TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ TIỂU LUẬN VÀNH VỚI ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN Đề tài Hạng đều(uniform rank) Người thực hiện Trần Mạnh Hùng Lớp Cao học Toán khóa XX Giáo viên hướng dẫn GS – TS Lê Văn Thuyết Huế, tháng 4 năm 2013 NỘI DUNG ĐỀ TÀI A PHẦN LÍ THUYẾT HẠNG ĐỀU (UNIFORM RANK) Ta đã biết, môđun A có hạng hữu hạn với điều kiện E(A) là tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được Bổ đề 5 16 Nếu môđun A là tổng trực tiếp hữu hạn n.
Trang 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
VÀNH VỚI ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN
Đề tài:
Hạng đều(uniform rank)
Người thực hiện: Trần Mạnh Hùng Lớp : Cao học Toán khóa XX
Giáo viên hướng dẫn: GS – TS Lê Văn Thuyết
Huế, tháng 4 năm 2013
Trang 2NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A PHẦN LÍ THUYẾT:
HẠNG ĐỀU (UNIFORM RANK) -Ta đã biết, môđun A có hạng hữu hạn với điều kiện E(A) là tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được
Bổ đề 5.16: Nếu môđun A là tổng trực tiếp hữu hạn n môđun con đều không phân
tích được thì A không chứa bất kì tổng trực tiếp của n + 1 các môđun con khác không nào
Định nghĩa:Nếu A là một môđun có hạng hữu hạn, thì tồn tại số tự nhiên n sao
cho E(A) là tổng trực tiếp của n môđun con đều
Ngoài ra, theo bổ đề 5.16 thì với mỗi sự khai triển khác của E(A) thành tổng trực tiếp của của các môđun con đều thì có đúng n số hạng Do đó n được xác định duy nhất bởi A
Ta gọi n là hạng đều, hoặc là hạng của A.Kí hiệu: rank(A)
- Nếu A1,A2,… ,An là các môđun có hạng hữu hạn thì A1⊕ A2⊕…⊕ An
có hạng hữu hạn và rank(A1⊕A2⊕…⊕ An¿= rank(A1) + rank(A2) +…+ rank(An)
Mệnh đề 5.20: Cho A là một môđun con và n là số nguyên không âm Khi đó các
mệnh đề sau tương đương:
a, A có hạng hữu hạn n
b, A có một môđun con cốt yếu B là tổng trực tiếp của n mô đun con đều
c, A chứa tổng trực tiếp củs n môđun con khác không, nhưng không chứa tổng trực tiếp của n + 1 môđun con khác không
Chứng minh:
a ⇒c: Giả sử E(A) = E1⊕ E2⊕…⊕ En với Ei là các môđun con đều của A
Theo bổ đề 5.16: E(A) không chứa chứa tổng trực tiếp của n + 1 môđun con khác không ⇒ Acủng vậy
Trang 3Mặt khác, A chứa tổng trực tiếp củs n môđun con khác không là
E1 ∩ A, E2 ∩ A, …., En ∩ A
c ⇒b: cho A1,A2,… ,An là các môđun con khác không, độc lập của A, với I = 1,2,
….n các môđun Ai là đều vì giả sử Ai không đều thì tồn tai B,C là các môđun con khác không của Ai mà B ∩ C = 0, khi đó:
A = A1⊕ A2⊕…⊕ An−1⊕ B ⊕C ⊕…⊕ An , t ´ư c l `a A chứa tổng trực tiếp của n + 1 môđun con khác không ( mâu thuẩn)
Mặt khác, nếu A1⊕ A2⊕…⊕ Ankh ô ng c ´ô t y ´êu trong A , khi đó có môđun con An +
1 khác không của A mà A1⊕ A2⊕…⊕ An ∩ An+1 = 0 suy ra
A ⊃ A1⊕ A2⊕…⊕ An ⊕ An+1(mâu thuẩn)
Vậy: A1⊕ A2⊕…⊕ Anc ´ô t y ´ê utrong A
b ⇒ a: suy ra trực tiếp từ mệnh đề 5.15.
Hệ quả 5.21: Cho B là môđun con của mô đun A.
a, Gỉa sử A có hạng hữu hạn, khi đó B có hạng hữu hạn và rank(A) ≤ rank(B) Ngoài ra, rank(A) ¿ rank(B) ⟺ B ≪e A
b, Giả sử B và A/B có hạng hữu hạn, khi đó A có hạng hữu hạn và
rank(A) ≤ rank(B) + rank(A/B)
Chứng minh:
a, + Theo mệnh đề 5.20: B nhưng không chứa tổng trực tiếp của rank(A) + 1 môđun con khác không., do đó áp dụng mệnh đề này cho B suy ra B có hạng hữu hạn, và rank(B) ¿ rank(A) + 1 ⇒ rank(B) ≤ rank(A)
Mệnh đề 5.20 còn cho thấy B có một môđun con cốt yếu C là tổng trực tiếp của rank(B) môđun con đều
+ Chứng minh rank(A) ¿ rank(B) ⟺ B ≪e A:
Trang 4(⇐): Nếu B ≪e A , mà C ≪e B nên C ≪e A Theo mệnh đề 5.20(b ⇒ a¿: C là tổng
trực tiếp của rank(B) số hạng nên rank(A) ¿ rank(B)
(⇒): Nếu rank(A) ¿ rank(B), do A không chứa tổng trực tiếp của rank(B) + 1 môđun con khác không , suy ra A có mô đun con cốt yếu C là tổng trực tiếp của rank(B) số hạng ⇒ C ≪e A → B ≪e A ( vì C ≪e B)
b, Gọi C là môđun con lớn nhất của A với B ∩ C = 0
Xét ánh xạ f: C ⟶ A/B
c ↦ c + B
Ker(f) = {c ∊ C: c + B = 0} = { c ∊C: c ∊ B } = {0}
Vì C/ker(f) ≌ f(C) nên trong trường hợp này
C ≌ f(C) = {c + B: c ∊ C} = C/B ≤ A /B hay C đẳng cấu với một môđun con của A/B
Theo (a): A/B có hạng hữu hạn nên C có hạng hữu hạn và rank(C) ≤
rank(A/B)
Theo mệnh ề 5.7: B,C là các mô un con của mô un A , C là mô un con lớn nhất thỏa mãn B ∩ C = 0 thì B ⊕ C ≪e A
Theo mệnh đề 5.20 thì A có hạng hữu hạn và
rank(A) ¿ rank(B) + rank(C) ≤ rank ( B)+rank ( A/ B)
Trang 5B PHẦN BÀI TẬP:
Bài 1:
Cho A là một môđun với hạng hữu hạn, nếu f: A ⟶ A là đơn cấu
thì f(A) ≪e A.
Chứng minh:
Vì f: A ⟶ A là đơn cấu nên ker(f) = {0}
Khi đó A/ker(f) ≌ f(A) suy ra A ≌ f(A) suy ra: rank(f(A)) ¿ rank(A) Theo hệ quả 5.21 thì f(A) ≪e A
Bài 2:
Cho R là một nữa vành nguyên tố và A là I đêal của R, khi đó:
a, r.ann(A) = l.ann(A)
b, ann(A) là ideal phần bù duy nhất của A trong R.
c, ann(A) là tương giao của ideal nguyên tố nhỏ nhất của R không chứa A.
d, R A R là đều khi và chỉ khi ann(A) là ideal nguyên tố nhỏ nhất.
Chứng minh:
a, r.ann(A) = {n ∊ R: Xn = 0}
l.ann(A) = {m ∊ R: mX = 0}
Vì AX = 0 ⇒ (XA)2 = 0 ⇒ XA = 0 nên n ∊ l.ann(A) ⇒ n ∊ r.ann(A) hay
l.ann(A)⊆r.ann(A)
mặs khác XA = 0 ⇒ (AX)2 = 0 ⇒ AX = 0 nên m ∊ r.ann(A) ⇒ m ∊ l.ann(A) hay r.ann(A)⊆l.ann(A)
Vậy r.ann(A) = l.ann(A)
Trang 6b, nếu A ∩ C = 0 với C là ideal của R , thì AC ⊆A ∩ C = 0 Từ đó C ⊆ann(A)
⇒ (A ∩ ann(A))2 = 0 ⇒ A ∩ ann(A) = 0
Vậy: ann(A) là ideal phần bù duy nhất của A trong R.
c.B là mô tả tương giao, A ∩ B = 0 và từ câu b: B ⊆ ann(A) ⇒ A ann(A) = 0 Do đó P là ideal nguyên tố nhỏ nhất và A ⊈ P thì ann(A) ⊆ P Do đó ann(A) ⊆ B
d, Từ câu b thì ann(A) là ideal phần bù duy nhất của A trong R Do đó , nếu RAR là đều thì ann(A) = ann(A’) với A’là ideal khác không và ⊆ A
Giả sử BC ⊆ ann(A) với B,C là ideal của A thì AB = 0 , trong trường hợp B ⊆ A hoặc AB≠ 0 và khi C ⊆ ann(AB) = ann(A) Điều này chứng tỏ A là ideal nguyên tố và nhỏ nhất
Đảo lại: Nếu ann(A) là ideal nguyên tố nhỏ nhất, thì ann(A) = ann(A’)
Nhưng nếu A ⊃ A1⊕ A2 với A1, A2 là là ideal khác không thì ann(A1) ⊃ ann(A)
Do đó RAR là đều
Bài 3: Cho R là một vành nữa nguyên tố, Chứng minh rằng:
Nếu R A R có hạng đều hữu hạn thì R có hữu hạn các ideal nguyên tố nhỏ nhất.
Chứng minh:
Nếu rank(R) = n thì có các ideal đều A1,A2,… ,An sao cho
A1⊕ A2⊕…⊕ An≪e RRR
Hơn nữa, nếu Pi = ann(Ai) thì theo bài tập 1d: Pi là nguyên tố nhỏ nhất
Ta thấy ∩ Pi = 0 do ó ta có ược các ideal nguyên tố nhỏ nhất