TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI Đề tài: MÔĐUN TỰ DO

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI Đề tài MÔĐUN TỰ DO Giáo viên hướng dẫn Học viên NGUYỄN THỊ PHƯƠNG CHI TS PHAN VĂN THIỆN Lớp TOÁN K20 ( 2011 2013) Chuyên ngành LL và PP dạy học Toán LỜI NÓI ĐẦU Trong sự phát triển của toán học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn học quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại Trong đó môđun đúng vai trò nền tảng của môn học Trong tiểu luận này tôi xin trình bày về một.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI

TS PHAN VĂN THIỆN Lớp: TOÁN K20 ( 2011-2013)

Chuyên ngành: LL và PP dạy học Toán

LỜI NÓI ĐẦU

Trong sự phát triển của toán học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn học quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại Trong

đó môđun đúng vai trò nền tảng của môn học Trong tiểu luận này tôi xin trình bày về một số lý thuyết được dùng để chứng minh điều kiện để có môđun con khả nghịch và bài toán ứng dụng.

Trong tiểu luận này có hai chương, đó là:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương II: Bài tập

Chương I: PHẦN LÝ THUYẾT

1.1 Môđun:

1.1.1 Định nghĩa Môđun:

Cho R là một vành, M, là một nhóm aben M được gọi là một  R môđun

trái nếu có một ánh xạ (được gọi là phép nhân vô hướng)

rs

s

r

M

M

R



)

,

(





Thỏa mãn các tính chất sau:

(M1) r(xy)rxry

(M2) (rs)xrxsx

(M3)(rs)xr(sx)

(M4)1.x  x

M y x R s

r   

Một R môđun trái trên M được ký hiệu là M R , còn gọi là một môđun trái trên

R

cùng với một ánh xạ:

xs s x

M S M

 ) , (





Thỏa mãn các tính chất sau:

(M1) (x y)sxs ys

(M2) s(x y)sxsy

(M3) x(rs)(xr)s

(M4) x .1 x

M y x S s

r   

Một S môđun phải M được ký hiệu là M , còn gọi là một môđun phải trên S s

Cho R, là các vành Nhóm aben M được gọi là S R  S song môđun nếu M là

một R môđun trái và một S môđun phải thỏa mãn điều kiện:

) ( ) (r x sr x s

M x S s R

r    

Ký hiệu một R  S song môđun là R M S

Cho R là một vành giao hoán, M là một  R môđun trái, ta có thể xem M là

một R môđun phải bằng cách đặt x r r.x Khi đó, M là một R  R song môđun

Trong tiểu luận này, ta quy ước: khi nói M là một  R môđun nghĩa là M là một



R môđun trái.

1.1.2 Định nghĩa Môđun con:

N là một nhóm con của nhóm cộng M và N đóng kín đối với phép nhân vô hướng của



R môđun M

1.1.3 Định lí

Một tập con H 0 của R môđun M là một môđun con của M khi và chỉ khi

với mọi a  với mọi R x ,y H ta có:

1)x yH 2)ax  H

Chứng minh: Điều kiện cần là hiển nhiên, ta kiểm chứng điều kiện đủ: Hai điề

kiện (1) và (2) chứng tỏ rằng phép cộng trong H và phép nhân vô hướng giữa H và R với miền toán tử R được xác định Đây là hai phép toán được cảm sinh từ hai phép toán

của R môđun M

Nhưng tính giao hoán và kết hợp của phép cộng và bốn tiên đề trong định nghĩa

môđun thỏa mãn trên toàn bộ M thì cũng thỏa mãn đới với tập con H của M

Ngoài ra, vì H 0 nên x  H Khi đó 0M 0R xH (do điều kiện (2)); và với mỗi x  H , phần tử đối  x(1)xH (do điều kiện (2)).

Vậy H là một R môđun

1.1.4 Định lí:

của M

một môđun con

Hợp của một tập sắp thứ tự toàn phần (theo quan hệ bao hàm) các môđun con của

M là một môđun con của M

1.1.5 Hệ quả:

Cho M là một  R môđun, S là tập con của M Khi đó, giao các môđun con của

M chứa S là môđun con bé nhất của M chứa S

1.1.6 Định nghĩa:

Môđun con của M bé nhất chứa S trong hệ quả trên gọi là môđun con của M sinh bởi tập S , ký hiệu là S

Nếu S  M , thì S được gọi là hệ sinh của M

Nếu S là một hệ sinh của môđun M sao cho với mọi tập con S  S ta đều có M

S  thì S được gọi là hệ sinh cực tiểu của môđun M

Nếu M có hệ sinh hữa hạn thì M được gọi là môđun hữu hạn sinh.

Môđun được sinh bởi một phần tử gọi là môđun cyclic

1.1.7 Mệnh đề:

Cho M là một R môđun, 0 S  M Khi đó,























n S x R r s r

S n i i

i i

i | , ,

0

1.1.8 Định nghĩa:

Cho M là một R môđun, X là tập con của M Một tổ hợp tuyến tính các phần

tử của X là một tổng hữu hạn 



n

i i i

x r

1

, trong đó r i , R x iX , i1, ,n Phần tử x  M được gọi là biểu thị tuyến tính được qua các phần tử của X nếu

x có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các phần tử của X

Tập con X  M được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con hữu hạn bao gồm các phần tử phân biệt x , ,1 x n của X có tổ hợp tuyến tính triệt tiêu:

0

1







n i i

i x

 kéo theo r i 0 ,i 1, ,n

Một tập con của M được gọi là một cơ sở nếu nó là một hệ sinh độc lập tuyến tính của M

1.1.9 Mệnh đề:

Cho M i|iI là một tập khác 0 các môđun con của R môđun M Khi đó,

tập:























J I M x x

J i

i I

i

là môđun con của M sinh bởi 

I i i

M



1.1.10 Định lí:

J i i

M trong mệnh đề trên gọi là tổng của các môđun con M i,iI





I i i

M

J

i

i

x các phần tử x  i M i, i  J có thể là không duy nhất

1.1.11 Định lí:

Cho M là R môđun:

H của M thỏa mãn N  H M

Môđun con A của M được gọi là cực tiểu nếu A0 và không có môđun con N

của M thỏa mãn 0N  A.

M gọi là môđun đơn nếu M 0 và M chỉ có hai môđun con của 0 và M (ở đây 0 là cực đại, M là cực tiểu).

1.1.12 Bổ đề:(Bổ đề zorn)

Cho T là một tập sắp thứ tự Nếu mọi tập con sắp thứ tự toàn phần của T đều có cận trên trong T thì T có phần tử cực đại.

1.1.13 Định lí:

Cho M là một R môđun hữu hạn sinh, M 0 Khi đó, mọi môđun con thực sự

N của M đều chứa trong một môđun cực đại.

1.1.14 Hệ quả:

Mọi vành R đều có chứa iđêan cực đại.

Cho N là môđun con của R môđun M Khi đó, N là nhóm con của nhóm cộng

aben M nên ta có nhóm thương aben M / N,: với mọi xM,yNM /N

xN  yNxyN

1.1.15 Định lí:

Cho N là một môđun con của R môđun M Khi đó,

r x N rx N

N M N M R









 ,

/ /

là một ánh xạ, nó xác định một phép nhân vô hướng giữa phần tử của vành R với phần

tử nhóm thương M / N

môđun

2.1 Đồng cấu môđun:

2.1.1 Định nghĩa:

Cho M , N là các R môđun Ánh xạ f :M  N được gọi là một đồng cấu



) ( ) ( )

f   

) ( )

f 

R r M y

x  

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nếu f là đơn ánh, toàn ánh,

song ánh tương ứng

Nếu có một đẳng cấu f :M  N , thì M được gọi là đẳng cấu với N , ký hiệu là

N

M 

Nếu f :M  N là một đồng cấu R môđun, thì ta có:

i) f 0 0

ii) f x f x ,xM

2.1.2 Mệnh đề:

Cho M , N là các R môđun Ánh xạ f :M  N là đồng cấu R môđun khi

và chỉ khi

) ( ) ( )

f   

M y x R s

r   

2.1.3 Mệnh đề:

Cho f :M  N và g:N  P là các đồng cấu R môđun Khi đó là đồng cấu



Chứng minh:

M y x R s

r   

      

   

 

     

  gf x s  gf y r

y f sg x f g r

y sf x rf g

sy rx f g sy rx gf



















2.1.4 Mệnh đề:

Cho f :M  N là đẳng cấu R môđun Khi đó f 1:N  M cũng là đồng cấu



2.1.5 Hệ quả:

Cho f :M  N là đồng cấu R môđun:

i) Im f  f M là môđun con của N , được gọi là ảnh của f

f

2.1.6 Mệnh đề:

Cho f :M  N là đồng cấu R môđun Khi đó, f đơn cấu khi và chỉ khi

0



Kerf .

2.1.7 Định lí:

Giả sử f :M  N là đồng cấu R môđun và H là môđun con của M sao cho Kerf

f

f p  , trong đó p:M  M/H là toàn cấu chính tắc Hơn nữa:

f f

H Kerf

f

Ker  / ,Im Im

2.1.8 Hệ quả:

Giả sử f :M  N là đồng cấu R môđun Khi đó: M /Kerf Imf

2.1.9 Mệnh đề:

Cho H , là các môđun con của K R môđun M Khi đó:

HK/K H/HK

2.1.10 Mệnh đề:

Cho H K N là các môđun con của R môđun M Khi đó:

N HK H

K

N/  / /

2.1.11 Mệnh đề:

Cho f :M  N là đồng cấu R môđun, g:M  H là toàn cấu R môđun sao

cho Kerg  Kerf Khi đó, có duy nhất một đồng cấu R môđun h:H  N thỏa mãn f

hg 

2.1.12 Mệnh đề:

Cho f :M  N là đồng cấu R môđun, g:M  H là đồng cấu R môđun sao

cho Img  Kerf Khi đó, có duy nhất một đồng cấu R môđun h:H  Kerg thỏa mãn g

ih  , với i:Kerf  M là đồng cấu bao hàm.

2.1.13 Mệnh đề:

Cho  :M  N là đồng cấu R môđun Khi đó,

f

f  

N P Hom M P

Hom R , R , :





f

f 

2.1.14 Mệnh đề:

Cho R là một vành giao hoán, M , N là các R môđun Khi đó, nhóm cộng aben Hom RM,N với phép nhân cô hướng xác định như sau là một R môđun với mọi

M N r R

Hom

f  R , ,  :

r, f x rf x ,xM

2.1.15 Mệnh đề:

Cho R là một vành giao hoán, M là R môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R

và :M  N là tự đồng cấu sao cho Im  ImM Khi đó, có a1, ,a nI thỏa mãn:

0

1

n n

n

n a a  a



2.1.16 Hệ quả:

Cho R là một vành giao hoán, M là R môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R

sao cho IM  M Khi đó, có r  thỏa mãn R r1I và rM 0

2.1.17 Mệnh đề:

Cho R là một vành giao hoán, M là R môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R

sao cho IM  M và I chứa trong mọi iđêan cực đại của R Khi đó, M 0

3.1 Môđun tự do:

H M Hom H N

Hom R , R , :



3.1.1 Định nghĩa:

Cho R môđun là một vành, S là một tập hợp Một R môđun tự do trên S là

một R môđun F cùng với mọi ánh xạ f :S  F sao cho với mọi ánh xạ g:S  X

từ tập S vào R môđun X , tồn tại duy nhất đồng cấu R môđun h:F  X thỏa mãn

g

hf 

3.1.2 Mệnh đề:

Nếu F, f là một R môđun tự do trên tập S thì f :S  F là đơn ánh và f S

là một hệ sinh của R môđun F

3.1.3 Định lí :

Với mọi tập S, bao giờ cũng tồn tại duy nhất sai khác đẳng cấu một R môđun

tự do trên S

3.1.4 Định lí:



tự do trên một tập S nào đó

3.1.5 Mệnh đề:



3.1.6 Định lí:

Cho M là một R môđun Tập con S  M là một cơ sở nếu vầ chỉ nếu ánh xạ bao hàm i:S  M có thể mở rộng thành đẳng cấu R môđun h:F  M , với F là



3.1.7 Hệ quả:

X

f

h g

M

f

h i

R môđun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở.

3.1.8 Mệnh đề:

Mọi cở sở của một R môđun hữu hạn sinh là hữu hạn

3.1.9 Định lí:

Mọi không gian vecto trên một trường K đều là K môđun tự do

4.1 Môđun xạ ảnh:

4.1.1 Định nghĩa:

X

R gọi là xạ ảnh nếu mọi đồng cấu R môđun f :X  B và mọi toàn cấu R

môđun g:A B thì có một đồng cấu R môđun h:X  A thỏa mãn gh  f

4.1.2 Định lí:

Mọi R môđun tự do đều là xạ ảnh

4.1.3 Mệnh đề:

Mọi hạng tử trực tiếp của R môđun xạ ảnh là R môđun xạ ảnh

4.1.4 Mệnh đề:

Tổng trực tiếp các R môđun xạ ảnh là R môđun xạ ảnh

4.1.5 Mệnh đề:

Mọi M R đều có thể nhúng vào một dãy khớp ngắn các R môđun

0

0 L F  M 

4.1.6 Mệnh đề:

Cho X R Các khẳng định sau là tương đương:

i) X là R môđun xạ ảnh

ii) Mọi dãy khớp ngắn các đồng cấu R môđun

0

0U  V   X  đều chẻ ra

iii) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một R môđun tự do

iv) Nếu g:A B là toàn cấu R môđun thì:

X A Hom X B

Hom

g*: R ,  R ,



v) Nếu 0 A f B g C 0 là dãy khớp các đồng cấu R môđun thì dãy sau cũng là dãy khớp:

X

A

B

h

f g

0

 ,   ,   ,  0

R

f R

4.1.7 Định nghĩa:

Cho M R , một phép xạ ảnh của M là một dãy khớp các đồng cấu R môđun:

trong đó c là i R

môđun xạ ảnh i0

4.1.8 Mệnh đề:

Mọi R môđun M đều có một phép giải xạ ảnh.

5.1 Bổ đề cơ sở đối ngẫu:

Kết quả chính của phần này là đặc tính cơ bản của một môđun xạ ảnh P về đối

ngẫu của nó P*:Hom RP,R

5.1.1 Bổ đề:

Một R môđun phải P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu tồn tại tập họ a i :iI P và

những hàm tuyến tính f i :iP P*, sao cho với mọi a  , P f i a 0 với mọi i , và

 a

f

a

a

i

i

i





Chứng minh:

Giả sử tồn tại a i :iI P,  f i :iP P*

Xét g toàn cấu từ môđun F e i R đến P được xác định bởi g e i  vớia i

mọi i  Bản đồ I h:P F được xác định bởi h a e i f i a , rõ ràng R là đồng cấu được chia thành g Do đó P là đẳng cấu từ số hạng trực tiếp của F ; do đó P là xạ ảnh.

Đảo lại, giả sử P là xạ ảnh và cố ddingj một toàn cấu g từ một môđun tự do phù

hợp F e i R lên P Ánh xạ h:P F được xác định bởi h a e i f i a a  P

Ở đây, f dễ dàng kiểm tra  i R tuyến tính (tức là f iP*), và f a 0 với mọi i

Áp dụng g, ta có agh a a i f i a , ở đâu a i:g e i P.

5.1.2 Nhận xét:

Chứng minh trên cũng chứng minh rằng P là một xạ ảnh hữu hạn nếu và chỉ nếu

tồn tại a i, f i:1in sao cho a a f  a

i i i



 , a  Trong trường hợp này, điều này P

cũng chứng minh f cũng tạo thành i P Hơn nữa, bản đồ * :P  P* được định nghĩa

là một phép đẳng cấu của R môđun.

0

Chương II: PHẦN BÀI TẬP

Bài 1: Cho R  S là các vành giao hoán Xem S là R môđun Giả sử P ,Q là các



R môđun con của S Đặt

















h

i i

i

i q p P q Q

p

PQ

.

,

x S sP R

P 1   | 

Chứng minh rằng các khẳng định sau tương đương:

Khi đó, ta nói P là một  R môđun con khả nghịch của S

Giải:

ii) i) là tầm thường, nên ta chỉ cần chứng minh i)  ii)

Cho PQ  , rõ ràng ta có R  1

Q

Như vậy, RPP 1 PQR, do đó PP  1 R

minh rằng:

ii) P là môđun tự do khi và chỉ khi P  Rs, với s  S

Giải:

P Q

Xét :Q  P* xác định bởi   q p qpR pP,qQ Nếu  q 0, thì qqRqPQ0, vậy  là nội xạ.

Ta có f i  q i , P* Rf i  Rq i (do 5.1.2), nên  cũng là toàn ánh

Thì RPQSQ, nên sq1 đối với một số q  Điều này chứng minh rằng Q

 S

U

s  Đặc biệt, P là tự do với cơ sở R  s Ngược lại, giả sử P tự do Thì R P  R n

với n, nên QP* R n cho cùng một n Nhưng:

R

n

R Q R R R P

PQ

R     

Nếu R0, ta phải có n1 nên P  sR với s  Và cũng đúng nếu S R0

KẾT LUẬN

Trong tiểu luận này, tôi đã trình bày những kiến thức cơ bản về môđun con khả nghịch, đặc biệt đã giải hai bài tập liên quan đến môđun con khả nghịch Mặc dù đã cố gắng nhưng vì kiến thức và thời gian còn hạn chế nên vẫn không tránh khỏi sai sót Rất mong thầy cô và các bạn góp ý để bài tiểu luận của tôi hoàn thiện hơn.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của TS Phan Văn Thiện, xin cám ơn các anh chị, bạn bè trong lớp Toán K20 và các tác giả của các quyển sách mà tôi đã tham khảo để tôi hoàn thành tiểu luận này Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Giáo trình cơ sở đại số hiện đại, NXBGD, 2001 Nguyễn Xuân Tuyến –

Lê Văn Thuyết

[2] Đại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản (1985) Ngô Thúc Lanh

[3] Đại sô trừu tượng – Tập 1, NXBGD (2005) Nguyễn Xuân Tuyến – Lê Văn Thuyết

[4] Theory of Categories, NEWYORK, Copyright 1965 BARRY MITCHELL [5] T.Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999.

[6] T.Y Lam, Exercise in Modules and Rings, Springer, 2007.