TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI BÀI TẬP MÔĐUN TỰ DO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TIỂU LUẬN CƠ SỞ ðẠI SỐ HIỆN ðẠI BÀI T ẬP MÔðUN TỰ DO Cán bộ hướng dẫn khoa học Người thực hiện TS PHAN VĂN THI ỆN NGÔ THỊ NHẬT ANH Khóa K20 Chuyên nghành LL và PP dạy học môn Toán Huế, tháng 1 năm 2012 MỤC LỤC Trang Lời nói ñầu 1 Chương I Ki ến thức chuẩn bị 2 1 Miền nguyên chính 2 1 1 Vành 2 1 2 Ideal và ideal chính 2 1 3 Ước của không, miền nguyên 3 1 4 Miền nguyên chính 3 2 Mô ñun tự do 3 2 1 Môñun 3 2 2 ðồng cấu môñun, dãy khớp 4 2 3.

Trang 1

TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ðẠI SỐ HIỆN ðẠI

BÀI TẬP MÔðUN TỰ DO

Cán bộ hướng dẫn khoa học: Người thực hiện:

TS PHAN VĂN THIỆN NGÔ THỊ NHẬT ANH

Khóa K20 Chuyên nghành: LL và PP dạy học môn Toán

Huế, tháng 1 năm 2012

Trang 2

Lời nói ñầu: 1

Chương I: Kiến thức chuẩn bị: 2

1 Miền nguyên chính: 2

1.1 Vành: 2

1.2 Ideal và ideal chính: 2

1.3 Ước của không, miền nguyên: 3

1.4 Miền nguyên chính: 3

2 Mô ñun tự do 3

2.1 Môñun: 3

2.2 ðồng cấu môñun, dãy khớp: 4

2.3 Môñun tự do: 7

Chương II: Bài tập: 12

Kết luận: 15

Tài liệu tham khảo : 16

Trang 3

Ngô Thị Nhật Anh (Toán K20-PP&LL DH môn Toán)

LỜI NÓI ðẦU:

Trong sự phát triển của toán học hiện ñại, cơ sở ñại số hiện ñại là môn học quan trọng, là cơ sở tiền ñề cho sự phát triển của ñại số hiện ñại Trong ñó vành và môñun

ñóng vai trò nền tảng của môn học này

Môñun là một trong những cấu trúc ñại số cơ bản của ñại số hiện ñại Nó ñược chia làm nhiều loại như: môñun tự do, môñun nội xạ, môñun xạ ảnh…

Vì vậy trong tiểu luận này tôi tập trung trình bày về môñun tự do

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này nhắc lại kiến thức về vành, ideal, ideal chính, miền nguyên,

miền nguyên chính, môñun, môñun tự do, ñồng cấu môñun

Chương II: Trình bày cách giải bài tập liên quan ñến cấu trúc môñun tự do

Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận này khó tránh khỏi sai sót,

mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của quý thầy cô và bạn ñọc

ðể hoàn thành tiểu luận này em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Văn Thiện

và các bạn trong lớp Toán K20

Trang 4

1 Miền nguyên chính:

1.1 Vành:

• ðịnh nghĩa 1: Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi trên R, kí

hiệu cộng và nhân, sao cho

i, ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z)

ii, ∀∃ 1 R ∈ R, ∀x ∈ R : 1 R x = x1 R = x

iii, ∀x ∈ R, ∃ x -1∈ R : x -1 1x = x x -1 = 1 R 4i, ∀ x, y ∈ R, x + y = y + x

5i, ∀ x, y, z ∈ R, (xy)z = x(yz)

6i, ∀ x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx

• ðịnh nghĩa 2: Một vành gọi là giao hoán nếu và chỉ nếu phép nhân của nó giao

hoán

1.2 Ideal và ideal chính:

• ðịnh nghĩa 1: Cho X là một vành, vành con A của X gọi là ideal trái ( phải ) nếu

nếu nó vừa là ideal trái, vừa ideal phải

• ðịnh lý 1: Tập con A của vành X ñược gọi là ideal trái (phải) của X khi và chỉ

khi thỏa mãn các ñiều kiện sau:

i)

ii)

iii)

• ðịnh nghĩa 2: Cho S là một tập con của vành X Giao của tất cả các ideal trái

(phải, hai phía) của X chứa S cũng là một ideal trái (phải, hai phía) nhỏ nhất chứa tập S, nên gọi là ideal trái (phải, hai phía) sinh bởi tập S

Ký hiệu: <S>

• ðịnh nghĩa 3: Ideal sinh bởi một phần tử {a} gọi là ideal sinh bởi phần tử a

Ký hiệu: <a>

Trang 5

• ðịnh nghĩa 4: Nếu tồn tại phần tử a sao cho ideal A=<a> thì ideal A gọi là ideal

chính

1.3 Ước của không, miền nguyên:

• ðịnh nghĩa 1: Vành R gọi là có ước của không nếu R có những phần tử

x≠ y≠ sao cho xy =0 Những phần tử x và y như thế gọi là những ước

của không

• ðịnh nghĩa 2: Ta gọi một vành giao hoán có ñơn vị, nhiều hơn một phần tử

không có ước của không là một miền nguyên

• ðịnh lý 1: Trong một miền nguyên, mọi phần tử khác không ñều thỏa mãn luật

giản ước ñối với phép nhân

Thật vậy, với

1.4 Miền nguyên chính:

• ðịnh nghĩa 1: Một miền nguyên X gọi mà một miền nguyên chính nếu mọi ideal

của X ñều là ideal chính

2 Mô ñun tự do

2.1 Môñun:

• ðịnh nghĩa 1: M ñược gọi là môñun trái nếu có một ánh xạ:

x Thỏa mãn các tính chất:

Kí hiệu: R-môñun trái M

R M gọi là môñun trái trên R

Trang 6

ðịnh nghĩa môñun phải tương tự, kí hiệu R -môñun phải

M x R → M (x,r) ֏ xr

Nếu R là vành giao hoán thì R-môñun trái trùng với R-môñun phải

Thông thường R-môñun trùng với R- môñun trái

2.2 ðồng cấu môñun, dãy khớp:

• ðịnh nghĩa 1: Cho M, N là các R- môñun Ánh xạ f : M → N ñược gọi là một ñồng cấu R- môñun nếu các ñiều khiện sau thỏa mãn:

i) f(x + y)=f(x) + f(y) ii) f(rx) = rf(x)

x y M r R

ðồng cấu f ñược gọi là ñơn cấu nếu f là ñơn ánh, là toàn cấu nếu f là toàn ánh, là ñẳng cấu nếu f là song ánh

Nếu có một ñẳng cấu f : M → N thì M ñược gọi là ñẳng cấu với N

Kí hiệu: M ≅ N

Nếu f : M → N là một ñồng cấu R- môñun thì ta có :

i) f(0) = 0 ii) f(-x) = -f(x), ∀ ∈x M

• Mệnh ñề 1: Cho f : M → N là ñẳng cấu R-môñun Suy ra f-1 : N → M là

ñẳng cấu

• Mệnh ñề 2: Cho f : M → N là ñồng cấu R-môñun Khi ñó:

i) Nếu H là môñun con của M thi f(H) là môñun con của N ii) Nếu K là môñun con của N thi f -1 (K) là môñun con của M

• Hệ quả 1: Cho f : M → N là ñồng cấu R-môñun Khi ñó:

i) Imf = f(M) là môñun con của N, ñược gọi là ảnh của f ii) Kerf = f -1 (0) là môñun con của M, ñược gọi là hạt nhân của f

• Mệnh ñề 3: Cho f : M → N là ñồng cấu R-môñun F là ñơn cấu khi và chỉ khi

Kerf = 0

• ðịnh nghĩa 2: N là môñun con của R-môñun M Môñun con N ñược gọi là

hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại môñun con P của M sao cho M = ⊕N P

Khi ñó P ñược gọi là môñun con phụ của N trong M

Trang 7

• ðịnh nghĩa 3: Một dãy các ñồng cấu R môñun

f i f i f i f i

gọi là khớp tại I nếu Im(fi-1)=Ker(fi)

Dãy trên gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi i

Dãy khớp:

0  → →  X f Y g→  Z → 0

gọi là dãy khớp ngắn

Ta thấy rằng dãy các ñồng cấu R-môñun

0  → →  X f Y g→  Z → 0

khớp thì X ≅ Im(f) và Z ≅Y Im(f)

Vậy dãy khớp là sự mô tả môñun con của một môñun và môñun thương của nó

• ðịnh nghĩa 3: Dãy khớp:

gọi là chẻ ra tại Y nếu Im(f) là một hạng tử trực tiếp của Y

Dãy khớp chẻ ra tại mọi môñun không nằm ở hai ñầu của nó ñược gọi là dãy khớp chẻ ra

Dãy khớp ngắn:

luôn chẻ ra tại X, Z

Vậy dãy khớp ngắn chẻ ra khi và chỉ khi nó chẻ ra tại Y

• Mệnh ñề 3: Dãy khớp:

 → →  X f Y g→  Z → 0

chẻ ra tại Y khi và chỉ khi Y =Im(f)⊕B với B≅ N

Chứng minh:

Khi) Vì Im(f) là hạng tử trực tiếp

Chỉ khi) Giả sử dãy khớp chẻ ra tạ Y

Khi ñó có môñun con B của Y sao cho Y = Im(f) ⊕B

Trang 8

Ta sẽ chứng minh B≅ N

Gọi h: B → Z, y֏g(y). Dể thấy rằng h là ñồng cấu R-môñun

và er(h)=BK ∩Ker(g)=B∩Im(f)=0 Ta phải chứng minh h là toàn cấu

Im( )

z Z g

∀ ∈ = ta có z = g(y), y ∈ Y

Do Y =Im(f)⊕ =B Ker(g)⊕Bnên

y = y1 + y2 , y1∈Ker(g), y2∈B

Suy ra z=g y( 1+y2)=g y( )1 +g y( 2)=g y( 2)∈Im( )h

• Hệ quả 2: Dãy khớp ngắn:

chẻ ra khi và chỉ khi Y ≅ ⊕ X Z

• Mệnh ñề 4: Cho hai ánh xạ f :X →Y và g Y: →Z là các ñồng cấu R-môñun Nếu gf là ñẳng cấu thì Y =Im(f)⊕Ker(g)

• Hệ quả 3: Cho dãy khớp:

 → →  X f Y g→  Z →

Nếu có ñồng cấu h Y: → X sao cho hf là ñẳng cấu thì dãy trên chẻ ra tại Y và

Im(f) Im (g)

Chứng minh:

:

hf X → X ñẳng cấu nên Y =Im(f)⊕Ker(g)

Do ñó dãy khớp chẻ ra tại Y

Xét dãy khớp:

→ → X f Y →Im( )g →0 chẻ ra tại Y

Theo mệnh ñề 3 ta có Y = Im(f) ⊕ B và B ≅ Im (g)

• Hệ quả 4: Cho dãy khớp:

→ → X f Y g→ Z →

Nếu có ñồng cấu sao cho gk là ñẳng cấu thì dãy trên chẻ ra tại Y và

Im(f) Im (g)

Y ≅ ⊕

Trang 9

2.3 Môñun tự do:

• ðịnh nghĩa 1: Cho R là một vành, S là tập hợp và X là R-môñun Một R-môñun

tự do trên S là một cặp (F,f) trong ñó F là R- môñun cùng với một ánh xạ

:

f S → F sao cho mọi ánh xạ g S: → X có duy nhất một ñồng cấu R-môñun

:

h F → X thõa mãn

Tức là sơ ñồ sau ñây giao hoán:

S f F

g h

X

Ví dụ:

1) O là R-môñun tự do trên tập ∅

2) Cho R là vành Suy ra R là môñun tự do trên {1 R }

• Mệnh ñề 1: Nếu (F,f) là R-môñun tự do trên S

là ñơn ánh

Và f(S) là một hệ sinh của R-môñun F

Chứng minh: Xét (F,f) là môñun tự do trên S và là ánh xạ

Giả sử f không là ñơn ánh, tức là ∃a b, ∈S sao cho a≠b mà ( )f a = f b( ) Lấy X là

môñun tự do có nhiều hơn một phần tử và g S : → X là ánh xạ sao cho g a( )≠ g b( )

Khi ñó theo ñịnh nghĩa trên tồn tại ñồng cấu R-môñun sao cho hf = g

Ta có f a( ) = f b( )⇒hf a( ) =hf b( )⇒ g a( )= g b( )⇒ f a( )≠ f b( ) Mâu thuẩn với giả thiết f a( )= f b( ), Suy ra f là ñơn ánh

S f F

g h

X

Lấy X=<f(S)> là môñun sinh bởi f(S) ⊂F

:

s ֏f(s)

Trang 10

Tồn tại ñồng cấu h F: → X sao cho hf=g

Xét ñồng cấu bao hàm

:

x ֏֏ x

Suy ra <f(S)> = F (Vì d vừa là toàn cấu vừa là phép nhúng)

• ðịnh nghĩa 2: R-môñun X ñược gọi là R- môñun tự do nếu X ñẳng cấu R- môñun

tự do trên S

i S

M

∈

⊕ là R- môñun tự do nếu { } Mi i S∈ là R-môñun tự do

i S

M

∈

⊕ tổng trực tiếp ngoài của họ các môñun con của R-môñun M { }M i i S∈

• ðịnh lý 1: Cho M là một R- môñun Tập con S chứa trong M có thể mở rộng thành

ñẵng cấu R- môñun h F: →M F là R-môñun tự do sinh bởi S

S →f F

i h

M

• ðịnh nghĩa 4: Cho M là một R-môñun, X là tập con của M Một tổ hợp tuyến tính

các phần tử X là một tổng hữu hạn n1 i i 0; i ; i ; 1,

i= r x = r ∈ R x ∈ X i = n

i

r = ∀ = 0; i 1 n Tập con X của M ñược gọi là ñộc lập tuyến tính

Một tập con của M ñược gọi là một cơ sở nếu nó là một hệ sinh ñộc lập tuyến tính

• ðịnh lý 2: Cho M là một R- môñun Tập con S chứa trong M khác rổng là một cơ

sở khi và chỉ khi ánh xạ bao hàm d S: →M ñược mở rộng thành ñẳng cấu

:

h F →M Với F là R-môñun tự do sinh bởi S

S →f F

d h

M

Trang 11

ðể chứng minh ñịnh lý trên ta cần chứng minh S là cơ sở của M khi và chỉ khi h ñẳng

cấu

ðiều kiện cần: Giả sử S là cơ sở của M

Khi ñó: h(F)=h(<f(s)>)=<hf(s)>=<d(s)>=<S>=M suy ra h toàn cấu

Mặt khác, φ ∈F, h(φ)=0, s

s S

h φ φ

∈

∑

s

f : S → R

t ֏

s

f (t)

trong ñó

Ta có:

(s)=0, s S

φ

Suy ra φ = 0 hay h là ñơn cấu Vậy h là ñẳng cấu

ðiều kiện ñủ: Giả sử h ñẳng cấu ðể chứng minh S là cơ sở của M ta cần chứng minh

S là một hệ sinh ñộc lập tuyến tính của M

Thật vậy, ta có:

1

,

0

n

i i i i

i i i i i i i si

n

i si i i

r f

=

∈

∑

Do ñó S là hệ ñộc lập tuyến tính

Trang 12

Mặt khác ∀ ∈ x M , ∃ ∈ φ F h : ( ) φ = x với s

s S (s)f

∈

=∑ Khi ñó:

s

x=h( )=h( φ φ (s)f ) φ (s)hf(s) φ (s) ( ) d s φ (s) s φ (s)=0

hầu khắp nơi

Do ñó: ∃ s s s1, 2, , ,3 sn sao cho :

( )

n

t

φ

∉



s S

∈

Vậy ñịnh lý ñược chứng minh

• Hệ quả 1: R-môñun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở

Ví dụ:

1 0 là R- môñun tự do với cơ sở ø

2 Vành R là R- môñun tự do với cơ sở là 1

3 Mỗi Z- môñun tự do gọi là nhóm aben tự do Mọi nhóm cylic cấp vô hạn là

aben tự do với cơ sở gồm một phần tử sinh, và ñều là ñẳng cấu với Z

• Mệnh ñề 2: Mọi cơ sở của một R- môñun hữu hạn sinh là hữu hạn

• Mệnh ñề 3: R- môñun M là tự do với cơ sở S khi và chỉ khi mỗi phần tử của S viết

ñược một cách duy nhất dưới dạng:

n

i i i i i

x = ∑= r x r ∈ R x ∈ M i = n

• ðịnh lý 3: Các ñiều sau tương ñương:

i) M là R- môñun tự do

ii) M = ⊕M M i, i ≅ R i, ∈I

Chứng minh:

Trước hết ta thấy rằng i) và ii) ñược thỏa mãn vởi M=0 ( khi ñó cơ sở của M là ø

và tập I= ø)

Trang 13

Vì vậy giả thiết M ≠ 0

i) ⇒ii) Giả sử X ={x i i, ∈I} là cơ sở của M Khi ñó ánh xạ

:

i R Rxi

r ֏ rxi

là toàn ánh

Từ tính chất của cơ sở suy ra rằng rxi=0 kéo theo r = 0, nghĩa là ϕi ñẳng cấu

Ta khẳng ñịnh rằng i,

I

M = ⊕Rx i∈I Thật vậy vì X là hệ sinh nên hiển nhiên

,

i

I

M = ⊕ Rx i ∈ I

Giả sử x j∈X ta có j ( i)

i j

a Rx Rx

≠

i j

a r x r x r R

≠

Từ ñó suy ra: i i j j 0

i j

r x r x

≠

Do tính chất của hệ ñộc lập tuyến tính ra suy ra ri = 0 với mọi hệ tử có mặt trong hệ thức

trên, nghĩa là: j ( i) 0

i j

≠

Bởi vậy theo ñịnh nghĩa của tổng trực tiếp ta có i,

I

M = ⊕ Rx i ∈ I

ii) ⇒i) Giả sử ϕi : R → Mi là các ñẳng cấu nói trong mệnh ñề Ta khẳng ñịnh rằng tập hợp {ϕi(1) /i∈I}là một cơ sở của M Thật vậy, do M i =ϕi( )R = Rϕi(1)nên

(1),

M = ⊕M = ⊕Rϕ i∈I

ðiều này chứng tỏ {ϕi(1) /i∈I} là hệ sinh của F

Nếu J ⊂I , J hữu hạn và i i(1) 0, i

J

rϕ = r ∈R

∑ thì kéo theo riϕi(1) = ϕi( ) ri = ∀ ∈ 0; i J

Do ϕi ñẳng cấu nên ri = 0 với ∀ ∈ i J Vậy { ϕi(1) /i∈I} ñộc lập tuyến tính, do ñó là

cơ sở của M

Trang 14

BÀI 1: Cho R là vành giao hoán sao cho mọi ideal của R ñều là một R-môñun tự do

Chứng minh rằng R là một miền nguyên chính

Lời giải:

• Trước hết ta chứng minh R là một miền nguyên:

,

a b R

∀ ∈ , giả sử ab = 0

Ta cần chứng minh hoặc a = 0 hoặc b = 0

Giả sử b ≠ 0 Khi ñó I =〈 〉b (ideal chính sinh bởi b) là một R-môñun tự do với một cơ

sở là S

Lấy x ∈ S x , ≠ 0 ta có x=rb ( Do I =〈 〉b )

Suy ra ax=a(rb)=r(ab)=0

Mà x∈S và S là một cơ sở của I nên ax = 0 kéo theo a = 0

Vậy R là một miền nguyên

• Ta chứng minh R là một miền nguyên chính:

Giả sử I là một ideal của R, ta cần chứng minh I là một ideal chính

Nếu I = 0 thì I = 〈 〉 0

Còn nếu I ≠ 0 thì theo giả thiết I là một môñun tự do với một cơ sở là S sao cho S ≠ 0

Ta sẽ chứng minh tập S chỉ có một phần tử

Giả sử S chứa 2 phần tử phân biệt là a và b

Khi ñó, từ ñẳng thức ba – ab = 0 ta suy ra a = b = 0

Mâu thuẫn với giả sử ban ñầu

Vậy I có một tập sinh chỉ chứa một phần tử, do ñó I là một ideal chính

Vậy miền nguyên R với mọi ideal I ñều là ideal chính nên r là miền nguyên chính

Trang 15

BÀI 2: Cho F là R-môñun tự do với cơ sở {e e e1, 2, 3, ,e n};

a = e a + e a + e a a ∈ R

1

n i i

=

= ∑

Cho e là phần tử lũy ñẳng, tức là e 2 = e

Chứng minh rằng những ñiều sau tương ñương:

i) A=eR

ii) Ra là một hạng tử trực tiếp của F, F ñẳng cấu với Re bởi a ↔ e

Lời giải:

Chứng minh i) ⇒ ii)

Ta có A = eR

Với F là R-môñun tự do với cơ sở { e e e1, , , ,2 3 en}và

1 1 2 2 n n, i

a = e a + e a + e a a ∈ R

Trước hết ta chứng minh Ra là mộ t h ạ ng t ử tr ự c ti ế p của F

Ta cần chứng minh Ra là một môñun con của M và tồn tại tập con B của M sao cho

F =Ra⊕B

Thật vậy:

ðặt e = ∑n i=1a ri i với ri ∈ R

Với ai∈ eR ta có e ai = ai

Với ϕ∈Hom F R( , Re) ñược ñịnh nghĩa bởi ( )ϕ e i =r e i

Với ψ ∈Hom R(Re, )F ñược ñịnh nghĩa bởi ( )ψ e i =ra

Trong ñó tập hợp Hom F R( , Re)là tập hợp tất cả các ñồng cấu từ F vào Re , và tập

(Re, )

R

Hom F là tập hợp tất cả các ñồng cấu từ Re và F

Với ψ là ñược ñinh nghĩa ñược cho nếu re = 0 thì ra i =rea i = ∀0, i

Do ñó ra = 0.

Trang 16

Do ñó ϕ là toàn ánh

ðặt B = K er( ) ϕ

Trong trường hợp ϕ ( ) a = e ñược ñịnh nghĩa là phép ñẳng cấu thì F = Ra ⊕ B hay

er( )

F =Ra⊕K ϕ

Do ñó Ra là hạng tử trực tiếp của F

Và Ra ≅ Re nên F ≅ Re bởi a ↔ e

Chứng minh ii) ⇒ i)

ðặt F = Ra ⊕ B

Và cho ánh xạ ϕ :Ra→ Re là một ñẳng cấu với ϕ( )a =e

Ta cho ϕ∈Hom F R( , Re) với ϕ( )B =0

Với ϕ( )e i =r e r i , i∈R

e=ϕ a =∑ = aϕ e ∈∑ = a R= A

Ta có eR⊂ A

2 (ea) e ( )a e e ( )a

ϕ = ϕ = = =ϕ

Suy ra :

ea = a

Re,

i i

a a e i

Do ñó Re = A

(ðiều ñã chứng minh)

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	244,53 KB