Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 ôn tập các dạng bài đã học và sưu tầm các ví dụ

Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diệnVí dụ 1:Tìm đạo hàm của tại điểm theo hướng pháp véctơ của đường tròn... Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt paraboloid bên trong mặt trụ Giải:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

Mục l c ụ

Sinh viên thực hiên: ………

Hoàn thành các chủ đề:……….

I: Bài làm từng thành viên………

II:Nội dung ………

Chủ đề 1:Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện

Chủ đề 2: Vi phân

Chủ đề 5: Tích phân bội ba

Chủ đề 6: Tích phân đường

Chủ đề 7 : Tích phân mặt

Chủ đề 8 : Chuỗi ( chuỗi số,chuỗi lũy thừa)

Danh sách các thành viên trong nhóm 7 (L21) :

+ Lê Hoàng Đức -MSSV: 2012991

+ Nguyễn Hữu Hạnh -MSSV: 2013095

+ Hồ Thanh Hải -MSSV: 2013066

+ Nguyễn Tấn Hào -MSSV: 2013053

+ Phan Anh Hào -MSSV: 2013055

Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện

Ví dụ 1: Cho f(x,y) = +2x+4xy, M(1;2) , Mo(3;5) Tìm đạo hàm

f tại M theo hướng với là vecto đơn vị của

Ví dụ 1: Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hang với giá P = 60 ₁

và P =75 Hàm chi phí C= Q ²+ Q ².Q ²+ Q ² Tìm các mức sản ₂ ₁ ₁ ₂ ₂lượng Q , Q doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại₁ ₂ ?

Vì và = -2 < 0 nên M( 15;30) là điểm cực đại

khi đơn vị sản xuất 15 đơn vị hàng hóa thứ nhất và 30 đơn vị hàng hóa thứ hai

Chuyển sang hệ tọa độ trụ

V được giới hạn bởi

Tìm phần diện tích mặt Parabolic có phương trình z =

Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện

Ví dụ 1:Tìm đạo hàm của tại điểm theo hướng pháp véctơ của đường tròn

Giải:

=> =>

Véctơ đơn vị

=>

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến

Ví dụ 1: Mỗi tuần, công ty A cung cấp cho thị trường Q đơn vị sản phẩm Nếu số lượng nhân công sử dụng bao gồm x công nhân lành nghề và y công nhân chưa lành nghề, số lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần là

Q (x, y) = 1350x + 360y + x y – x – y (đơn vị), 2 3 2

Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40 công nhân lành nghề và 65 công nhân chưa lành nghề Tốc độ này nói lên điều gì?

động và 800 triệu đồng cho vốn đầu tư Tốc độ này nói lên điều gì?

Ví dụ 1: Cho Ω là miền giới hạn bởi

Tính thể tích miền Ω (bỏ qua đơn vị tính)

Giải:

Mặt trên là mặt paraboloid:

Mặt dưới là mặt phẳng:

Hình chiếu của Ω lên Oxy là miền D:

Biến đổi trong tọa độ cực ta có:

Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt paraboloid bên trong mặt trụ

Giải:

Có: ;

Hình chiếu giao tuyến xuống Oxy: D:

Chuyển sang tọa độ trụ:

, trong đó V là vật thể giới hạn bởi:

, trong đó C là cung từ O(0,0) đến A(1,1) theo chiều kim đồng hồ.

Vì hợp với chiều dương của Oz một góc tù nên

Chủ đề 8:Chuỗi

Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Giải:

Xét

Vậy chuỗi phân kỳ

Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi

Xét X = -5:

Vậy miền hội tụ là (-1; 4)

STT:03Tên: Hồ Thanh Hải

MSSV : 2013066

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện

Ví dụ 1:Nhiệt độ T tại 1 điểm trong quả cầu kim loại tỉ lệ nghịchvới khoảng cách từ tâm cầu đến điểm đó, lấy tâm cầu là gốc tọa

độ Cho biết nhiệt độ tại điểm M(1,2,2) là 120 C Tìm tốc độ 0biến thiên của T tại M theo hướng đến điểm N(2,1,3) ?

Giải:

Ta có :T(x,y,z)=

Tại M(1,2,2) có nhiệt độ 120 C thì: T0

M(1,2,2)=120 C0 Suy ra =120 => c=360

Vậy T=

+=(1,-1,1); =(1,2,2)

Tốc độ biến thiên của T tại M theo hướng N là:

T’MN(M)==

Ví dụ 2: Nếu f(x,y)=x.,tìm tốc độ biến thiên của f tại điểm P(2,0) theo hướng từ P đến Q(,2) có tốc độ biến thiên cực đại theo hướng nào ?

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến

Ví dụ 1:Mỗi tuần, công ty A cung cấp cho thị trường Q đơn vị sản phẩm Nếu số lượng nhân công sử dụng bao gồm x công nhân lành nghề và y công nhân chưa lành nghề, số lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần là

Q (x, y) = 1350x + 360y + x y – x – y (đơn vị), 2 3 2

Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40 công nhân lành nghề và 65 công nhân chưa lành nghề Tốc độ này nói lên điều gì?

=

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z= ;z= ?

Giải:

-Khi mặt phẳng giới hạn bởi 2 mặt thì ta tìm hình chiếu D của

nó xuống mặt phẳng z=0 bằng cách khử z của 2 phương trình 2 mặt:

Ví dụ 2: Tính tích phân bội ba I= với E là vật thể giới hạn

Ta có: phương trình đoạn thẳng nối hai điểm O(0,0) và A(1,1) là y=x Tại x =0; xO A=1

Ta được tích phân sau:

I=.dt

=+2

Chủ đề 7:Tích phân mặt

Ví dụ 1:(Tích phân mặt loại 1) Tính diện tích S của phần mặt

Gọi S1, S2 là các nửa mặt cầu ứng với z ≥ 0 và z ≤ 0.

Vậy chuỗi đã cho là chuỗi phân kỳ

Ví dụ 2:(Chuỗi lũy thừa) Tìm tổng chuỗi hàm: ?

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện

Ví dụ 1:Nhiệt độ tại điểm được cho bởi

trong đó T được tính bằng và được tính bằng mét

điểm

c) Tìm tốc độ tăng tối đa tại

Giải

Ta có:

a) Vector đơn vị:

Tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại điểm theo hướng tới điểm là:

c) Tốc độ tăng tối đa tại P:

Ví dụ 2:Cho hàm số có đồ thị là mặt cong S Tìm điểm A trên mặt S sao cho mặt phẳng tiếp diện tại A vuông góc với đường thẳng d: , ,

Giải

Đường thẳng d có vector chỉ phương là

Vector pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện tại điểm là Mặt phẳng tiếp diện tại A vuông góc với đường thẳng d cùng phương

Chủ đề 3: đạo hàm của hàm nhiều biến

Ví dụ 1:Giả sử hàm số có đạo hàm tại điểm (1, 0, 2) với , và Nếu , , , tìm tại

Giải

Ví dụ 2:Nhiệt độ của một đĩa kim loại mỏng đặt trên mặt phẳng Oxy tại mỗi điểm có tọa độ (x, y) cho bởi Tính và cho biết sự thay đổi của nhiệt độ của đĩa kim loại này từ điểm (0, 1) theo

Ví dụ 2:Tính thể tích của vật thể như hình bên dưới:

Giải

Đặt ; ;

Ví dụ 4:Tính công sinh bởi lực dọc theo cung AB:

Ta có công sinh ra:

Ví dụ 2:Tính tích phân , trong đó S là phần mặt trụ , bị chắn bởi các mặt , , lấy phía trên theo hướng

Vậy chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn D’Alambert

Ví dụ 2:Tìm miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa

Giải

Khoảng hội tụ:

* Tại :

Chuỗi phân kì (do không xác định)

* Tại :

Chuỗi phân kì (do không xác định)

Vậy miền hội tụ

STT: 05Tên:Trần Công Hiển

MSSV: 2013188

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện

Giải tích vectơ: Hiểu Gradient

Gradient là một từ ưa thích để chỉ đạo hàm, hoặc tốc độ thay

đổi của một hàm Đó là một vectơ (hướng di chuyển)

Các điểm theo hướng tăng nhiều nhất của một hàm (trực giác về

Ví dụ: Giả sử chúng ta có một cái lò thần kỳ, với tọa độ được ghitrên đó và một màn hình hiển thị đặc biệt

Chúng ta có thể nhập 3 tọa độ bất kỳ (như “3,5,2 ″) và màn hình hiển thị cho chúng ta gradient của nhiệt độ tại điểm đó.

Gradient tại bất kỳ vị trí nào đều hướng theo hướng tăng lớn nhất của một hàm Hãy nhớ rằng gradient không cung cấp cho chúng ta tọa độ của nơi cần đến; nó cho chúng ta hướng di chuyển để tăng nhiệt độ của chúng ta

song song với trục Oz  = k(0, 0, 1)  x = −1, y = 0 Vậy M(-1,0,-1).

Chủ đề 2: Vi phân

Khái niệm: Trong toán học, vi phân là một nhánh con của vi tíchphân liên quan đến nghiên cứu về tốc độ thay đổi của hàm số khibiến số thay đổi Đây là một trong hai nhánh truyền thống của vi tích phân, cái còn lại là tích phân, nghiên cứu về diện tích nằm bên dưới một đường cong

Ứng dụng : Vi phân có các ứng dụng cho gần như tất cả các ngành định lượng Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm của sự dịch chuyển của vật chuyển động theo thời gian là vận tốc của vật thể

và đạo hàm của vận tốc đối với thời gian là gia tốc Đạo hàm của động lượng của một cơ thể đối với thời gian bằng với lực tácdụng lên cơ thể; sắp xếp lại tuyên bố phái sinh này dẫn đến phương trình nổi tiếng F = a liên quan đến định luật chuyển m

động thứ hai của Newton Tốc độ phản ứng của một phản ứng hóa học là một đạo hàm Trong nghiên cứu hoạt động, các công

cụ phái sinh xác định các cách hiệu quả nhất để vận chuyển vật liệu và thiết kế nhà máy

Ví dụ về bài toán thực tế: Tốc độ gia tăng dân số của một thị trấn tỉ lệ thuận với số người dân ở đó tại thời điểm Dân số ban t.

đầu là 500, tăng 15% sau 10 năm Hỏi dân số sau 30 năm sẽ là bao nhiêu? Tốc độ gia tăng dân số tại =30 là bao nhiêu?t

Vậy tốc độ gia tăng dân số tại t = 30:

Q(x, y) = 1200+ 500+ − − (đơn vị)

Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 30 công nhân lành nghề và 60 công nhân chưa lành nghề Tốc độ này nói lên điều gì?

Giải

Tốc độ cung ứng sản phẩm theo số công nhân lành nghề là (30, 30)

(30, 60) = 2100 (đơn vị/người) nói lên:

Tại thời điểm này, khi tăng thêm 1 công nhân lành nghề, số sản phẩm tăng thêm 2100 đơn vị

Chủ đề 4:Ứng dụng hình học của tp kép

VD(Câu2, Ca 2, HK192):

Cho Ω là miền giới hạn bởi 3 mặt cong: + = 9,z=và

z = 9 + Tính thể tích miền Ω (bỏ qua đơn vị tính).

Giải

với D:

Chủ đề 5: Tích phân bội ba

Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục có chiều chạy về phía x

người quan sát:

Ví dụ 1: Tính tích phân:

Trong đó E là vật thể được giới hạn bởi z= , z= ,

Giải

Mặt phẳng phía trên: z = 2+Mặt phía dưới z =

Hình chiếu của E xuống Oxy: D: , Cận của D:

0 ≤ ρ ≤ 1

 Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn, vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu

Ví dụ 3: Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi y=, y + z =1, z

= 0

Giải

0 ≤ t ≤

Vậy:

Ta có:



í D ụ 2 ( loại 2): Tính tích phân đường loại 2

với A(0,0), B(1,1) Cung AB là đường:

a) Với AB: y = x, 0 ≤ x ≤ 1

  2 1

Với mặt nón S1:

 ds= =

Với mặt đáy S2: z= 1, ds= dxdy nên:

Do đó miền hội tụ của chuỗi là X = [−1,1).

STT: 06Tên :Phan Anh Hào

MSSV:2013055

Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện.

Câu 1: (Vector Gradient) Cho hàm zf x y( , )có các đạo hàm riêng liên tục vàcác điểm A(1,1), B(4,1), C(1,0), D(4,5) Cho biết tại điểm A, đạo hàm của hàm

f theo hướng vecto AB là 4 và theo hướng vecto AClà 7 Tính đạo hàm tại A củahàm f theo hướng vecto AD.

x y z

x y z

sự thay đổi của chiều rộng x.

A Tăng 0.1 mét B Giảm 0.1 mét C Giảm 0.3667 mét D.Tăng 0.3667 mét

<=>  x 0.1 0 

Vậy chiều rộng x giảm 0.1 mét => Chọn B

Chủ đề 3: Đạo hàm của hàm nhiều biến:

Câu 1: Các giàn khoan dầu được đặt tại 3 địa điểm tương ứng với các tọa độA(-3;0), B(-1;2), C(0;0), đơn vị tính theo trăm mét Tìm vị trí đặt trạm bảodưỡng M(x,y) sao cho tổng bình phương khoảng cách từ trạm đến các giànkhoan là bé nhất

3

M 

8;13

Câu 1: Tìm khối lượng m của bản phẳng D được giới hạn bở

2 , 4 , , 0,

y x x y  x y x x  biết hàm mật độ tại mọi điểm trên D là

1 ( , ) 2

x y

Bỏqua đơn vị tính của khối lượng, chọn đáp án đúng:

y t z

Câu 2: (Loại 1) Tính tích phân S

Câu 4: (Loại 2) Tính tích phân S3 3

Ixdydz ydzdx zdxdy

, trong đó S là mặt phíangoài của phần mặt paraboloid z  9 x2 y2 lấy phần z 0

Ví dụ 2: Chuỗi lũy thừa

Bài: Tìm chuỗi Taylor trong lân cận x=2

STT: 07 Tên:Đỗ Hữu Trung Hiếu

MSSV:2013138

Chủ đề 1:Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện

1.1 Cho hàm f x y z , , y z2 2 x2  3xz 2y z  5. Chứng minh rằng hướng tăng nhanh nhất của hàm f khi đi qua M  1,2,2

trùng với u   4,7,9  Tìm tốc độ biến thiên của hàm f theo hướng này

1.2 Cho mặt cong có phương trình S z x y 2 25x3 2xy23y1 Tìm pháp vector của tại S M1, 1, 10    và viết phương trình tiếpdiện của tại S M

 Phương trình tiếp diện của S tại M

Bài Làm

Chủ đề 3: Đạo hàm của hàm nhiều biến

Ví dụ 1:Mô ›t thí nghiê ›m đo sự đô ›c hại của khí Formaldehyd được ghi lại trong bảng bên dưới Với Pf t c( , )là phần trăm số chuô ›t còn sống sau khi bị ảnh hưởng bởi khí Formaldehyd nồng đô › c (parts per million, ppm) sau t tháng

x=rcos , y=rsin , dxdy=rdrd

6.1. Giao tuyến của của mặt cầu và mặt trụ

1 4

P x y

x y x

3 3

5

3 3

2

3 3

0 1 1

4sin 2cos 2cos 1

phần mặt nón z x2y2ứng với 0.5  z 4.Tính khối lượng phễu, biết mật dộ tại điểm x y z, ,  trên mặt nón là:

7.1. Phễu có dạng hình nón z x y được giới hạn bởi mặt phẳng dưới z 0.5 và mặt phẳng trên z 4

Lấy cả mặt phẳng S1 khi đó S S 1 tạo thành một mặt kín của

Chủ đề 1:Vectơ Gradient,mặt phẳng tiếp diện

Ví dụ 1 : Đặt một đĩa phẳng kim loại trong một hệ trục tọa độ Oxy Nhiệt độ tại mỗi điểm trên đĩa được cho bởi công thức T(x, y) = x2 xy2 Trên đĩa có 1 hạt tìm nhiệt được thiết kế để luôn di chuyển theo hướng nhiệt tăng nhanh nhất Khi đặt hạt tại điểm M(1, 2), nó sẽ di chuyển theo hướng nào?

Giải:

Vậy phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt trụ paraboloid

3 ''

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến( BT thực tế)

Ví dụ 1: Một cái hộp có chiều dài (m), chiều rộng (m) và x y

chiều cao (m) Tại một thời điểm xác định, = 3(m) và = = z x y z

2 (m), và tăng với tốc độ 2 (m/s) trong khi giảm với tốc độ y z x

1 (m/s) Tại thời điểm

đó, tốc độ biến thiên của thể tích là

Giải:

Gọi là V là thể tích của hộp Vxyz

Ví dụ 2: Chỉ số cảm nhiệt (C ) được mô hình hóa bởi hàm số W(T,v) 13,12 0,6215T 11,37 v    0,16 0,3965Tv0,16

trong đó T là nhiệt độ môi trường (0C ) và v là tốc độ gió (km/h) Khi T = 300C và v = 30 (km/h), chỉ

Vậy khối lượng của bản phẳng D là 11,25

Ví dụ 2:Tính diện tích phần hình tròn x2 y2  2x giới hạn bởi 2 đường   x y x

Giải:



Chủ đề 5:Tích phân bội ba

Ví dụ 1:Câu 2-Ca 2-Đề thi CHK 192

Cho Ω là miền giới hạn bởi 3 mặt cong :x2 y2  9,z x2020 y2022  1

và z  9 x2020 y2022  1 Tính thể tích miền Ω (bỏ qua đơn vị tính)

( sin cos ) ( sin sin ) ( cos ) 4 cos

3 2

4

4 3 sin

Ví dụ 1:Câu 4-Ca 3-Đề thi CHK192

Trong 1 lần thử nghiệm máy bay mô hình,do lỗi thiết bị điều khiển,máy bay bay được 10s thì chạm vào tường và rơi

xuống.Chuyển động của máy bay được mô tả bởi phương trình tham số

x(t) = 0 , y(t) = t - 3sint , z(t) = 4 - 3cost

Trong đó x(t),y(t),z(t) tính theo mét (m) ,và t tính theo giây (s) Tính độ dài đường bay của máy bay trong lần thử nghiệm này

Vậy độ dài đường bay của máy bay trong lần thử nghiệm này là 31,34 mét

Ví dụ 2:Câu 3-Ca 1- Đề thi CHK 182

Cho miền phẳng D: x2 y2  4,x 1 và C là biên định hướng dương

( 1)

C

x dy ydx I

(1 1).1 0 01

t t

Một cái phễu bằng kim loại mỏng có hình dạng là một phần mặt nón z x2 y2 ứng với 0,5 z 4   Tính khối lượng phễu,biết mật độtại điểm ( , , )x y z ứng với  ( , , ) 14x y z   x 2z bỏ qua các đơn vị tính.

Ví dụ 2:Câu 6-Ca 2-Đề thi CHK 192

Cho ( )S là mặt cầu x2 y2 z2  9 ,biết ( )S được định hướng ra phía ngoài.Tính tích phân mặt

x y z   9 ( sin cos )     ( sin sin )     ( cos )       9 0  3

Chiếu Ω lên Oxy ta được hình tròn x 2 y2  9    0  2 

Ví dụ 1:Câu 8-Ca 3-Đề thi CHK 192

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

1 2 1

2 ( 1)

4 1

n n

n n

2 ( 1)

4 1

n n

n n

hội tụ theo tiêu chuyển Leinitz

Ví dụ 2:Xét sự phân kì ,hôi tụ của chuỗi

2

n n

n e n