VỀ MÔĐUN TỰ DO TIỂU LUẬN BỘ MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NGỌC THẮNG VỀ MÔĐUN TỰ DO TIỂU LUẬN BỘ MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHAN VĂN THIỆN HUẾ, THÁNG 2 2012 Tóm tắt Tiểu luận này trình bày một số tính chất và ứng dụng của vành di truyền trái, được thể hiện trong Mệnh đề 30, Mệnh đề 31 Tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn đến TS Phan Văn Thiện, Thầy đã tận tình truyền đạt những kiến thức trong học phần Cơ sở đại số hiện đại và đã cho tác giả cơ hội tiếp cận các tính chất của vành di truyền.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN NGỌC THẮNG

VỀ MÔĐUN TỰ DO

TIỂU LUẬN

BỘ MÔN

CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS PHAN VĂN THIỆN

HUẾ, THÁNG 2-2012

Tóm tắt

Tiểu luận này trình bày một số tính chất và ứng dụng của vành di truyền trái,

được thể hiện trong Mệnh đề 30, Mệnh đề 31 Tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn đến TS Phan Văn Thiện, Thầy đã tận tình truyền đạt những kiến thức trong học

phần Cơ sở đại số hiện đại và đã cho tác giả cơ hội tiếp cận các tính chất của vành

di truyền

Trong tiểu luận này, ta chỉ xét các vành có đơn vị

một R-môđun trái nếu có một ánh xạ

(r, x) 7−→ rx

thỏa mãn

i) r(x+y) =rx+ry;

ii) (r+s)x =rx+sx;

iii) (rs)x =r(sx);

iv) 1x =x

∀r, s ∈ R, ∀x, y ∈ M, 1 là phần tử đơn vị của vành R.

Ta quy ước M là một R-môđun trái khi nói M là một R-môđun.

Nhận xét 2 Mọi iđêan trái I của vành R đều là một R-môđun với phép nhân vô

hướng

(r, i) 7−→ ri .

Định nghĩa 3 Cho M là một R-môđun Tập con N của M được gọi là một môđun

con của M nếu N là một nhóm con của nhóm cộng M thỏa mãn

rx ∈ N, ∀r ∈ R, ∀x ∈ N.

Nhận xét 4 Cho M là một R-môđun và I là một iđêan trái của vành R Khi đó

IM ={a1x1+a2x2+· · ·+a n x n :a i ∈ I, x i ∈ M, i= 1, n, n ∈ N}

là một môđun con của R-môđun M

Mệnh đề 5 Cho M là một R-môđun, S là một tập con của M Khi đó, giao tất cả

các môđun con của M chứa S là môđun con bé nhất của M chứa S.

Định nghĩa 6 Môđun con được xác định trong Mệnh đề 5 được gọi là môđun con

của M sinh bởi tập S, ký hiệu ⟨S⟩.

Nếu ⟨S⟩ =M thì S được gọi là hệ sinh của M

Định nghĩa 7 Cho M là một R-môđun, X là tập con của M Một tổ hợp tuyến

tính các phần tử của X là một tổng hữu hạn ∑n

i=1 r i x i , r i ∈ R, x i ∈ X, i = 1 n.

Phần tử x ∈ M được gọi là biểu thị tuyến tính qua các phần tử của X nếu x có

thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các phần tử của X.

Tập con X ⊂ M được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập con hữu hạn bao

gồm các phần tử phân biệt x1, x2, , x n của X có tổ hợp tuyến tính triệt tiêu

∑n

i=1 r i x i = 0 kéo theo r i = 0, i= 1, n.

Một tập con của M được gọi là một cơ sở nếu nó là một hệ sinh độc lập tuyến tính của M

đồng cấu R-môđun nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

f(x+y) =f(x) +f(y),

f(rx) =rf(x)

∀x, y ∈ M, ∀r ∈ R.

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nếu f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh tương ứng Nếu có một đẳng cấu f :M −→ N thì M được gọi là đẳng cấu

với N , ký hiệu M ∼=N.

∏

i ∈I

M i ={(x i)i ∈I :x i ∈ M i } cùng với phép cộng

(x i)i ∈I + (y i)i ∈I = (x i+y i)i ∈I , ∀(x i)i ∈I ,(y i)i ∈I ∈∏

i ∈I

M i

và phép nhân vô hướng

r(x i)i∈I = (rx i)i∈I , ∀r ∈ R, ∀(x i)i∈I ∈∏

i∈I

M i

làm thành một R-môđun.

∏

i∈I

M i

được xác định trong Mệnh đề 9 được gọi là tích trực tiếp của họ R-môđun {M i } i ∈I.

Định nghĩa 11 Cho {M i } i ∈I là một họ khác rỗng các R-môđun Phần tử(x i)i ∈I ∈

∏

i∈I

M i được gọi là có giá hữu hạn nếu có một tập hữu hạn J ⊂ I sao cho x i = 0, ∀i ∈

I \ J.

⨿

i ∈I

={(x i)i ∈I ∈∏

i ∈I

M i : (x i)i ∈I có giá hữu hạn }

là một môđun con của ∏

i ∈I

M i

⨿

i ∈I

được xác định trong Mệnh đề 12 được gọi là tổng trực tiếp (ngoài) của họ R-môđun

{M i } i ∈I.

Tập hợp

∑

i∈I

M i =

{

∑

i∈J

x i : x i ∈ M i , J ⊂ I, J hữu hạn

}

là một môđun con của M sinh bởi ∪

i ∈I M i

i∈I

M i được xác định trong Mệnh đề 14 được gọi là

tổng của các môđun con M i , i ∈ I.

Tổng∑

i ∈I

M i được gọi là tổng trực tiếp (trong) nếu M i ∩



j ̸=i

M j



= 0với mọi i ∈ I,

ký hiệu ⊕

i ∈I

M i

Định nghĩa 17 Một dãy các đồng cấu các R-môđun

· · · f i−2//M i −1 f i−1 //M i f i //M i+1 f i+1 //· · ·

được gọi là khớp tại i nếu Imf i−1 = Kerf i Dãy trên được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi i.

Dãy khớp

0 //X f //Y g //Z //0

được gọi là dãy khớp ngắn.

Định nghĩa 18 Dãy khớp

· · · //X f //Y g //Z //· · ·

được gọi là chẻ ra tại Y nếu Imf là một hạng tử trực tiếp của Y

Dãy khớp chẻ ra tại mọi môđun (trừ hai đầu) được gọi là dãy khớp chẻ ra Nhận xét 19 Dãy khớp ngắn

0 //X f //Y g //Z //0

luôn chẻ ra tại X và Z Do đó, dãy khớp ngắn chẻ ra khi và chỉ khi nó chẻ ra tại Y

Mệnh đề 20 Dãy khớp

· · · //X f //Y g //Z //0

chẻ ra tại Y khi và chỉ khi

Y = Imf ⊕ B với B ∼=Z.

Chứng minh.

i (Khi) Rõ ràng, vì Imf là hạng tử trực tiếp của Y

ii (Chỉ khi) Giả sử dãy khớp chẻ ra tại Y Khi đó, có một môđun con B của Y sao cho Y =Imf ⊕ B Ta sẽ chứng minh B ∼= Z.

Xét ánh xạ

y 7−→ g(y)

Dễ thấy h là một đồng cấu R-môđun và

Kerh= B ∩ Kerg =B ∩ Imf = 0.

Vậy h là một đơn cấu.

Với mọi z ∈ Z =Img, ta có z =h(y), y ∈ Y Vì

Y =Imf ⊕ B = Kerg ⊕ B

nên

y =y1+y2, y1 ∈ Kerg, y2 ∈ B.

Suy ra

z =g(y1+y2) =g(y1) +g(y2) =g(y2)∈ Imh.

Vậy h toàn cấu Từ đó B ∼=Z.

Định nghĩa 21 Cho R là một vành, S là một tập Một R-môđun tự do trên tập

S là một R-môđun F cùng với một ánh xạ f : S −→ F sao cho với mọi ánh xạ

g : S −→ X từ tập S vào R-môđun X, tồn tại duy nhất một đồng cấu R-môđun

h: F −→ X thỏa mãn hf =g.

S

g

f //F

h

~~~~~~~~

~~

X

Định nghĩa 22 R-môđun X được gọi là R-môđun tự do nếu X đẳng cấu với một

R-môđun tự do trên một tập S nào đó.

và chỉ nếu ánh xạ bao hàm i : S −→ M có thể mở rộng thành đẳng cấu R-môđun

h: F −→ M, với F là R-môđun tự do sinh bởi S.

Hệ quả 24 R-môđun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở.

Mệnh đề 25 Cho F là một R-môđun F là R-môđun với cơ sở S khi và chỉ khi

s∈S

Rs.

Chứng minh Với mỗi s ∈ S, xét ánh xạ

Rõ ràng φ s là một toàn cấu Với mọi r ∈ R, ta có

φ s(r) = 0 ⇒ rs= 0 ⇒ r = 0.

Suy ra, φ s là một đơn cấu, vậy φ s là một đẳng cấu

Vì S là cơ sở của F nên {Rs} s ∈S là một hệ sinh của F Suy ra

s ∈S

Rs.

Với mỗi t ∈ S, xét s ∈ Rt ∩ F = ∑

s ∈S,s̸=t

Rs Khi đó, có s1, s2, , s n ∈ S, s i ̸= t, i =

1, , n và r, r1, r2, , r n ∈ R sao cho

x=rt =

n

∑

i=1

r i s i ⇒ −rt+

n

∑

i=1

r i s i = 0.

Do S là cơ sở của F nên r =r1 =r2= .=r n = 0 Suy ra x= 0.

Vậy

s ∈S

Rs.

Ngược lại, ta có

Rs=φ s(R) =φ s(R.1) = Rφ s(1).

Suy ra

s ∈S

s ∈S

Rφ s(1).

Do đó {φ s(1)} s ∈S là hệ sinh của F và độc lập tuyến tính, hay S là cơ sở của F

Định nghĩa 26 R-môđun X được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu R-môđun

f :X −→ B và mọi toàn cấu R-môđun g :A −→ B, tồn tại một đồng cấu R-môđun

h: X −→ A thỏa mãn gh=f

X

f

h

~~~~

~~

A g //B //0

Định lí 27 Mọi R-môđun tự do đều xạ ảnh.

g :A −→ B là toàn cấu R-môđun Gọi S là cơ sở của X, i: S −→ X là ánh xạ bao

hàm

Với mọi s ∈ S, ta có f(s)∈ B Do g : A −→ B là toàn cấu nên có phần tử của A

gọi là j(s)sao cho g(j(s)) = f(s) Vì vậy, có thể xây dựng một ánh xạ

s 7−→ j(s) .

S

i

j

~~~~~~~~

~~~

X

f

h

~~~~

~~

A g //B //0

Do X là môđun tự do sinh bởi S nên ánh xạ j có thể mở rộng thành đồng cấu

R-môđun h:X −→ A, hi=j Ta sẽ chứng minh gh=f

Với mọi x ∈ X, do S là cơ sở của X nên

x =

n

∑

l=1

a l s l , a l ∈ R, s l ∈ S.

Khi đó

gh(x) =gh(

n

∑

l=1

a l s l) =

n

∑

l=1

a l gh(s l) =

n

∑

l=1

a l ghi(s l)

=

n

∑

l=1

a l gj(s l) =

n

∑

l=1

a l f(s l) =f(

n

∑

l=1

a l s l))

= f(x).

Định nghĩa 28 Một vành R được gọi là di truyền trái nếu mỗi iđêan của R là một

R-môđun xạ ảnh.

Định lí 29 (Kaplansky) Cho R là một vành di truyền trái Khi đó, mọi môđun con

A của R-môđun tự do F đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp các iđêan trái của R; hơn nữa, A là một môđun xạ ảnh.

Chứng minh Gọi {x k : k ∈ K} là cơ sở của R-môđun F Giả sử tập chỉ số K sắp

thứ tự tốt

Với mỗi k ∈ K, xét F k = ⊕

i<k

Rx i, khi đó ta có một dãy tăng {F k } k các môđun

con của F với F0 = 0 và F k+1 =F k ⊕ Rx k Mỗi phần tử a ∈ A ∩ F k+1 được biểu diễn

duy nhất dưới dạng a=b+rx k , với b ∈ F k , r ∈ R.

Ánh xạ

θ k : A ∩ F k+1 −→ R

b+rx k 7−→ r

là một đồng cấu và Kerθ k = A ∩ F k

Ký hiệu I k là ảnh của θ k , khi đó I k là một iđêan trái của R, vì thế là một R-môđun

xạ ảnh Từ đó, ta có dãy khớp ngắn sau chẻ ra

0 //A ∩ F k //A ∩ F k+1

θ k //I k //0

Do đó, tồn tại một môđun con C k của A ∩ F k+1 sao cho

A ∩ F k+1 = (A ∩ F k)⊕ C k và C k ∼=I k . (0.0.1)

Xét C là một môđun con của A sinh bởi ∪ k ∈K C k Vì F =∪ k ∈K F k nên mỗi phần

tử a ∈ A đều thuộc F k+1 nào đó Gọi µ(a)là số k nhỏ nhất sao cho a ∈ F k+1

Nếu C ̸= A thì tồn tại a ∈ A sao cho a /∈ C, suy ra {µ(a) : a ∈ A, a /∈ C} ̸= ∅,

suy ra tồn tại một phần tử nhỏ nhất j Lúc đó, tồn tại y ∈ A, y /∈ C sao cho µ(y) =j

và không có phần tử z ∈ A, z /∈ C sao cho µ(z)< j.

Vì y ∈ F j+1 ∩ A nên y = b+c, với b ∈ A ∩ F j và c ∈ C j Suy ra b=y − c, ta có

y / ∈ C mà c ∈ C nên b /∈ C Do đó b ∈ F j , mâu thuẫn với cách chọn j.

Vậy A=C.

Giả sử c1+c2+ .+c n = 0, c i ∈ C k i , k1 < k2 < < k n Khi đó c i ∈ F k i+1, suy ra

c1+c2+ .+c n−1=−c n ∈ A ∩ F k n−1+1∩ C k n ⊂(A ∩ F k n)∩ C k n

Theo 0.0.1 ta có c n = 0 và c1+c2+ .+c n −1= 0 Lặp lại các bước trên ta có

c1 = c2 = .= c n = 0.

Do đó A= ⊕

k ∈K

C k và mỗi C k đẳng cấu với một iđêan trái của R.

Mệnh đề 30 Cho R là một vành sao cho mọi iđêan trái trong R đều là R-môđun

tự do Khi đó, mọi mô đun con của R-môđun tự do đều là mô đun tự do.

Chứng minh Vì môđun tự do là xạ ảnh nên theo giả thiết R là vành di truyền trái.

Theo Định lý Kaplansky, mỗi môđun con M của R-môđun tự do đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp các iđêan của R Vì mỗi iđêan là tự do nên M là tự do.

Mệnh đề 31 Cho R là một vành và I là iđêan của R thỏa mãn I là R-môđun tự do

với cơ sở {b j : j ∈ A} Khi đó, nếu M là một R-môđun tự do với cơ sở {x i : i ∈ B} thì IM là R-môđun tự do với cơ sở {b j x i: j ∈ A, i ∈ B}.

i ∈B Rx i và I là iđêan của R nên

i∈B

IR · x i =⊕

i∈B

Ix i

Ta viết I =⊕

j ∈A Rb j, ta có

i ∈B



j ∈A

Rb j



j ∈A,i∈B

R · b j x i

Nếu r(b j x i) = 0với r ∈ R thì rb j = 0(vì Rx i tự do trên x i ), do đó r = 0(vì Rb jtự

do trên b j ) Suy ra R ·b j ·x i tự do trên b j x i Vậy IM tự do trên {b j x i : j ∈ A, i ∈ B}.

Tài liệu tham khảo

[1] T Y Lam, Exercises in Modules and Rings, Springer Science+Business Media,

LLC, 2007

[2] T Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag New York, Inc,

1999

[3] L R Vermani, An Elementary Approach to Homological Algebra, CRC Press

LLC, 2003

Email address: ngocthangpro@gmail.com

Tel: +841695377526

Typed by TEX