

1.3 Hàm tử, song hàm tử 5

1.3.1 Hàm tử 5

1.3.2 Song hàm tử 6

1.4 Phép biến đổi tự nhiên 6

MỞ ĐẦU

Lý thuyết tập hợp do G Cantor xây dựng từ năm 1874 đến 1895, với các khái niệm nguyên thủy là " tập hợp", "thuộc", "bằng nhau"

Đến năm 1908, B Russel phát hiện ra nghịch lí: Mọi tập hợp nói chung không tự chứa mình làm phần tử, ví dụ như tập hợp các số tự nhiên lại không phải là số tự nhiên

Xét tập hợpM = {X | X /∈ X} gồm những tập hợp không tự chứa mình làm phần tử.

Nếu M ∈ M thì theo định nghĩa của M, M /∈ M Mâu thuẫn Nếu M, M /∈ M thì theo

định nghĩa M ∈ M Mâu thuẫn.

Để giải quyết mâu thuẫn này ta phải quan niệm M không phải là tập hợp mà là một

lớp

Năm 1940, Godel-Bernays đã xây dựng lại lý thuyết tiên đề về tập hợp với các khái

niệm " lớp", "thuộc", "bằng nhau" là các khái niệm nguyên thủy Một lớp A là một tập hợp nếu và chỉ nếu nó là một phần tử của lớp B.

Chính điều này đã kích thích sự mong muốn được tìm hiểu học phần Lý thuyết phạm

trù và hàm tử Dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo TS Phan Văn Thiện, tôi đã chọn và

tìm hiểu đề tài "Phép biến đổi tự nhiên"

Nội dung của tiểu luận gồm có hai chương

Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở có liên quan đến đề tài

Chương 2 trình bày một số bài tập

Vì khả năng còn hạn chế nên chắc chắn tiểu luận không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của Thầy cô và bạn đọc

Huế, tháng 4 năm 2012 Trần Thị Nhã Trang

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1.1 Cho một phạm trù C có nghĩa là cho các dữ kiện sau

1 Cho một lớp ObC và một lớp M orC Lớp ObC gọi là lớp các vật, lớp M orC gọi

là lớp các xạ (cấu xạ)

2 Với hai vật A, B ∈ ObC, ta có một tập hợp (có thể rỗng) HomC(A, B) nằm trong MorC, HomC(A, B) gọi là tập hợp các xạ từ A đến B.

Để chỉ f ∈ HomC(A, B), ta viết f : A −→ B hay

A f //B

Nếu không có gì nhầm lẫn, ta viết Hom(A, B) thay cho HomC(A, B).

3 Với ba vật A, B, C ∈ ObC, ta có ánh xạ

Hom(B, C) × Hom(A, B) −→ Hom(A, C)

(g, f ) 7−→ gf

gọi là phép hợp thành của các xạ f và g.

Các điều kiện sau phải thỏa mãn

• Phép hợp thành có tính kết hợp.

Nếu

A f //B g //C h //D

là các xạ đã cho thì ta có h(gf ) = (hg)f

• Với mọi A ∈ ObC ta có xạ 1 A ∈ Hom(A, A) gọi là xạ đồng nhất của A sao

cho với mọi f ∈ Hom(A, B), với mọi g ∈ Hom(C, A) ta có f1 A = f, 1 A g = g.

• Nếu các cặp (A, B), (A ′ , B ′ ) khác nhau thì Hom(a, b) ∩ Hom(A ′ , B ′) =∅

Chú ý rằng

Xạ đồng nhất xác định bởi duy nhất vật A

Ví dụ 1.1.1 Phạm trù R M od các R-mô đun có lớp các vật là tất cả các R-mô đun, lớp

các xạ là lớp tất cả các đồng cấu R-mô đun

Với M, N ∈ Ob R M od, Hom(M, N ) là tập tất cả các đồng cấu R-mô đun từ M đến N

Định nghĩa 1.2.1 Cho C, C ′ là các phạm trù, tích C× C ′ của chúng được định nghĩa

• Vật của C × C ′ là cặp vật (A, A ′ ) với A ∈ ObC, A ′ ∈ ObC ′.

• Cấu xạ của C × C ′ là cặp cấu xạ (f, f ′ ) với f : A −→ B ∈ MorC, f ′ : A ′ −→ B ′ ∈

M orC ′

Hợp thành của hai cấu xạ

(A f //B, A ′ f ′ //B ′)

(B g //C, B ′ g ′ //C ′)

là

(A gf //C, A ′ g ′ f ′

//C ′)

có thể kiểm chứng các tiên đề của phạm trù được thỏa mãn

Phạm trù C, C ′ được gọi là phạm trù tích của hai phạm trù C và C′

1.3.1 Hàm tử

Định nghĩa 1.3.1 Cho C, D là các phạm trù Hàm tử hiệp biến h từ C đến D là một

cặp ánh xạ

• Ánh xạ vật h h : ObC −→ ObD cho tương ứng mỗi vật A ∈ ObC với một vật

h(A) ∈ ObD.

• Ánh xạ cấu xạ h : MorC −→ MorD cho tương ứng mỗi cấu xạ f : A −→ B của

phạm trù C với một cấu xạ h(f ) : h(A) −→ h(B) của phạm trù D thỏa mãn các

điều kiện sau:

i) h(1A) = 1h(A)

ii) h(gf ) = h(g)h(f ).

Quy ước:Từ giờ ta sẽ gọi các hàm tử hiệp biến là hàm tử

1.3.2 Song hàm tử

Định nghĩa 1.3.2 Cho B, C, D là các phạm trù Hàm tử h : B × C −→ D được gọi là

song hàm tử hai lần hiệp biến (song hàm tử)

Như vậy, song hàm tử h : B× C −→ D là một cặp ánh xạ

• ánh xạ vật (A, A ′)7−→ h(A, A ′).

• ánh xạ cấu xạ (f, f ′)7−→ h(f, f ′) thỏa mãn

i) h(1A , 1 ′ A) = (1h(A) , 1 h(A ′))

ii) h(gf, g ′ f ′ ) = h(g, g ′ )h(f, f ′)

Định nghĩa 1.4.1 Cho h, k : C −→ D là hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù D.

Một phép biến đổi tự nhiên φ từ h đến k lỔ ánh xạ cho tương ứng một vật A ∈ ObC

một cấu xạ φ(A) : h(A) −→ k(A) của D sao cho với mỗi cấu xạ f : A −→ B ta có biểu

đồ sau giao hoán

h(A)

h(f )

k(f )

h(B) φ(B)//k(B)

tức là k(f )φ(A) = φ(B)h(f ).

Để diễn tả biểu đồ trên giao hoán ta nói φ(A) tự nhiên tại A.

Định nghĩa 1.4.2 Cho h, k, l : C −→ D là các hàm tử Cho φ : h −→ k là phép biến đổi

tự nhiên từ h đến k và ψ : k −→ l là một phép biến đổi tự nhiên Với mọi A ∈ ObC đặt

(ψφ)(A) = ψ(A)φ(A) Khi đó ψφ là một phép biến đổi tự nhiên từ h đến l được gọi là phép hợp thành của các phép biến đổi tự nhiên φ và ψ.

Chương 2

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1:

Cho M là một R-mô đun trái, khi đó nhóm cộng aben Hom R (M, R) là một R-mô đun

phải với phép nhân vô hướng

(f r)(x) = f (x)r, ∀f ∈ Hom R (M, R), ∀r ∈ R.

R-mô đun phải Hom R (M, R) gọi là đối ngẫu của R-mô đun trái M , kí hiệu M ∗

Nếu φ : M −→ N là một đồng cấu R-mô đun trái thì ánh xạ

φ ∗ : N ∗ −→ M ∗

f 7−→ φ ∗ (f ) = f (φ)

là một đồng cấu, gọi là đối ngẫu của φ.

Trong trường hợp M là R-mô đun phải thì ta có thể trang bị cho nhóm cộng aben

Hom R (M, R) thêm phép toán

(rf )(x) = rf (x), ∀f ∈ Hom R (M, R), ∀r ∈ R

để có được R-mô đun trái

Xét các hàm tử 1R M od , h : R M od −→ M trong đó 1 R M od là hàm tử đồng nhất, h là hàm

tử cho tương ứng mỗi R-mô đun trái M với song đối ngẫu M ∗∗ của nó, mỗi đồng cấu

f : M −→ N với song đối ngẫu f ∗∗ của nó.

Có thể kiểm chứng rằng ánh xạ φ : 1 R M od −→ h tương ứng mỗi R-mô đun M với ánh

xạ

φ(M ) : 1 R M od (M ) −→ h(M) = M ∗∗

x 7−→ φ(M)(x) : N ∗ −→ R.

trong đó φ(M )(x)(f ) = f (x), ∀f ∈ M ∗ là một phép biến đổi tự nhiên.

Chứng minh Ta có

1 Hàm tử đồng nhất của phạm trù R M od là

1R M od(M ) : R M od −→ R M od

M 7−→ M,

f : M −→ N 7−→ f : M −→ N.

2 Hàm tử h

h :R M od −→ M

M 7−→ M ∗∗ = Hom

R (M ∗ , R),

f : M −→ N 7−→ f ∗∗ : M ∗∗ −→ N ∗∗

trong đó

f ∗∗ : M ∗∗ −→ N ∗∗

g : M ∗ −→ R 7−→ f ∗∗ (g) = gf ∗ : N ∗ −→ R

3 Ánh xạ φ : 1 R M od −→ h cho tương ứng mỗi R-mô đun M với ánh xạ

φ(M ) : 1 R M od (M ) −→ h(M) = M ∗∗

x 7−→ φ(M)(x) : M ∗ −→ R.

trong đó φ(M )(x)(f ) = f (x), ∀f ∈ M ∗.

Để chứng minh φ là phép biến đổi tự nhiên, ta chứng minh biểu đồ sau

1R M od (M )

1RM od (f )

h(f )

giao hoán với mọi f : M −→ N tức là φ(N)1 R M od (f ) = h(f )φ(M ).

Với mọi f : M −→ N, ∀x ∈ M, ∀g ∈ N ∗ ta có

• h(f)φ(M)(x)(g) = f ∗∗ (φ(M )(x))(g) = φ(M )(x)f ∗ (g) = φ(M )(x)g(f ) = gf (x).

• φ(N)1 R M od (f )(x)(g) = φ(N )(f (x))g = gf (x).

Vậy bài toán đã được chứng minh

Bài 2:

Cho h, k : C × C ′ −→ D là các song hàm tử từ phạm trù tích C × C ′ đến phạm

trù D Cho φ là ánh xạ cho tương ứng mỗi cặp vật (A, A ′) ∈ ObC × C ′ một cấu xạ

φ(A, A ′ ) : h(A, A ′) −→ k(A, A ′ ) của D Chứng minh rằng φ là một phép biến đổi tự

nhiên từ song hàm tử h đến k khi và chỉ khi φ(A, A ′ ) là tự nhiên tại A đối với mọi A ′

đã cho và φ(A, A ′ ) là tự nhiên tại A ′ đối với mọi A đã cho.

Chứng minh Dễ dàng thấy được rằng nếu φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song

hàm tử h đến k thì φ(A, A ′ ) là tự nhiên tại A đối với mọi A ′ đã cho và φ(A, A ′) là tự

nhiên tại A ′ đối với mọi A đã cho.

Ngược lại, giả sử φ(A, A ′ ) là tự nhiên tại A đối với mọi A ′ đã cho và φ(A, A ′) là tự

nhiên tại A ′ đối với mọi A đã cho Khi đó ta có các biểu đồ sau là giao hoán

h(A, A ′)

h(f,1 C′)

//k(A, A ′)

k(f,1 C′)

h(B, A ′)φ(B,A

′)

//k(B, A ′)

với mọi f : A −→ B và

h(A, A ′)

h(1 C,f ′)

//k(A, A ′)

k(1 C,f ′)

h(A, B ′)φ(A,B ′)//k(A, B ′)

với mọi f ′ : A ′ −→ B ′.

Có nghĩa là

k(f, 1C′)◦ φ(A, A ′ ) = φ(B, A ′)◦ h(f, 1C′ ),

k(1C, f ′)◦ φ(A, A ′ ) = φ(A, B ′)◦ h(1C, f ′ ).

Từ hai đẳng thức trên ta có

k(f, f ′)◦ φ(A, A ′ ) = φ(B, B ′)◦ h(f, f ′)

tức là biểu đồ sau giao hoán

h(A, A ′)

h(f,f ′)

//k(A, A ′)

k(f,f ′)

h(B, B ′)φ(B,B

′)

//k(B, B ′)

Vậy φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử h đến k Bài toán kết thúc.

KẾT LUẬN

Thông qua tiểu luận, tác giả hi vọng người đọc phát hiện ra một vài điều lí thú Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả xin

chân thành cảm ơn Thầy giáo, TS Phan Văn Thiện đã tận tình giảng dạy học phần

Lý thuyết Phạm trù và hàm tử và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tiểu luận này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Văn Thiện, Bài giảng Lý thuyết Phạm trù và hàm tử, ĐH Sư phạm Huế,

2012