45 xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh THPT

Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này được ứng dụng giải quyết một sốbài toán sau: + Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chất lượng cao 2022 ĐHCN-ĐHQG

sáng kiến: Xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo Euler”

nhằm phát triển năng lực giải toán Tổ hợp - Xác suất của học sinh THPT.

4.1 Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ

Trong chương trình toán THPT các bài toán đếm và xác suất luôn là các bài toánkhiến đa số học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng

Xét bài toán nổi tiếng trong toán học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler”

“Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo cho k em bé”

Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này được ứng dụng giải quyết một sốbài toán sau:

+ Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chất lượng cao 2022) (ĐHCN-ĐHQGHN)

(2021-Alice vừa đoạt giải quán quân trong một kì thi lập trình danh giá Ban tổ chức

trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp trên một hàng dài và trong n hộp đó có k hộp có quà đặc biệt Alice được phép chọn ra đúng k hộp và lấy tất cả quà trong k hộp

đã chọn Ban tổ chức cho Alice biết rằng, không có hai hộp quà đặc biệt nào được xếp

cạnh nhau Nhằm tăng xác suất chọn được cả k hộp quà đặc biệt Alice quyết định sẽ chọn k hộp quà mà không có hai hộp nào cạnh nhau.

Yêu cầu: Cho hai số nguyên dương n và k Gọi C là số cách chọn k hộp mà không có

hai hộp nào đứng cạnh nhau trong dãy n hộp, hãy tính C%(10^9+7)(trong đó % là phép

toán chia lấy dư)

+ Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 – 2021 (VMO)

Bài 6: Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau

khi chia có thể có hộp không có viên bi nào)

a Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhaunếu có một hộp có số bi trong hau cách chia là khác nhau)

+ Trích đề tham khảo kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020

Câu 39 Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang Xếp ngẫu nhiên 6 học

sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó,

sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh họcsinh lớp B bằng:

2

1 5

+ Một số bài toán khác

- (Bài toán liên quan vấn đề trồng rừng) Ông An trồng 3 cây lim, 4 cây long

não và 5 cây xà cừ trên một hàng một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có 2 cây

xà cừ nào được trồng cạnh nhau?

- (Bài toán bầu cử): Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được a phiếu bầu,

ứng cử viên B được b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có baonhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số phiếu bầu?

- (Bài toán mua vé): Có m + n m n  người đang đứng quanh quầy vé, trong đó

có n người chỉ có tiền 5.000 và m người chỉ có tiền 10.000 Đầu tiên ở quầy không có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có bao nhiêu cách xếp m + n người thành một hàng để không

một người nào phải chờ tiền trả lại?

Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài toán trên, chúng tôi nhận thấy một số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội dung các đề thi cũng như ưu, nhược điểm của các giải pháp trong dạy và học để giải quyết các bài toán trong nội dung này.

 Các bài toán nêu trên đều ở mức vận dụng và vận dụng cao có nội dung thựctiễn, xuất phát từ những vấn đề trong thực tế Điều này phù hợp với cách tiếp cậnchương trình PT mới 2018 nhằm phát triển năng lực giải quyết tình huống

 Để giải quyết các bài toán cần sử dụng toán nền tảng (kiến thức chương IIĐS&GT 11 Tổ hợp – Xác suất theo chương trình hiện tại và còn được trang bị trong nộidung chương trình cả 3 khối 10,11,12 theo chương trình GDPT mới 2018) và sử dụngphương pháp tư duy được đề cập đến trong bài toán “Chia kẹo Euler”

 Sách giáo khoa viết còn mang tính hàn lâm: các bài tập chỉ chủ yếu dừng lại

mức nhận biết và thông hiểu; trong khi nội dung này được đề cập đến trong các đề thiđại học ; thi THPT Quốc gia trước đây (bây giờ là kì thi tốt nghiệp THPT); thi học sinh

giỏi tỉnh, quốc gia; thi kiểm tra đánh giá năng lực của các trường Đại học…có cả mứcvận dụng và vận dụng cao Mặt khác các bài tập được đề cập trong sách giáo khoa cũngkhông được phân chia theo dạng và định hướng các phương pháp tư duy cho học sinh

 Sách tham khảo; nguồn tài liệu trên mạng Internet…hầu như không đề cập đến

một cách hệ thống các bài toán theo phương pháp tư duy được trình bày trong lời giảibài toán “Chia kẹo Euler” mà chỉ xuất hiện rải rác

 Vấn đề dạy học của giáo viên:

Khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung tổ hợp xác suất giáo viên gặpphải rất nhiều khó khăn trong việc định hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lờigiải cho bài toán, chia các dạng toán sao cho hợp lý nhất Thông thường đa số giáo viênchỉ dạy sao cho học sinh nắm được càng nhiều bài càng tốt, để từ đó khi đi thi gặp bàiquen thuộc là có thể làm được Hoặc nếu có định hình chia dạng để dạy cho học sinh thìcũng chỉ là chia theo đặc điểm của đối tượng tham gia vào bài toán (đếm người; đếm đồvật; đếm hình học…), mà rõ ràng trong mỗi dạng đó có rất nhiều cách tư duy để giải

quyết (đa dạng phương pháp trong cùng một dạng) Điều này hạn chế tính logic trong việc xâu chuỗi các bài toán trong cùng một cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh phải ghi nhớ rất nhiều phương pháp giải trong cùng một dạng toán Từ đó không phát huy được tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán.

 Vấn đề học của học sinh:

Đa số học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động, lười tư duy tìm tòi và sángtạo; khả năng tự học chưa cao Do đó, khi tiếp cận bài toán thuộc nội dung này tuy rằng

có thể hiểu được lời giải nhưng khả năng vận dụng để giải quyết các bài toán khác cònhạn chế do chưa hiểu rõ phương pháp tư duy

4.2 Giải pháp mới:

- Sáng kiến được hình thành theo dạng một chủ đề dạy học (Phụ lục 2), cung cấp

các dạng bài tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn:

+ Vận dụng kết quả của bài toán “Chia kẹo Euler” (Dạng 1 đến dạng 6) + Vận dụng tư duy của lời giải bài toán “Chia kẹo Euler” đó là tư duy

“vách ngăn”

cùng với đó là các phương pháp dạy học đổi mới phát triển năng lực của học sinh.

- Hệ thống lý thuyết được trình bày một cách cô đọng và ngắn gọn nhất

- Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệ thống, có phân chia các mức độ,quá trình hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìm lời giảitrên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặp cácbài toán lạ

- Bài tập được thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện chohọc sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân

* Nội dung giải pháp trong sáng kiến (Phụ lục 1)

Có thể được tóm tắt như sau:

- Phần thứ nhất: Cung cấp lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của đại số tổ

hợp và xác suất

- Phần thứ hai: Giới thiệu nội dung bài toán “chia kẹo Euler”, cách giải và các kết quả.

- Phần thứ ba: Xây dựng một số dạng toán thường gặp vận dụng kết quả và cách tư duy

của bài toán “chia kẹo Euler”, cụ thể gồm 7 dạng:

+ Dạng 1: Đếm số nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm.

+ Dạng 3: Đếm số.

+ Dạng 4: Đếm số tập con.

+ Dạng 5: Đếm hình học.

+ Dạng 6: Lưới tọa độ.

+ Dạng 7: Các bài toán vận dụng “tư duy vách ngăn”.

- Phần thứ tư: Hệ thống bài tập vận dụng dưới hình trắc nghiệm.

- Phần thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức

giúp học sinh nắm được bài và vận dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống có liênquan trong quá trình học tập

Như vậy: Giải pháp mới đã giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trình học

tập Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, khôngphải nhớ quá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, không phải tốn kém trong quá trìnhmua tài liệu tham khảo Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tựchủ động tìm lời giải độc lập cho một bài toán dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn Do

đó học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài toán không phải áp đặt theo mộtkhuôn mẫu định sẵn

Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinhđược học ngay trên lớp Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướngban đầu khiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận Việc vận dụng một cáchphù hợp vào từng bài toán cụ thể luôn tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc vớihọc sinh Các bài tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đã xuất hiệntrong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gầnđây nhưng được tiếp cận một cách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rất gần gũi vớimức độ suy luận của các em học sinh.

5 Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

5.1 Hiệu quả về kinh tế:

+ Tài liệu in ấn giá thành thấp

+ Học sinh có thể tự học và tự nghiên cứu tài liệu do đó tránh được việc học thêmgây lãng phí và tốn kém

5.2 Hiệu quả xã hội

+ Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành Sáng kiến tập

trung vào việc phân tích tư duy giúp học sinh tìm lời giải Hệ thống ví dụ và bài tậpmang tính sáng tạo, đáp ứng được yêu cầu về đổi mới Bài tập được xây dựng kết hợpgiữa tự luận và trắc nghiệm; đặc biệt bài tập tự luyện chỉ xây dựng dưới hình thức trắcnghiệm phù hợp với tình hình thi cử hiện tại Các bài toán trong đề thi đại học trướcđây; đề thi tốt nghiệp THPT trong những năm gần đây; đề thi HSG tỉnh và quốc gia vàcác đề ĐGNL của các trường ĐH sử dụng cách định hướng tư duy của giải pháp có thểgiải quyết một cách dễ dàng

+ Hình thành các phẩm chất năng lực của học sinh, phù hợp với các yêu cầu

của chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập Phát huyđược sự hứng thú và niềm đam mê trong học tập Từ đó tự tin tham gia các kì thi kiểmtra định kì hoặc các cuộc thi học sinh giỏi;

+ Tính kết nối và chia sẻ: Thông qua trao đổi và chia sẻ sáng kiến này với các

giáo viên trong trường cũng như các đơn vị khác đã giúp giáo viên trong việc dạy họctheo phương pháp mới, xác định được các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên sửdụng như tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều côngsức trong việc soạn bài, chuẩn bị bài lên lớp Đặc biệt, giúp giáo viên có được một sốdạng toán hay để có thể áp dụng trong quá trình biên soạn đề thi Trong nhóm tác giảcủa sáng kiến, đều từng là thành viên ban soạn thảo đề thi của Sở; ngân hàng đề thi của

Sở và có người tham gia ban soạn thảo đề của Bộ

+ Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh khi học tập và nghiên

cứu cần đề cao phương pháp tư duy và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết cácvấn đề thực tiễn

Đặc biệt, khi ứng dụng sáng kiến trong môn Toán tại trường THPT Kim Sơn A,huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau:

(01 giải Nhất, 02 giải Nhì)

Số lượng học sinh được

nhận giải thưởng Đinh

Điểm trung bình môn

Toán trong kì thi tốt

nghiệp THPT

ĐTB môn Toán là 8,32 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,22 ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,68)

ĐTB môn Toán là 8,15 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,06 ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,61)

Khi ứng dụng sáng kiến trong môn Toán tại trường THPT Yên Mô A, huyệnYên Mô , tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau:

giải Khuyến Khích)Số lượng học sinh

được nhận giải thưởng

Đinh Bộ Lĩnh do có

kết quả cao trong kỳ

thi THPT Quốc gia

08 học sinh

(Có tổng điểm ba môn của các khối thi

truyền thống trên 27,25 điểm).

12 học sinh

(Có tổng điểm ba môn của các khối thi

truyền thống trên 27,00 điểm).

Điểm trung bình môn

Toán trong kì thi tốt

nghiệp THPT

ĐTB môn Toán là 7,83 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,22 ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,68)

ĐTB môn Toán là 7,64 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,06 ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,61)

Các kết quả nổi bật khác:

- Trong nhóm tác giả, có thầy Doãn Huy Tùng giáo viên Toán THPT KimSơn A trong hai năm học gần đây dạy đội tuyển HSG Toán lớp 12 đều có học sinh đạtgiải Nhất kì thi chọn HSG lớp 12 cấp tỉnh

- Các thầy cô trong nhóm tác giả đều là những người hướng dẫn và giảngdạy trực tiếp bộ môn Toán cho em Nguyễn Thị Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trườngTHPT Kim Sơn A đạt vòng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnhOlympia” năm thứ 20

- Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 môn Toán, trở thành thủ khoa của tỉnh Ninh Bình

ở 2 khối thi là B và D07

6 Điều kiện và khả năng áp dụng:

6.1 Điều kiện áp dụng:

- Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trình hiện hành; sau này cả lớp10,11,12 THPT và học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới)

- Kiến thức nền tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT

6.2 Khả năng áp dụng:

+ Đáp ứng nhu cầu dạy học của giáo viên: đổi mới phương pháp dạy học tích cựcnhằm phát triển năng lực phẩm chất (Do giải pháp được trình bày dưới dạng một chủ

đề dạy học)

+ Đáp ứng cho nhiều đối tượng học sinh, phát triển năng lực giải quyết vấn đềthực tiễn của học sinh cũng như nâng cao khả năng tư duy

+ Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hiện hành và CT GDPT mới 2018;

xu thế ra đề thi trong các kì thi quốc gia; kì thi ĐGNL…

+ Trong tình hình dịch bệnh như hiện nay, việc dạy và học có thể phải tiến hànhtheo hình thức trực tuyến Khi đó rõ ràng việc tương tác giữa thầy và trò có hạn chếhơn, yêu cầu với người học cũng cao hơn ở tính tự giác và tìm tòi Vì vậy, càng thấyđược tính khả thi của giải pháp được đề cập đến

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

Ninh Bình, tháng 05 năm 2021

ĐẠI DIỆN NHÓM TÁC GIẢ

Doãn Huy Tùng

PHỤ LỤC 1

Phần 1 MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn tập cho các lớp và ôn thi học sinh giỏi tại 02 nhà trường THPT Kim sơn A và THPT Yên Mô A Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đã đưa vào các phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn.

Nội dung sáng kiến được nhóm tác giả xây dựng thành các dạng toán thường gặp trong đó vận dụng kết quả và tư duy lời giải của bài toán “chia kẹo Euler”, ở mỗi dạng được thiết kế theo cấu trúc:

Ví dụ – Lời giải – Nhận xét, hướng suy luận và tư duy.

Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy còn là tư liệu để các

em học sinh tự học một cách tốt nhất Các em học sinh có thể đọc lời giải và các hướng dẫn suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bài tập được trình bày trong sáng kiến.

Phần 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VẬN DỤNG KẾT QUẢ VÀ TƯ DUY LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER”

2.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

2.1.1 Hai quy tắc đếm cơ bản

Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là n A  hoặc A.

2.1.1.1 Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

+ Quy tắc cộng còn được mở rộng đối với các tập hợp hữu hạn, có giao khác rỗng Có

thể chứng minh được rằng, với hai tập hợp hữu hạn A và B bất kì, ta có:

,

A B  A B  A B (quy tắc bao hàm và loại trừ)

Hoặc với 3 tập hợp hữu hạn A,B,C ta có:

.

2.1.1.2 Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Chú y: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho công việc được hoàn thành bởi nhiều hành động liên

tiếp.

2.1.2 Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

2.1.2.1 Hoán vị

Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A

được gọi là một hoán vị của n phần tư đó

Số các hoán vị của n phần tử: P n  n! n n.  1 2.1.

2.1.2.2 Chỉnh hợp

Cho tập A gồm n phần tử n 1 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của

tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tư

đã cho.

Số các chỉnh hơp:  !  !, 1 .

k n

Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp

chập k của n phần tư đã cho.

Số các tổ hợp: !. !  !, 0 .

k n

A C k



2.1.3 Xác suất của biến cố

2.1.3 Định nghĩa

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng

khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số

là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A,

còn n  là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

là biến cố đối của biến cố A

2.2 BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER”

2.2.1 Nội dung bài toán:

Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo giống nhau cho k em bé?

2.2.2 Lời giải:

Trước hết ta xét các bài toán sau:

Bài toán 1: “Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo giống nhau cho k em bé sao cho em nào cũng có kẹo, n k n k ; , ¥ ”.*

Đặt n cái kẹo trên một hàng ngang, khi đó giữa n chiếc kẹo sẽ có n – 1 khoảng trống.

Nếu ta đặt k – 1 chiếc que vào k – 1 khoảng trống bất kì trong số n – 1 khoảng trống trên ta thấy n chiếc kẹo sẽ được chia thành k phần để cho k em bé theo thứ tự.

Do đó số cách chia kẹo bằng số cách chọn k – 1 khoảng trống trong số n – 1 khoảng trống tức

+ Từ lời giải trên ta nhận thấy, khi xếp các đối tượng trên một hàng thì giữa các đối

tượng luôn hình thành khoảng trống (hay còn gọi vách ngăn), và dễ thấy rằng để hai đối tượng trên

hàng đó không đứng cạnh nhau ta chỉ cần xếp một đối tượng khác vào khoảng trống đó Để cho đơn

giản ta gọi đây là “tư duy vách ngăn”.

+ Nếu gọi số kẹo nhận được của k em bé ứng với mỗi cách chia lần lượt là x x1 , , , 2 x k

thì x1     Và hiển nhiên, số nghiệm của phương trình đó bằng chính số cách chia Từ đóx2 x k n

ta có kết quả bài toán sau.

Bài toán 2: “Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

2.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Từ kết quả của bài toán chia kẹo Euler cũng như cách tư duy để tìm ra kết quả đó, ta rút ra được một số kết luận quan trọng sau:

* KẾT LUẬN 1: Số cách chia (phân phối) n cái kẹo (sản phẩm) cho k em bé (đối tượng) sao

cho em nào cũng có kẹo (đối tượng nào cũng có sản phẩm) hay số nghiệm nguyên dương của phương

trình x1   x2 x k n n k n k;  ; , ¥* là: 1

1

k n



* KẾT LUẬN 2: Số cách chia (phân phối) n cái kẹo (sản phẩm) cho k em bé (đối tượng) hay

số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1   x2 x k n n;  ¥ ,k ¥* là: 1

1

k

n k

C  

* KẾT LUẬN 3: Hình thành “tư duy vách ngăn” trong việc giải quyết các bài toán đếm có giả

thiết yêu cầu các đối tượng được xếp hoặc không xếp cạnh nhau.

Sau đây ta sẽ xét một số dạng toán đếm thường gặp vận dụng các kết luận trên đây.

2.3.1.DẠNG 1: Đếm số nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình

Ví dụ 1: Cho phương trình: x1    x2 x3 x4 20. Tìm số nghiệm nguyên của

1 Số nghiệm nguyên không âm của phương trình: C233.

2 Số nghiệm nguyên dương của phương trình: C193.

3 Đặt: y1 =x y1 ; 2 = -x2 1;y3 = -x3 2;y4 = - Số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiệnx4 3 bằng số nghiệm nguyên dương của phương trình: y1 + + +y2 y3 y 4 = 14;y i³ 1,i= 1, 4.

Cách 2: (Sử dụng biến cố đối)

+ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình là: C233.

+ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn x1 ³ 4: Đặt y1= -x1 4 ®

Số nghiệm là: C 193

Suy ra: số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện: C233 - C193 = 802.

Nhận xét:

Khi đếm số nghiệm có điều ràng buộc:

+ Điều kiện ràng buộc dạng: x i³ d i® đặt ẩn phụ.

+ Điều kiện ràng buộc dạng: x i£ d i

- Nếu chỉ có 1 biến có điều kiện đó thì áp dụng 2 cách trên.

- Nếu có nhiều biến có điều kiện ràng buộc ta áp dụng cách giải 2 nhưng cần chú ý quy tắc bao hàm và loại trừ Cụ thể ta xét trong ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 2: Cho phương trình: x1    x2 x3 x4 17. Tìm số nghiệm nguyên của

phương trình thỏa mãn:

1 0 x x1 , 2  3.

2 3  x i 5,i1, 4.

LỜI GIẢI

1 + Số nghiệm nguyên không âm của phương trình là: C203.

+ Gọi X X1 , 2 lần lượt là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn điều kiện: x1 ³ 4,x2 ³ 4 Khi đó: số nghiệm thỏa mãn điều kiện là: C203 - X1 ÈX2

y +y + +y y = với điều kiện y i£ 2, " =i 1, 4.

* Gọi Y là tập tất cả các nghiệm nguyên không âm của phương trình (*), suy ra:

+ Cách 1: Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình bằng tổng số nghiệm nguyên

không âm của 12 phương trình: x1 + + + =x2 x3 x4 i i, = 0,11.

Số nghiệm là:

11 3 3 0

1365.

i i

2.3.2.DẠNG 2:Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm.

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp (phân phối) 4 viên bi giống nhau vào 3 chia hộp A, B, C.

+ Ta có thể hiểu đơn giản hơn rằng, việc phân phối 4 viên bi cho 3 hộp cũng là công việc chia 4

cái kẹo cho 3 em bé Do đó có thể suy ra ngay đáp án bài toán.

+ Từ đó, một cách khác ta có thể phát biểu bài toán chia kẹo Euler theo “ngôn ngữ” khác như sau: Số cách phân phối n sản phẩm cho k đối tượng là:

-lặp chập n của k phần tử) Do đó, khi giải các bài toán tương tự ta có thể sử dụng ngay “ngôn ngữ” này

để giải quyết rất nhanh gọn.

Ví dụ 2: Một cửa hàng có 6 loại kem khác nhau Một người khách muốn mua 9 que

kem Hỏi người khách đó có bao nhiêu sự lựa chọn?

LỜI GIẢI

Số cách lựa chọn của người khách chính là số cách phân phối 9 que kem mua đươc cho 6 loại kem, do đó số cách lựa chọn là: C145 = 2002.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp (phân phối) 30 viên bi giống nhau vào 5 chiếc hộp

khác nhau sao cho:

1 Cách xếp là bất kì về số lượng viên bi trong mỗi hộp.

2 Hộp 1 có ít nhất 5 viên bi.

3 Hộp 1 có ít nhất 5 viên bi; hộp 2 và hộp 3 có không quá 6 viên bi.

LỜI GIẢI

1 Ta có ngay số cách xếp (phân phối) là:C344 = 46376.

2 Do hộp 1 cần ít nhất 5 viên bi nên ta lấy luôn 5 viên bi cho hộp 1, còn lại 25 viên bi ta phân phối cho 5 hộp Số cách phân phối là: C294 = 23751.

3 Số cách phân phối thỏa mãn bằng số cách phân phối 25 viên bi cho 5 hộp và thỏa mãn điều kiện hộp 2 và 3 đều có số bi nhỏ hơn hoặc bằng 6.

+ Số cách phân phối 25 viên bi cho 5 hộp là: C294 = 23751.

+ Số cách phân phối 25 viên bi cho 5 hộp sao cho hộp 2 chứa số bi lớn hơn hoặc bằng 7 là:C224 .Tương tự: Số cách phân phối 25 viên bi cho 5 hộp sao cho hộp 3 chứa số bi lớn hơn hoặc bằng 7 là: 4

1.Cách 1: + Ta viết các chữ số 1,2,3, ,9 theo thứ tự tăng dần.

+ Ta chọn 5 số dãy 9 số đó được 1 số thỏa mãn.

Do đó số các số thỏa mãn là: C95 = 126.

Cách 2: + Từ tổ hợp 9 chữ số tự nhiên ta chọn ra 5 chữ số khác nhau: C95. (Chọn thành phần).

+ Mỗi cách chọn đó ta sắp xếp chỉ dc một số thỏa mãn điều kiện (Sắp xếp)

Do đó số các số thỏa mãn là: C95 = 126.

Nhận xét: cách lập luận thứ 2 là cách lập luận thông thường với các bài toán lập số, tức là

trải qua 2 bước: Chọn thành phần và sắp xếp.

2.+ Chọn thành phần : chọn 5 số từ 9 số (các chữ số có thể lặp lại) bằng cách phân phối 5 số chọn được cho 9 chữ số tự nhiên, do đó số cách chọn là: C135.

+ Sắp xếp: Mỗi cách chọn đó chỉ có duy nhất một số thỏa mãn điều kiện.

Do đó, số các số thỏa mãn là: C135 = 1287.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng abcde thỏa mãn:

+ Sắp xếp: mỗi cách chọn thành phần chỉ có duy nhất một cách xếp để các chữ số giảm dần Do đósố các số thỏa mãn là:C105 = 252.

2 + Chọn thành phần: chọn 5 số tự nhiên (có thể giống nhau) từ 10 chữ số tự nhiên bằng số cách phân phối 5 chữ số đó về cho 10 chữ số tự nhiên từ 0 đến 9, có C145 cách chọn.

+ Sắp xếp: mỗi cách chọn thành phần chỉ có duy nhất một cách xếp để các chữ số giảm dần (trong đó có cách xếp 00000 không là số tự nhiên có 5 chữ số).

Do đó, số các số thỏa mãn là: C145 - = 1 2001.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng abcde thỏa mãn:

1      a b c d e 9.

LỜI GIẢI

Đặt a' = -a 1; 'e = + Þe 1 0 £a' < < < < £b c d e' 10

Áp dụng cách giải Ví dụ 1 ta được kết quả: C115.

Ví dụ 4: (Vé hạnh phúc) Mỗi vé xe có một dãy 6 chữ số được gọi là vé hạnh phúc nếu

tổng 3 chữ số đầu bằng tổng 3 chữ số cuối Hỏi có tất cả bao nhiêu vé hạnh phúc?

+ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (*): C325.

+ Gọi M i là tập hợp các nghiệm nguyên không âm của phương trình (*) mà a i³ 10,i=1, 6.

Ví dụ 1: Cho tập hợp A gồm 100 số nguyên dương đầu tiên Tìm số tập con của tập hợp

A có 3 phần tử sao cho không có 2 phần tử nào của mỗi tập con đó là hai số tự nhiên liên

tiếp?

+ Số tập con thỏa mãn bằng số nghiệm nguyên của phương trình (*) thỏa mãn (1).

+ Dễ dàng tính được số nghiệm bằng: C983.

Cách 2: + Ta đặt 3 phần tử của tập con được chọn vào 98 khoảng trống được tạo ra từ 97 số

không được chọn trong tập con, số cách đặt là: C983. Đó cũng chính là số tập con thỏa mãn điều kiện.

Nhận xét: Rõ ràng cách đếm số 2 có vẻ ngắn và nhanh hơn, cách làm đó vận dụng tư duy vách

ngăn để giải quyết Tuy nhiên, cách làm đó chỉ áp dụng với bài có yếu tố không liên tiếp Còn cách làm số 1 áp dụng ngay cả khi khoảng cách giữa các phần tử của tập con tùy ý.

Ví dụ 2: Một tháng làm việc tại công ty, Lan được nghỉ phép 4 ngày Hỏi Lan có bao

nhiêu cách chọn 4 ngày nghỉ phép trong tháng 1 năm 2021 sao cho không có 2 ngày nghỉ phép nào liên tiếp?

LỜI GIẢI

Tháng 1 năm 2021 có 30 ngày, khi chọn được 4 ngày nghỉ thì sẽ còn lại 26 ngày không được nghỉ.

Ta đặt 4 ngày nghỉ vào 27 khoảng trống được tạo ra từ 26 ngày không được nghỉ, mỗi cách đặt

đó cho ta một cách chọn thỏa mãn yêu cầu Do đó, số cách chọn thỏa mãn:C274.

Ví dụ 3: Cho tập hợp A gồm 2021 số nguyên dương đầu tiên Có bao nhiêu tập con của A

có 3 phần tử sao cho tổng các phần tử của tập con đó bằng 2019?

+ Số nghiệm nguyên dương của phương trình (*) là: C20182 .

+ Số nghiệm nguyên dương mà a = b = c là: 1 nghiệm là (673;673;673).

+ Số nghiệm nguyên dương mà a= ¹b c: Phương trình (*)Û 2a c+ = 2019 ®c lẻ.

Suy ra số nghiệm là: 1009 1 1008 - = , (trừ đi c nhận giá trị 673 và 2019).

+ Tương tự với 2 trường hợp a c b c b a= ¹ ; = ¹ cũng có số nghiệm là 1008.

Do đó số nghiệm thỏa mãn yêu cầu: C20182 - 3.1008 1 2032128 - =

+ Vì mỗi tập con có 3 phần tử của A thỏa mãn yêu cầu sinh ra 3! nghiệm đã tính được

Do đó số tập con thỏa mãn là: 2032128 : 3! 338688 =

2.3.5 DẠNG 5: Đếm hình học.

Ví dụ 1: Cho đa giác đều có 2021 đỉnh Có bao nhiêu tam giác, tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã

cho sao cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều đã cho?

LỜI GIẢI

Từ giả thiết suy ra các đỉnh của tam giác, tứ giác không là các đỉnh kề nhau của các đỉnh đa giác ban đầu, từ đó cho ta ý tưởng cách giải như dạng toán tập con Nhưng do các đỉnh của đa giác được xếp trên đường tròn nên khi đếm ta cần cố định một đỉnh trước, tức là chọn 1 đỉnh của tam giác,

tứ giác thỏa mãn trước.

+ Đếm số tam giác thỏa mãn: Giả sử tam giác ABC là tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa

giác đều đã cho mà không cạnh nào là cạnh của đa giác.

2021.

1369655952 3

+ Tương tự với số tứ giác thỏa mãn:

3 2016

2021.

4

C

Nhận xét: Dễ dàng có thể suy ra bài toán tổng quát: đếm số k – giác từ n – giác đều sao cho

không có cạnh nào của k – giác là cạnh của n – giác Đáp số là:

1 1

.

k

n k

n C k

-Ví dụ 2: Cho đa giác đều có 2013 đỉnh Người ta tô màu đỏ cho 100 đỉnh của đa giác đều đó Hỏi có bao

nhiêu cách tô màu sao cho giữa 2 đỉnh được tô có ít nhất 3 đỉnh không được tô màu?

LỜI GIẢI

+ Chọn đỉnh tô đầu tiên A : có 2013 cách chọn.1

+ Chọn 99 đỉnh còn lại: Gọi x x1, , ,2 x100 là số đỉnh giữa 100 đỉnh với nhau.

2013.

100

C

Ví dụ 3: Cho tam giác có diện tích bằng 27 Một điểm P nằm trong tam giác được gọi là “điểm tốt” nếu có

thể tìm được 27 tia chung gốc P chia tam giác thành 27 tam giác con có cùng diện tích? Đếm số điểm P?

LỜI GIẢI

+ Nhận xét: - Các tia PA, PB, PC đều thuộc 27 tia chung gốc P của điểm tốt P.

- SDPAB,SDPBC,SDPCA đều là các số nguyên dương.

+ Với mỗi điểm tốt P , đặt x=SDPBC,y=SDPCA,z=SDPAB® + + =x y z 27, (*).

Dễ thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (*) là C262 = 325.

Bổ đề: “Với mỗi điểm P nằm trong tam giác ABC, ta luôn có:

0

xPAuur+yPBuur+zPCuuur r= ”

Từ hệ thức này ta dễ dàng chứng minh được rằng với mỗi bộ (x; y; z) chỉ tồn tại duy nhất một điểm P.

Do đó, số điểm tốt P là: 325

2.3.6 DẠNG 6: Lưới tọa độ.

Ví dụ 1: Cho 1 lưới gồm các ô vuông, các nút được đánh số từ 0 đến m theo chiều từ trái

sang phải và từ 0 đến n theo chiều từ dưới lên trên (như hình vẽ):

Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0; 0) đến nút (m; n) nếu chỉ cho phép

đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên

LỜI GIẢI

+ Một con đường đi thỏa mãn yêu cầu bài toán trên trải qua m + n bước do mỗi bước chỉ có 2

cách di chuyển (đây cũng chính là con đường ngắn nhất để di chuyển từ nút (0;0) đến nút (m; n)).

+ Trong m + n bước đó, ta chọn ra m bước để để di chuyển sang phải, còn n bước còn lại ta di

chuyển lên trên Khi đó số con đường di chuyển là: C m n m+ =C m n n+ .

Ví dụ 2: Trên bàn cờ 5x4 ô vuông như hình vẽ dưới đây, người chơi chỉ được di chuyển

quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được một cạnh Có bao nhiêu cách di chuyển quân từ điểm A đến điểm B bằng 9 bước?

LỜI GIẢI

Di chuyển quân từ A đến B bằng 9 bước do đó đây chính là con đường di chuyển ngắn nhất, tức

là ở mỗi bước di chuyển chỉ được phép lên trên hoặc sang phải Do đó theo ý trên ta suy ra số cách di chuyển là: C94=C95= 126.

2.3.7 DẠNG 7: Vận dụng tư duy vách ngăn.

Ví dụ 1: Thầy Bình trồng 3 cây lim, 4 cây long não và 5 cây xà cừ trên một hàng một cách ngẫu nhiên Tính

xác suất để không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau?

LỜI GIẢI

+ Ta có: W=12!.

+ Biến cố A: “Không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau”

- Trồng 7 cây gồm lim và long não có 7! cách.

- Mỗi cách trồng 7 cây đó, giữa 7 cây có 8 khoảng trống, ta chọn 5 khoảng trống trong 8 khoảng trống đó để trồng các cây xà cừ, số cách chọn vị trí là: C85

Ví dụ 2: Trong một giải bóng đá có 10 trận đấu được diễn ra trong vòng 30 ngày Hỏi ban tổ chức có bao

nhiêu cách sắp xếp lịch thi đấu các trận đấu sao cho 2 trận đấu kề nhau phải cách nhau ít nhất một ngày?

LỜI GIẢI

Dựa theo giả thiết ta suy ra ngày thứ 1 và ngày thứ 30 mỗi ngày có 1 trận Do đó số cách sắp xếp các trận bằng số cách đặt 8 trận còn lại vào 19 khoảng trống giữa 20 ngày mà không có trận đấu diễn ra Do đó, số cách sắp xếp lịch thi đấu là: C198 = 75582.

Ví dụ 3: Một lớp có 36 học sinh được xếp theo một hàng ngang sao cho khoảng cách giữa hai người cạnh

nhau là 0,5 mét Có bao nhiêu cách chọn ra 10 học sinh trong hàng đó để sau khi chọn ra không tồn tại khoảng trống lớn hơn 1 mét giữa hai học sinh cạnh nhau trong số các học sinh còn lại trong hàng?

LỜI GIẢI

Yêu cầu bài toán chính là số cách chọn ra 10 người trong hàng sao cho không có 2 người nào đứng cạnh nhau Giữa 26 người không được chọn có 27 khoảng trống, số cách đặt 10 người được chọn vào 27 khoảng trống cũng chính là số cách chọn thỏa mãn yêu cầu.

Do đó, số cách chọn là: C1027 = 8436285.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế ngồi mà không có hai bạn nữ nào được

xếp cạnh nhau, nếu:

1 Ghế xếp thành hàng ngang.

2 Ghế xếp quanh bàn tròn.

LỜI GIẢI

1 Số cách xếp 6 bạn nam: 6!

Giữa 6 bạn nam có 7 khoảng trống, chọn 4 khoảng trống trong số đó và xếp 4 bạn nữ, số cách xếp là: C74.4!.

Do đó số cách xếp thỏa mãn là: 6!C744! 604800 =

2 Số cách xếp 6 bạn nam quanh bàn tròn là: 5!

Giữa 6 bạn nam có 6 khoảng trống, chọn 4 khoảng trống trong số đó và xếp 4 bạn nữ, số cách xếp là: C64.4!.

Do đó, số cách xếp là: 5!C644! 43200 =

2.4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

DẠNG 1: ĐẾM SỐ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình: x1    x2 x3 x4 10

Câu 4:Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số Bốn bạn An, Bình, Chi ,Dũng chọn mỗi người một số

từ S Tính xác suất để 4 số chọn được của 4 bạn có tổng là 1 số T mà tổng các chữ số T chia hết cho

9 và T chia hết cho 4042?

C

3 14198 4 9000

C

3 36378 4 9000

C A

DẠNG 2: ĐẾM SỐ CÁCH PHÂN PHỐI ĐỒ VẬT, SẢN PHẨM

Câu 1: Xét tập Aa a1 ; ; ; 2 a n Số tập con của tập A là:

D 2n1Câu 2: (VMO 2021) Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1,2,3,4,5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp?

Câu 3:Cho tập hợp A1; 2;3; 4;5;6 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một

khác nhau thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S Tính xác suất để chọn được số có tổng ba

chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số cuối 3 đơn vị

Câu 4: Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng

DẠNG 4: ĐẾM SỐ TẬP CON CỦA TẬP HỢP:

Câu 1: Từ 2021 số tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu cách chọn ra 3 số tự nhiên sao cho không có hai số liên tiếp nào được chọn?

Câu 4: (VMO 2012) Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cô gái vào 1 dãy có 7 ghế mà:

 Mỗi ghế có một người ngồi.

 Các cô gái không ngồi ở hai đầu dãy.

 Ở giữa hai cô gái không có quá hai người.

độ, một đỉnh là gốc tọa độ và một đỉnh đối với nó là (999;999;999) Hỏi mặt phẳng x y z  2016đi

qua bao nhiêu điểm trong tập hợp S?

A 29. B.126 C 9!. D 162

Câu 3: Một con thỏ di chuyển tử địa điểm A đến nhà tại địa điểm B bằng cách đi qua các điểm nút ( trong lưới như hình vẽ) biết nếu thỏ di chuyển đến nút C thì sẽ bị cáo ăn thịt Hỏi thỏ có bao nhiêu cách về nhà nhanh nhất mà không bị cáo ăn thịt.

A.30 B 2 25 4.C C C52 42. D 40

Câu 4: Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được 5 phiếu bầu, ứng cử viên B được 4 phiếu bầuCử tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có bao nhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số phiếu bầu?

DẠNG 7: TƯ DUY VÁCH NGĂN:

Câu 1: Xếp 35 học sinh lớp 12B1 thành một hàng dọc, Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 12 người sao cho trong 12 người được chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau ?

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1: ĐẾM SỐ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình: x1    x2 x3 x4 10

Bài toán quy về tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình (1)

Số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) là C94  126

A



Câu 2: Hệ phương trình

20 , , , 1(mod 4)

Bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của phương trình (1)

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là :C73

C



Câu 3: Một nhóm học sinh gồm 4 bạn, mỗi bạn mang một số thứ tự 1;2;3;4 Cô giáo có bao nhiêucách chia 18 cái kẹo cho 4 bạn học sinh sao cho lấy số kẹo của mỗi bạn trừ đi số thứ tự của bạn đó ta luôn được một số không âm?

Bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của phương trình(1)

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là:C113 D

Câu 4:Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số Bốn bạn An, Bình, Chi ,Dũng chọn mỗi người một số

từ S Tính xác suất để 4 số chọn được của 4 bạn có tổng là 1 số T mà tổng các chữ số T chia hết cho

9 và T chia hết cho 4042?

C

3 14198 4 9000

C

3 36378 4 9000

C A

T

T

T T

Vì (8999>3618) nên bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của phương trình (1)

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là :C36213

Mỗi phần tử có hai cách chọn “có mặt” hoặc “không có mặt” trong tập con của A.

Số tập con của A là 2n

Bài toán quy về tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1).

Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) là :C30 5 15 1  C344

Bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của phương trình (1).

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là :C24 6 16 1 C295

Bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của bất phương trình (1).

Số nghiệm không âm của bất phương trình (1) là C12 3 13 1  C142



DẠNG 4:ĐẾM SỐ TẬP CON CỦA TẬP HỢP:

Câu 1: Từ 2021 số tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu cách chọn ra 3 số tự nhiên sao cho không có hai số liên tiếp nào được chọn?

Số nghiệm nguyên dương của phương trình này là C9 14 1- 56

- = Do hai dãy này chọn độc lập với nhau nên số xâu thỏa mãn là 10.56 = 560 xâu.

A



Câu 4: (VMO 2012) Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cô gái vào 1 dãy có 7 ghế mà:

 Mỗi ghế có một người ngồi.

 Các cô gái không ngồi ở hai đầu dãy.

 Ở giữa hai cô gái không có quá hai người.

Số nghiệm nguyên của hệ là C n3 1 4 1 C n25

Vì mỗi đỉnh có vai trò như nhau, và mỗi tứ giác chỉ được tính một lần C n25 n

Bốn cây cố định lần lượt là A, B,C,D

Khoảng cách giữa 4 cây lần lượt là x x x x1 ; ; ; 2 3 4

Ý tưởng tương tự ta sẽ giải phương trình nghiệm nguyên giống câu 1

4

1

*

13 (1)

i i

i

x x

Số nghiệm của phương trình (1) là C123  220

Vì có 17 cách chọn đỉnh A và 4 cây A,B,C,D được lặp lại 4 lần nên số cách chặt là

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độOxycho hình chữ nhật với M(0;10); (100;10); (100;0)N P Gọi S là tập

hợp tất cả điểm A x y( ; )và x, y là các số nguyên nằm bên trong kể cả cạnh của hình chữ nhật OMNP.Có bao nhiêu điểm A nằm trong phần tô đâm (kể cả các đoạn chắn )

, ,

x y z y

Số nghiệm của hệ trên là: C90 11 3 12   C812

Số nghiệm của hệ (1) là : C922 C812

B



Câu 4: Trong không gian Oxyz, gọi S là tập hợp các điểm nguyên nằm phía trong hoặc ở trên đỉnh, cạnh và mặt của hình lập phương cạnh 999, trong đó các cạnh song song hoặc vuông góc với trục tọa

độ, một đỉnh là gốc tọa độ và một đỉnh đối với nó là (999;999;999) Hỏi mặt phẳng x y z   2016

đi qua bao nhiêu điểm trong tập hợp S?

Ta sẽ sử dụng nguyên lý bù trừ để giải quyết bài toán.

Gọi A,B,C lần lượt là tập nghiệm của phương trình (*) mà x 1000;y 1000;z 1000

Số điểm thỏa mãn đề bài là

2 2018

C   A B C

2016 :