Sáng kiến được tập trung vào nội dung chủ yếu là các bài toán có khả năng tính nhẩm, tính nhanh thông qua tìm hiểu bản chất toán học của các con số và tính chất các phép toán. Phần lớn học sinh tính toán dựa vào máy tính cầm tay kể cả phép tính đơn giản, cũng có một số học sinh có ý thức tính nhẩm nhưng các em chưa biết nhiều dạng tính nhẩm ngoài kiến thức cơ bản đã học. Khi giảng dạy gặp những bài toán tính nhanh khá nhiều học sinh sợ, có em vẫn thực hiện tính theo đúng thứ tự thực hiện phép tính, tính từng bước một. Đặc biệt khi gặp những phép tính vượt qua giới hạn của máy tính cầm tay thì nhiều em thực sự lúng túng.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
“MỘT SỐ CÁCH TÍNH NHẨM, TÍNH NHANH TRONG
TOÁN HỌC DÀNH CHO HỌC SINH THCS”
Thuộc lĩnh vực: Giảng dạy môn toán
Người thực hiện:
Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS
, tháng 4 năm 2019
Trang 2CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: - Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm Huyện ;
- Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm Phòng Giáo dục ;
- Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm trường THCS Tôi ghi tên dưới đây:
Số
TT
Họ và tên Ngày
tháng năm sinh
Nơi công tác
(hoặc nơi thường trú)
Chức danh
Trình độ chuyên môn
Tỉ lệ (%) đóng góp vào việc tạo
ra sáng kiến
1 THCS
Giáo viên
Cao đẳng Toán - Tin
100%
Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Một số cách tính nhẩm, tính nhanh trong toán học dành cho học sinh THCS”
1 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến (trường hợp tác giả không đồng thời là
chủ đầu tư tạo ra sáng kiến) (3):
(không)
(Trường hợp tác giả sáng kiến không đồng thời là chủ đầu tư tạo ra sáng kiến thì trong đơn cần nêu rõ chủ đầu tư tạo ra sáng kiến là cơ quan, tổ chức hoặc cá nhân nào Nếu sáng kiến được tạo ra do Nhà nước đầu tư kinh phí, phương tiện vật chất - kỹ thuật thì trong đơn cần ghi rõ thông tin này)
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Giảng dạy môn toán trong trường THCS
3 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Sau một số năm giảng dạy với thực trạng học sinh ngại tính toán tôi đã tìm tòi nghiên cứu và áp dụng đề tài vào nhiệm vụ giảng dạy toán từ năm học 2017-2018
4 Mô tả bản chất của sáng kiến
Về nội dung.
Trang 3Sáng kiến được tập trung vào nội dung chủ yếu là các bài toán có khả năng tính nhẩm, tính nhanh thông qua tìm hiểu bản chất toán học của các con số
và tính chất các phép toán
4.1 Tìm hiểu về việc thực trạng làm bài tập tính của học sinh
Phần lớn học sinh tính toán dựa vào máy tính cầm tay kể cả phép tính đơn giản, cũng có một số học sinh có ý thức tính nhẩm nhưng các em chưa biết nhiều dạng tính nhẩm ngoài kiến thức cơ bản đã học
Khi giảng dạy gặp những bài toán tính nhanh khá nhiều học sinh sợ, có
em vẫn thực hiện tính theo đúng thứ tự thực hiện phép tính, tính từng bước một Đặc biệt khi gặp những phép tính vượt qua giới hạn của máy tính cầm tay thì nhiều em thực sự lúng túng
4.2 Quá trình hướng dẫn học sinh
Qua nghiên cứu và thực nghiệm, tôi đã thực hiện phương pháp như sau
4.2.1 Để các em đào sâu suy nghĩ, tự giác học tập, người thầy cần dạy đúng
trọng tâm, kiến thức chính xác, ngôn ngữ truyền đạt trong sáng, có sức thuyết phục, phải xây dựng được không khí thầy trò cùng làm việc "Thầy chủ đạo, trò chủ động"
+ Thầy trò cùng trao đổi để rồi thực hiện theo đúng quy trình đã được thống nhất trong tập thể Cụ thể:
a Khi được cung cấp bài toán, trò cần tạo thói quen suy nghĩ: Bắt đầu từ đâu? (với đề bài toán) Phải làm gì? (Thấy được bài toán càng rõ ràng càng tốt) Làm như thế tiện lợi gì ?
b Khi hiểu rồi, cần đi sâu nghiên cứu xây dựng cách giải bài toán
c Thực hiện giải bài toán
d Nhìn lại cách giải
e Tìm cách giải khác Các em cần luôn đặt câu hỏi: "Còn cách nào hợp lý hơn không? Cách nào ngắn hơn?"
Chẳng hạn với các ví dụ sau đây:
Trang 4Ví dụ 1 Tìm a N biết:
2
1) -( a a
= 36
Vì
2
) 1 ( a a
= 36 => a(a - 1) = 72 => a2 - a - 72 = 0
- Ta có thể dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn này
- Tôi cho các em nhận xét a và a - 1 là hai số nguyên dương mà tích của chúng lại bằng 72, theo bảng nhân 9 ta có 9.8 = 72 => a = 9
* Từ nhận xét này các em có thể dễ dàng giải phương trình dạng
x(x + 1) = p hay (x - 1)x = q
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm nguyên, dương của phương trình có dạng
(x - n)(x + m) = q
Cụ thể : Tính nhẩm nghiệm nguyên, dương của phương trình:
(x - 3)(x + 5) = 65
Ta thấy x nguyên dương nên x + 5 > x - 3
Mà 65 có tận cùng là 5 nên phải có một thừa số có tận cùng là 5
5.13 = 65 x - 3 = 5 (hoặc x + 5 = 13) x = 8
4.2.2 Để giúp các em yêu thích và luôn có hứng thú với các phép tính và
con số tôi tổ chức cho các em thành từng nhóm học tập, với một số bài tập tôi cho các em thực hiện theo nhóm học tập
Bước1 Cá nhân tự nghiên cứu, đề xuất cách giải
Bước 2 Thảo luận nhóm
+ Thảo luận cách giải trong từng nhóm
+ Chia sẻ cách giải của các nhóm
+ Áp dụng cách giải hay vào các bài toán khác
Trong mỗi bài tập tôi luôn yêu cầu các em tự đặt ra và trả lời câu hỏi: "Tại sao làm như vậy?", "Còn có cách nào ngắn hơn không ?"
4.2.3 Để tạo cho các em niềm vui trong học tập và sự hấp dẫn của các
phép tính nhẩm, tôi cho các em tổ chức “Hội vui tính toán” các bài toán được
Trang 5đưa ra chủ yếu là các bài có thể tính nhẩm tính nhanh và đặc biệt không được sử dụng máy tính cầm tay để tính
Thông qua bài tập ta thấy được tác dụng của phép tính nhẩm trong việc giúp các em đào sâu suy nghĩ, rèn luyện tư duy toán học Làm thế nào để các em
tự đề suất cách giải nhanh? Đây là vấn đề nan giải, nó tuỳ thuộc vào sự linh hoạt, nhanh nhẹn, sáng tạo của trò Tuy vậy để phần nào tạo ra sự linh hoạt, sự hứng thú với môn toán tôi đã cung cấp cho các em một số cách để các em có thể tính nhẩm được Các cách đó được rút ra dưới một số dạng sau đây:
4.3 Một số dạng tính nhẩm được áp dụng
4.3.1 Nhẩm bình phương của những số có chữ số tận cùng là 5
Ví dụ: 152 = 225 1052 = 11025
352 = 1225 1152 = 13225 Nhận xét các kết quả trên:
+ Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị bao giờ cũng là 25
+ Các chữ số còn lại là tích của các số đó với số tự nhiên liền sau nó Chẳng hạn số 3 có số liền sau nó là 4 => 3.4 = 12
=> 352 = 1225
Số 10 có số liền sau nó là 11 => 10.11 = 110
=> 1052 = 11025
4.3.2 Vận dụng hằng đẳng thức (a + b) 2 vào làm phép tính nhẩm bình phương của một số có hai chữ số
Ví dụ 1
a Tính 112 Ta có (1 + 1)2 = 1 + 2 + 1
Ta xoá các dấu cộng đi Vậy 112 = 121
b Tính 132 Ta có (1 + 3)2 = 1 + 6 + 9
=> 132 = 169
c Tính 312: Ta có (3 + 1)2 = 9 + 6 +1 => 312 = 961
Tại sao làm được như vậy? Cơ sở ta làm được như vậy vì ta đã áp dụng: ( ab )2 = ( 10a + b)2 = 100a2 + 10 2ab + b2
Trang 6Như vậy ta có b2 đơn vị, 2ab chục, a2 trăm, các dấu cộng mà ta xoá đi chính là vì ta đã biết nó thuộc hàng nào rồi
Ví dụ 2:
a Tính 232: Ta có ( 2 + 3 )2 = 4 + 12 + 9
Nếu cứ máy móc ghi 232 = 4129 là sai? Tại sao sai?
Ta đã biết trong tập hợp các số tự nhiên, các chữ số thuộc một hàng nào
đó phải nguyên dương, nhỏ hơn hoặc bằng 9 Nếu nó lớn hơn hoặc bằng 10 thì phải chuyển lên hàng đứng trước nó Với ví dụ ở trên thì 12 là 1 trăm và 2 chục nên 1 trăm này phải được cộng với 4 trăm => 232 = 529
b Tính 362: Có (3 + 6)2 =
3
3
3+ 6 = 9 3 + 9 = 12 Vậy 362 = 1296
c Tính 462: Có (4 + 6)2 = 16 3 4 8 6
Lấy 3 + 8 = 11 chỉ giữ lại 1 chuyển 1 lên hàng trên:
Lấy 1+ 4 + 6 = 11 chỉ giữ lại 1 chuyển 1 lên hàng trên 1 + 1= 2
Vậy 462 = 2116
4.3.3 Nhẩm căn bậc hai của một số chính phương
Để tính nhẩm căn bậc hai của một số chính phương, vận dụng tính Δ trong việc giải bài toán bằng cách lập phương trình Tôi hướng dẫn các em vận dụng ngay chữ số hàng đơn vị để tính nhẩm sơ bộ ban đầu Sau đó vận dụng ngược lại hai dạng trên vào tính nhẩm các chữ số còn lại Cụ thể như sau:
a Một số là số chính phương thì chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là các số 0,1,4, 5, 6, 9
- Với chữ số hàng đơn vị là 0 và 5 thì chỉ có thể là số có chữ số tận cùng
là 0 hoặc 5 bình phương
- Chữ số hàng đơn vị là 1 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 9 đem bình phương
- Chữ số hàng đơn vị là 4 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 8 đem bình phương
Trang 7- Chữ số hàng đơn vị là 6 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 đem bình phương
- Chữ số hàng đơn vị là 9 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 3 hoặc 7 đem bình phương
b Các chữ số thuộc các hàng còn lại ta vận dụng ngược lại của hai dạng nhẩm trên
Ví dụ 1: Tính 15625 = 125
Nhận xét: Chữ số hàng đơn vị là 5, chữ số hàng chục là 2 chắc chắn kết quả là số có chữ số hàng đơn vị là 5;156 = 12.13 Vậy 15625 = 125
Ví dụ 2: Tính 1369.
Chữ số tận cùng là 9 do 3 hoặc 7 đem bình phương
32 = 9 < 10; 42 = 16 > 13 Tính 332 = 1089; 372 = 1369 Vậy 1369 = 37
Ví dụ 3: Tính 4761;
Chữ số tận cùng là 1 do 1 hoặc 9 đem bình phương
mà 62 = 36 < 47; 72 = 49 > 47
=> Tính 612 = 3721; 692 = 4761 Vậy 4761 = 69
Ví dụ 4: Tính 576
Chữ số tận cùng là 6 do 4 hoặc 6 đem bình phương
mà 22 = 4 < 5; 32 = 9 > 5
=> Tính 262 = 676; 242
= 576 Vậy 576 = 24
4.3.4 Nhẩm tích của hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng nghìn, hàng trăm giống nhau Tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị của hai thừa số là 100.
Ví dụ 1: Tính nhẩm 2976.2924
Xét xem hai thừa số có liên quan đến nhau hay không?
- Cả hai thừa số đều có hai chữ số hàng nghìn, hàng trăm là 29
Trang 8- Tổng của hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của hai số là 100
Vậy nếu đặt a = 29, b = 76, c = 24 thì tích trên có dạng như thế nào? Hãy nêu cách giải?
Phép nhân trên có dạng : (100a + b)(100a + c) = 10 000a(a + 1) + bc Bước 1.Tính 10 000a(a + 1) = 10 000.29.30
= 10 000.870 = 8 700 000
Bước 2 Tính bc = 76.24 = (50 + 26)(50 -26)
= 502 - 26 2 = 1824
=> 10 000 a ( a + 1 ) + bc = 8 700 000 + 1824 = 8 701 824
Vậy 2976.2924 = 8 701 824
* Như vậy chỉ qua một phép nhân cụ thể các em có thể rút ra cách làm tổng quát với phép nhân hai số bất kỳ có bốn chữ số, hai chữ số hàng nghìn, hàng trăm giống nhau, hai chữ số hàng chục, hàng đơn vị của hai thừa số có tổng là 100 và các trưòng hợp tương tự Tất nhiên việc tính tiếp cần sự sáng tạo của các em Nhưng đây cũng tạo ra hứng thú cho các em tìm hiểu về các con số,
về mối liên quan giữa chúng
Ví dụ 2: Tính 5962.5938.
10000 59 (59+ 1) = 10 000.59.60
= 10 000.3540 = 35 400 000 62.38 = (50 + 12)(50 - 12) = 2356
Vậy 5962 5938 = 35 402 356
4 3.5 Tính nhanh kết quả các biểu thức.
Cần chú ý một số nhận xét:
- Thông thường gặp tổng nhiều số hạng để tính nhanh tổng này ta ghép thành những cặp thích hợp để chia tổng thành những cặp số có giá trị bằng nhau hoặc có quan hệ với nhau
- Nếu gặp những tổng gồm nhiều số chẵn liên tiếp hoặc lẻ liên tiếp thì lưu
ý hiệu hai số liên tiếp nhau luôn bằng 2
- Nếu gặp tích của nhiều thừa số, muốn tính nhanh ta áp dụng các tính chất cơ bản của phép nhân
Trang 9- Khi gặp một biểu thức có nhiều phép tính ta cần nhận xét các thành phần tham gia trong phép tính có gì chung, có gì đặc biệt… rồi áp dụng ba nhận xét trên vào tính toán cho hợp lý
Ví dụ 1: Tính nhanh kết quả các biểu thức:
a) 1272 + 146.127 + 732
b) 98 28 - (184 + 1)(184 - 1)
c) 1002 - 992 + 982 - 972 + … + 22 - 12
d) (202 + 182 + 162 +… +42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 +… +32 + 12 )
2 2
75 125 150 125
220 780
Ta làm như sau:
a) Nhận xét 146 = 2.73 => Biểu thức chính là dạng khai triển của hằng đẳng thức: ( a b )2 = a2 + 2ab + b2
1272 + 146.127 + 732 = 1272 + 2.127.73 + 732
= (127 + 73)2
= 2002 = 40 000
b) 98 28 - (184 + 1) (184 - 1) = (9 2)8 - (188 - 1)
= 188 - 188 + 1 = 1
c) (1002 - 992)+ (982 - 972)+ … + (22 - 12)
= (100 - 99)(100 + 99) + (98 - 97)(98 + 97) + + (2 - 1)(2 + 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + … + 2 + 1 = 5050
d) (202 +182 + 162 +… + 42 + 22) - (192 + 172 + 152 +… +32 + 12)
= (202 - 192) + (182 - 172 ) + (162 - 152) + … + (22 -12 )
= 20 + 19 + 18 + 17 + … + 2 + 1 = 210
2 2
75 125 150 125
220 780
75 75 125 2 125
) 220 780
)(
220 -780 (
75 + 125
1000 560
) (
.
= 14
Ví dụ 2 : Tính nhanh
a) 99 + 98 + 97 + 96 + … + 91
b) 1 + 3 + 5 + … + 997 + 999
c) 99 - 97 + 95 - 93 + … + 7 -5 + 3 - 1
Trang 10Ta làm như sau:
a) Cộng từng cặp số: 99 + 91 = 97 + 93 = 96 + 94 = 190 được 4 cặp Vậy 99 + 98 + 97 + 96 + … + 91 = 4.190 + 95 = 855
b) Các số hạng của tổng đều là số lẻ
999 + 1 = 997 + 3 = … = 499 + 501 = 1000
Từ 1 đến 999 có 500 số lẻ tức là có tất cả 250 cặp số lẻ
Vậy 1 + 3 + 5 + … + 997 + 999 = 1000.250 = 250 000 c) Ta nhận thấy rằng hiệu của hai số lẻ liên tiếp bằng nhau và bằng 2
Nghĩa là: 99 - 97 = 95 - 93 = … = 7 - 5 = 3 - 1
Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ chia làm 25 cặp
Vậy 99 - 97 + 95 - 93 + … + 7 -5 + 3 - 1 = 25.2 = 50
Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau đây bằng cách nhanh nhất.
a) 12345.678910.(234234.233 - 233233.234)
b)
2003
1928 75
.
2004
c)
21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1
42 21 7 24 12 4 12 6 2 6 3 1
d)
35 21 7 20 12 4 10 6 2 5 3 1
21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1
Tìm tòi lời giải :
a) Nhận xét các số hạng trong dấu ngoặc:
234234.233 - 233233.234 = 234.101.233 - 233.101.234 = 0
Vậy 12345.678910(234234.233 - 233233.234) = 0
b) So sánh các hạng tử ở tử và mẫu (2004=2003+1; 75+1928= 2003 ta có thể làm suất hiện nhân tử 2003 ở cả tử và mẫu) ta có cách tính sau
2003
1928 75
.
2004
=
2003
1928 75
).
1 2003 (
=
=
2003
2003 75
.
2003
= 2003
76 2003
= 76 c) Nhận xét mỗi số hạng của tử đều gấp 3 lần số hạng tương ứng ở mẫu:
21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1
42 21 7 24 12 4 12 6 2 6 3 1
Trang 11=
21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1
3 21 14 7 3 12 8 4 3 6 4 2 3 3 2 1
=
21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1
) 21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1 ( 3
= 3 d) Các số hạng ở tử, ở mẫu là bội của nhau:
35 21 7 20 12 4 10 6 2 5 3 1
21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1
3
7 5 3 1 64 5 3 1 8 5 3 1 5 3 1
7 3 2 1 64 3 2 1 8 3 2 1 3 2 1
=
) 7 64 8 1 ( 5 3 1
) 7 64 8 1 ( 3 2 1
3
3
=
5 3 1
3 2 1
= 5
2
4.3.6 Dãy các phân thức viết theo quy luật (áp dụng đối với học sinh khá giỏi)
Đây là dạng bài khó với các dãy phân thức có thể rút gọn phân thức, cũng
có khi chứng minh hằng đẳng thức Với dạng này tôi yêu cầu các em nhận xét để tìm mối liên quan giữa các thành phần tham gia phép tính để tìm ra quy luật chung giữa chúng Qua đó có cách giải cho phù hợp
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau đây:
A = 2
2 2
1
2
2
2 3
1
3
2
2 4
1
4
… 2
2 1
n
n (n 2 )
B =
2 1
1
. + 2 3
1
. + 3 4
1
. + … + n ( n + 1 )
1
Tôi đã hướng dẫn các em làm như sau:
A = 2
2
2
1
2
2
2
3
1
3
2
2
4
1
4
… 2
2 1
n
n
= 2
2
1 2 1
3
) 1 3 )(
1 3
4
1 4 1
n
n
= 2
2
3
1.
2
3
4
2.
2
4
5
3.
n
n
n )( )
Trang 12=
n
n
.
) (
.
.
.
4 3
2
1 4
3
2
n
n
4 3 2
) 1 (
5 4
=
n
1
2
1 + n
=
n 2
1 + n
B =
2
1
1
. + 2 3
1
. + 3 4
1
. + … + n ( n + 1 )
1
=
1
1
-
2
1
+
2
1
-
3
1
+ … +
n
1
-1 + n
1
= 1 -
1 + n
1
=
1 + n
n
Ví dụ 2 Chứng minh các đẳng thức sau
a)
3 1
1
. + 3 5
1
. + … + 2 n - 1)(2n + 1)
1
( = 2 n + 1
n
Với n 1
b)
3 2 1
1
. + 2 3 4
1
. + … + n - 1)n(n + 1)
1
1 )( 2 )
( n n
Nhận xét
1 -n 2
1
-
1
n
2
1
=
1) + 1)(2n
-n 2
2
Đặt A =
3 1
1
. + 3 5
1
. + 5 7
1
. + … + 2 n - 1)(2n + 1)
1
(
=> 2A =
3 1
2
. + 3 5
2
. + 5 7
2
. + … + 2 n - 1)(2n + 1)
2
=
1
1
-
3
1
+
3
1
-
5
1
+
5
1
-
7
1
+ … +
1 -n 2 1
= 1 -
1 + n 2
1
=
1 + n 2
n 2
=> A =
1 + n 2
n
(n 1)
Vế trái bằng vế phải Vậy đẳng thức đã được chứng minh
b) Nhận xét
1)n
-n
1
( - n n + 1)
1
( = n - 1)n(n + 1)
2
(
Đặt B =
3 2 1
1
.
1
. + … + n - 1)n(n + 1)
1
(