PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN TIỂU LUẬN BỘ MÔN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NGỌC THẮNG CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ KHÓA 20 PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN TIỂU LUẬN BỘ MÔN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHAN VĂN THIỆN HUẾ, THÁNG 5 2012 Tóm tắt Tiểu luận này trình bày một số tính chất về hàm tử hiệp biến, phép biến đổi tự nhiên, phần tử độc xạ, phép tương đương tự nhiên, được thể hiện trong Bài tập 1, Bài tập 2 và Bài tập 3 Học viên xin gửi lời chân thành cảm ơn đến TS Phan Văn Thiện, Thầy đã tận tình truyền đạt nhữ.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN NGỌC THẮNG CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ

KHÓA 20

PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN

TIỂU LUẬN

BỘ MÔN

LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS PHAN VĂN THIỆN

HUẾ, THÁNG 5-2012

Tóm tắt

Tiểu luận này trình bày một số tính chất về hàm tử hiệp biến, phép biến đổi tự nhiên, phần tử độc xạ, phép tương đương tự nhiên, được thể hiện trong Bài tập 1, Bài

tập 2 và Bài tập 3 Học viên xin gửi lời chân thành cảm ơn đến TS Phan Văn Thiện,

Thầy đã tận tình truyền đạt những kiến thức trong học phần Lý thuyết Phạm trù và Hàm tử và đã cho học viên cơ hội tiếp cận các tính chất liên quan đến phép biến đổi

tự nhiên

Định nghĩa 1 Cho một phạm trùC là cho các dữ kiện sau:

• Một lớp các vật ObC, những phần tử A, B, C, ∈ObC được gọi là những vật

của phạm trù C; một lớp các xạ MorC.

• Với hai vật A, B của C cho một tập hợp nằm trongMorC, kí hiệu làHomC(A, B)

và được gọi là tập hợp các xạ từ A tới B Để chỉ f ∈ HomC(A, B) ta viết

f :A −→ B hay A −→ B f

• Với ba vật A, B, C của C có một ánh xạ

được gọi là phép hợp thành của các xạ f và g.

Các dữ kiện trên phải thỏa mãn:

– Phép hợp thành có tính kết hợp: nếu

A f //B g //C h //D

là những xạ đã cho, thì ta có

– Với mọi vật A của C, tồn tại một xạ 1A : A −→ A, được gọi là xạ đồng nhất của vật A, sao cho với mọi xạ f : A −→ B, với mọi xạ g : C −→ A,

ta có

f1A =f, 1A g= g.

– Nếu các cặp vật(A, B),(A ′ , B ′)khác nhau thìHomC(A, B)∩HomC(A ′ , B ′) =

∅

Nhận xét 2 Xạ đồng nhất1A được xác định duy nhất bởi vật A Thật vậy, nếu1A

và 1′ A đều là những xạ đồng nhất của vật A thì ta có 1A = 1A1′ A = 1′ A Đảo lại, A

được xác định duy nhất bởi 1A vì các tập các xạ đôi một không giao nhau

Ví dụ 3 Phạm trùSet các tập hợp gồm:

• Lớp các vật ObSet = {tất cả các tập hợp}.

• Lớp các xạ MorSet ={tất cả các ánh xạ giữa các tập hợp}.

• Phép hợp thành là tích các ánh xạ.

• Với mỗi vật A của Set, ta có ánh xạ đồng nhất 1B =Id B

Định nghĩa 4 Xạ f : A −→ B được gọi là đơn xạ nếu với mọi xạ k : X −→ A, l :

X −→ A sao cho fk =f l thì ta có k = l.

Định nghĩa 5 Xạ g : B −→ C được gọi là toàn xạ nếu với mọi xạ k : C −→ Y, l :

C −→ Y sao cho kg =lg thì ta có k =l.

Định nghĩa 6 Xạ f được gọi là song xạ nếu f đồng thời là đơn xạ và toàn xạ.

Nhận xét 7.

• Nếu f : A −→ B và g: B −→ C là các đơn xạ thì gf : A −→ C là đơn xạ.

• Nếu gf là đơn xạ thì f là đơn xạ.

• Nếu f : A −→ B và g: B −→ C là các toàn xạ thì gf : A −→ C là toàn xạ.

• Nếu gf là toàn xạ thì g là toàn xạ.

• Nếu f : A −→ B và g: B −→ C là các song xạ thì gf : A −→ C là song xạ.

• Nếu gf là song xạ thì f là đơn xạ và g là toàn xạ.

Định nghĩa 8 Một xạ f : A −→ B trong một phạm trù C được gọi là đẳng xạ hay khả nghịch nếu tồn tại một xạ g : B −→ A sao cho gf = 1A và f g = 1B Khi đó, ta

kí hiệu g=f −1 , gọi là xạ nghịch đảo của f

Hai vật A, B của phạm trù C được gọi là đẳng xạ hay tương đương nếu tồn tại một đẳng xạ f : A −→ B, kí hiệu A ∼= B.

Nhận xét 9.

• Nếu xạ g tồn tại thì nó là duy nhất Thật vậy, nếu g ′ :B −→ A cũng là một xạ sao cho: g ′ f = 1A và f g ′ = 1B ta sẽ có

g = 1A g = (g ′ f)g =g ′(f g) =g ′1B =g ′

• Nếu f : A −→ B và g : B −→ C là các đẳng xạ thì hợp thành của chúng

gf : A −→ C cũng là đẳng xạ, và ta có (gf)−1= f −1 g −1 Thật vậy, ta có

• Mọi xạ đồng nhất đều là đẳng xạ và là xạ nghịch đảo của nó.

• Mọi đẳng xạ đều là song xạ, điều ngược lại không đúng.

Định nghĩa 10 Cho C và D là hai phạm trù Một hàm tử hiệp biến H hay gọi tắt, một hàm tử H từ phạm trù C đến phạm trù D

H: C −→ D

là một cặp ánh xạ

• Ánh xạ - vật H : ObC −→ ObD cho tương ứng mỗi vật A của phạm trù C với

một vật H(A) của phạm trù D.

• Ánh xạ - xạ H : MorC −→ MorD cho tương ứng mỗi cấu xạ f : A −→ B của

phạm trù C với một cấu xạ H(f) : H(A)−→ H(B)của phạm trù D.

Các ánh xạ này thỏa mãn các điều kiện sau

– H(gf) =H(g)H(f) với mọi hợp thành gf xác định trong C.

Nhận xét 11 Một hàm tử hiệp biến bảo toàn các xạ đồng nhất và hợp thành của

các xạ Do đó, nó cũng bảo toàn các đẳng xạ

Định nghĩa 12 Giả sử H:B −→ C và K: C −→ D là các hàm tử hiệp biến Khi đó

A 7−→ K(H(A))

f 7−→ K(H(f))

xác định một hàm tử hiệp biến, được gọi là hợp thành của các hàm tử H và K.

Định nghĩa 13 Cho hai phạm trù C, C ′ Ta gọi tích của hai phạm trù C và C ′, kí

hiệuC × C ′, là một phạm trù gồm

• Ob(C × C ′) ={(C, C ′)|C ∈Ob(C), C ′ ∈Ob(C ′)}.

• HomC×C ′((A, A ′),(B, B ′)) = {(f, f ′)|f ∈HomC(A, B), f ′ ∈HomC ′(A ′ , B ′)}.

• Với (f, f ′) ∈ HomC×C ′((A, A ′),(B, B ′)),(g, g ′) ∈ HomC×C ′((B, B ′),(C, C ′)), ta

có hợp thành

Định nghĩa 14 Cho các phạm trù C, C ′ , D Một hàm tử H: C × C ′ −→ D từ phạm

trù tích C × C ′ vào phạm trù D được gọi là song hàm tử (hai lần hiệp biến).

Như vậy theo định nghĩa, một song hàm tử H: C × C ′ −→ D là một cặp ánh xạ

• Ánh xạ - vật: (A, A ′)7−→ H(A, A ′),

• Ánh xạ - xạ: (f, f ′)7−→ H(f, f ′)

thỏa mãn

– H(gf, g ′ f ′) =H(g, g ′)H(f, f ′).

Định nghĩa 15 Cho H, K: C −→ D là hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù D Một phép biến đổi tự nhiên φ từ H đến K là một ánh xạ

A 7−→ H(A)−→ K(A)

sao cho với mỗi xạ f :A −→ B trong C, biểu đồ sau giao hoán

H(A)

H(f )

φ(A)//K(A)

K(f )

H(B) φ(B)//K(B)

Để diễn tả sự kiện biểu đồ trên giao hoán, ta thường nói φ(A) tự nhiên tại A.

Định nghĩa 16 Cho H, K : C −→ D là hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù

D Một phép biến đổi tự nhiên φ từ H đến K được gọi là một đẳng xạ tự nhiên hay một tương đương tự nhiên, hay một đẳng xạ hàm tử nếu với mọi vật A của C, φ(A)

là một đẳng xạ Khi đó, ta viết H ∼= K

Định nghĩa 17 Hàm tử H:C −→ D được gọi là trung thành nếu mọi cặp vật A, B

của phạm trù C, ta có

là một đơn ánh, tức là H chuyễn mỗi cặp cấu xạ phân biệt thành cặp cấu xạ phân biệt

Hàm tử H : C −→ D được gọi là trung thành đầy đủ nếu mọi cặp vật A, B của

phạm trù C, ta có

là một song ánh

Hàm tử H : C −→ D trung thành đầy đủ và sao cho với mỗi vật B trong phạm

trù D đẳng xạ với một vật H(A), A ∈ObC thì H được gọi là một phép tương đương phạm trù.

Bài tập 1 Chứng minh rằng hàm tử H: C −→ D là một phép tương đương khi và

chỉ khi tồn tại hàm tử K:D −→ C sao cho HK tương đương tự nhiên với 1D, hàm tử đồng nhất trên D, và KH tương đương tự nhiên với 1C, hàm tử đồng nhất trênC Lời giải.

⇐) Giả sử có hàm tử K: D −→ C sao cho HK tương đương tự nhiên với1D, và KH tương đương tự nhiên với 1C Khi đó, có xạ φ : 1D −→ HK sao cho với mỗi vật

B của phạm trù D, φ(B) là một đẳng xạ, suy ra B ∼=H(K(B))

Ta cũng có đẳng xạ tự nhiên ψ :KH −→1C Khi đó, với mỗi xạ A −→ A ′ trong

HomC(A, A ′), biểu đồ sau giao hoán

KH(A)

ψ(A) //A

KH(A ′)ψ(B) //A ′

Suy ra H là một hàm tử trung thành Tương tự, K cũng là một hàm tử trung thành

Với mỗi xạ β :H(A)−→ H(A ′)trong phạm trù D, cảm sinh ra xạ α: A −→ A ′

nhờ biểu đồ giao hoán trên và ta có K(β) =K(H(α)) Vì K là một hàm tử trung

thành nên β = H(α) Suy ra hàm tử H : C −→ D là một phép tương đương

phạm trù

⇒) Giả sử H là một phép tương đương phạm trù Khi đó với mỗi vật B trong phạm

trù D ta có thể tìm được một vật K(B) trong phạm trù C và một đẳng cấu

φ B :B −→ HK(B)

Mỗi xạ β :B −→ B ′ trong phạm trù D cảm sinh ra xạ

φ B , βφ −1 B : HK(B)−→ HK(B).

Vì H là trung thành đầy đủ nên có duy nhất xạ K(B) −→ K(B ′) sao cho

φ B , βφ −1 B =H(K(β)), nói cách khác, sao cho biểu đồ sau giao hoán

B

β

φ B//HK(B)

HK(β)

B ′ φ

′

B//HK(B ′)

Khi đó K là một hàm tử Từ biểu đồ trên, ta thấy φ là một phép biển đổi tự

nhiên

Với mỗi vật A của phạm trù C, ta có một đẳng cấu φ H(A) : H(A)−→ HKH(A)

và vì H là trung thành đầy đủ nên có duy nhất một đẳng cấu ψ A :KH(A)−→ A

sao cho

h(ψ A) =φ −1 H(A)

Để chứng minh ψ là một phép biến đổi tự nhiên, ta cần chứng minh với mỗi

xạ A −→ A ′, biểu đồ trong phần chứng minh trước là giao hoán Tác động H

vào biểu đồ đó và dùng h(ψ A) =φ −1 H(A) ta được một biểu đồ giao hoán nhờ tính

tự nhiên của φ Vì H là trung thành nên biểu đồ đó giao hoán Ta có hệ thức

Hψ = (φH)−1 chính là h(ψ A) =φ −1 H(A)

Ta còn phải chứng minh K(φ B) =ψ K(B) −1 với mỗi vật B của phạm trù D Vì H là

trung thành nên chỉ cần chứng minh HK(φ B) =H(ψ K(B) −1 ) Dùng h(ψ A) =φ −1 H(A)

ta có H(ψ K(B) −1 ) = φ HK(B) Thay β bởi φ B trong biểu đồ trên ta có điều phải chứng minh

Bài tập 2 Cho HK: C × C ′ −→ D là các song hàm tử từ phạm trù tích C × C ′ đến

phạm trùD Cho φ là ánh xạ

A × A ′ 7−→ H(A,A′)−→ K(A,A′) .

Chứng minh φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K khi và chỉ khi φ(A, A ′)là tự nhiên tại A đối với mọi A ′ đã cho và φ(A, A ′)là tự nhiên

tại A ′ đối với mọi A đã cho.

Lời giải.

⇒) Xét φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K Khi

đó, với mỗi xạ của phạm trù tích C × C ′ , tức là mỗi cặp xạ f : A −→ B của C

và f ′: A ′ −→ B ′ củaC ′, biểu đồ sau giao hoán

H(A,A′)

H(f,f ′)

φ(A,A ′)

//K(A,A′)

K(f,f ′)

H(B,B′)φ(B,B

′)

//K(B,B′) Nói riêng, các biểu đồ sau giao hoán

H(A,A′)

H(f,A ′)

φ(A,A ′)

//K(A,A′)

K(f,A ′)

H(B,A′)φ(B,A

′)

//K(B,A′)

H(B,A′)

H(B,f ′)

φ(B,A ′)

//K(B,A′)

K(B,f ′)

H(B,B′)φ(B,B

′)

//K(B,B′)

Vậy φ(A, A ′)là tự nhiên tại A đối với mọi A ′ đã cho và φ(A, A ′) là tự nhiên tại

A ′ đối với mọi A đã cho.

⇐) Đảo lại, nếu các biểu đồ thứ hai và thứ ba ở trên là giao hoán thì suy ra biểu

đồ sau giao hoán

H(A,A′)

H(f,A ′)

φ(A,A ′)

//K(A,A′)

K(f,A ′)

H(B,A′)φ(B,A

′)

H(B,f ′)

K(B,A′)

K(B,f ′)

H(B,B′)φ(B,B

′)

//K(B,B′)

Vậy φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K.

Định nghĩa 18 Cho H : C −→ Set là một hàm tử từ một phạm trù C đến phạm

trù các tập hợp Set Một phần tử độc xạ đối với H là một cặp (u, R)gồm một vật R

củaC và một phần tử u ∈ H(R) thỏa mãn các tính chất: với mọi vật X của C và mọi phần tử v ∈ H(X), tồn tại duy nhất một xạ f : R −→ X sao cho H(f)(u) =v.

H(f)

R

f

∃!

Định nghĩa 19 Cho R là một quan hệ tương đương trong tập A Nếu ta cho ứng với mỗi phần tử x của A với lớp tương đương [x]R mà nó xác định, thì rõ ràng ta

được một toàn ánh từ A lên tập thương A |R.

x 7−→ [x]R

Ánh xạ này được gọi là ánh xạ tự nhiên từ tập A lên tập thương A |R, kí hiệu là tnR.

Định lí 20 Tính chất độc xạ của tập thương.

Cho R là một quan hệ tương đương trong tập A và φ : A −→ X là một ánh xạ sao cho (a, b)∈ R ⇒ φ(a) = φ(b) Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ f : A |R −→ X sao cho φ=ftnR, tức là sao cho biểu đồ sau giao hoán.

A |R

∃!f

A

tnR {=={

{ { {

φ //X

Bài tập 3 Cho A là một tập hợp và R là một quan hệ tương đương trên A.

a) Chứng minh rằng H R A : Set −→ Set xác định như sau

– với mỗi X ∈ObSet,

H R A(X) ={φ: A −→ X|(a, b)∈ R=⇒ φ(a) =φ(b)}.

– với mỗi ánh xạ f :X −→ Y ,

H R A(f) : H R A(X) −→ H A

R(Y)

là hàm tử hiệp biến

b) Hãy tìm phần tử độc xạ của H R A

Lời giải.

a) – Xét ánh xạ f : X −→ Y , φ ∈ H A

R(X), ta kiểm chứng H R A(f)(φ) = f φ ∈

H R A(Y) Thật vậy, với mọi(a, b)∈ R, ta có

Vậy H R A(f)(φ)∈ H A

R(Y)

– Với mọi xạ đồng nhất 1X của Set, ta có H A

R (X) Thật vậy, với

mọi φ ∈ H A

R(X), ta có

– Với mọi ánh xạ f, g của Set sao cho hợp thành gf có nghĩa, ta có

H R A(g)◦ H A

R(f) =H R A(gf) Thật vậy, với mọi φ ∈ H A

R(X), ta có

R(f))(φ) =H R A(g)(H R A(f)(φ))

Vậy H R A là một hàm tử hiệp biến

b) Theo định nghĩa, phần tử độc xạ của H R A là một cặp(u, R), trong đó R là một

vật của Set, tức là một tập hợp, và u là một phần tử của H A

R(R), tức là một

ánh xạ u : A −→ R sao cho (a, b)∈ R ⇒ u(a) =u(b)

Cặp(u, R)phải thỏa mãn các tính chất độc xạ sau: đối với mọi tập hợp X và mọi phần tử v ∈ H A

X , tức là mọi ánh xạ v : A −→ X sao cho (a, b) ∈ R ⇒ v(a) =

v(b), tồn tại duy nhất một ánh xạ f : R −→ X sao cho v =H X A(f)(u) =f u.

Theo tính chất độc xạ của tập thương trong Định lý 20, cặp(u = tnR, R =A |R) thỏa mãn tính chất ấy

Tài liệu tham khảo

[1] I Bucur, A Deleanu, Introduction to the theory of cateories and functors, 1968 [2] N T Lanh, Đại số, NXBGD, 1985.

[3] B Mitchell, Theory of Categories, Academit Press, 1965.

Email address: ngocthangpro@gmail.com

Tel: +841695377526

Typed by TEX