Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều, và đòi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và kĩ năng “sơ cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI”
Thuộc lĩnh vực: Toán
Người thực hiện:
Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS
, tháng 4 năm 2019
Trang 2CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: - Phòng Giáo dục và Đào tạo
- Hội đồng sáng kiến huyện
Số
TT
tháng năm sinh
Nơi công tác
Chức danh
Trình độ chuyên môn
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo
ra sáng kiến
Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Một số phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi ”
1 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
– GV Trường THCS
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Toán lớp 8
3 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Sáng kiến được áp dụng thử lần đầu vào ngày 13 tháng 9 năm 2016
4 Mô tả bản chất của sáng kiến:
+ Về nội dung của sáng kiến:
* Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thànhtích các đa thức trên trường số thực R Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thực
Trang 3hành thì khó khăn hơn nhiều, và đòi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và kĩnăng “sơ cấp” Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thườngdùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
1) Các phương pháp thông thường.
+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phảinhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tửchung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳngthức Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Trang 4Như vậy M3 đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy
+ Đặt nhân tử chung
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạtphối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các
Trang 5bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích đượcnữa).
2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương phápphân tích thành nhân tử thông thường (đã học trong SGK) và kết hợp cácphương pháp sau để làm các bài toán khó
Vì x2 – 6x + 10 = (x-3)2 + 1 không phân tích được nữa
Và x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + 1 không phân tích được nữa
( Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 của Phòng GDĐT năm học 2017-2018)
Ví dụ 6 Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2 ( Tách – 8x = – 6x – 2x )
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
= (3x2 – 6x) – (2x - 4) (Nhóm hạng tử) = 3x(x – 2) – 2(x – 2) (Đặt nhân tử chung) = (x – 2)(3x – 2) (Đặt nhân tử chung)Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất ( Tách 3x2 = 4x2– x2 )
3x2 – 8x + 4 = 4x2– x2 – 8x + 4
Trang 6= (4x2 – 8x + 4) - x2 (Nhóm hạng tử) = (2x – 2)2 – x2 (Dùng hằng đẳng thức) = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) (Dùng hằng đẳng thức) = (x – 2)(3x – 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó
có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tửcòn lại
- Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đathức mới được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng
đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3)
Trang 7- Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùngphương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chungmới (cách 1)
Ví dụ 8: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử
Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1 b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau;
Ví dụ 9: Phân tích đa thức 4x4 + 81 thành nhân tử
4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 ( Thêm và bớt 36x2 vào đa thức)
= (4x4 + 36x2 + 81) - 36x2 (Nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức) = (2x2 + 9)2 – 36x2 (dùng hằng đẳng thức)
( Dùng hằng đẳng thức ; Thêm, bớt 16x2(x4 + 1))
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2)
( Dùng hằng đẳng thức; Đặt NTC
= (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 ( Dùng hằng đẳng thức)
Trang 8Ví dụ 12: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử.
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)
= (a2 + 8)2 - (4a)2
= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Như vậy việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rấttiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thứcnào? bình phương của 1 tổng hay hiệu hai bình phương thì mới phân tích triệt
để được
- Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 13: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 )
= x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1]
= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 14:
x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) =(x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1]
= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
Trang 10Ví dụ 18:
B = 2(x4y4z4) ( x2y2z2 2) 2(x2y2z2)(x y z )2 (x y z)4Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
Ví dụ 20: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt
y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến) Khi đó ta có:
D1 = y2 + 4y - 12
Ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt
D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung)
D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Trang 11Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương phápđãnêu ở trên Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :
x2 + x + 6 = (x +
2
1)2 + 54
3 Do vậy không phân tích tiếp được nữaCòn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)
d) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý
Bơ du ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùngphép chia đa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phântích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu ở trên
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1
đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có
x = -1
đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét được tổng các hệ số như trên thì ta xét các ước của hệ
số tự do d (hệ số không đổi) Nếu ước nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng
0 thì ước đó là nghiệm
Ví dụ 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - 4
Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4 , chỉ có f(2) = 0 nên
x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2 Do đó ta tách f(x)thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1:
x3 – x2 – 4 = x32x2 x22x2x 4 x x2 2 x x( 2) 2(x 2)
= x2x2 x 2
Trang 12Ví dụ 22: Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: 1, 5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2)
Vì x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu
tỉ nên không phân tích được nữa
Ví dụ 25: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy
Trang 13a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 cho (x - 1) Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
e) Phương pháp hệ số bất định :
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự
do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì a - 1f(1) và a + 1f(-1) đều
là số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
Ví dụ 27: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có
nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Trang 14đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:
6 12 14 3
a c
ac b d
ad bc bd
12
410
3
612
Trang 15c) (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phương pháp đổi biến).
4 4
3
2 3
a a a
với a = 102Gợi ý:
+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phương pháp nhóm hằng đẳng thức đưa
Trang 16+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
+ Trước hết sử dụng các phương pháp của phân tích đa thức thành nhân tử
để phân tích A
Trang 17Vậy AMin= 7 khi x = 2; y = -1
Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A= x2 + 2y + z2 + 2x + y2 + 2zGợi ý:
Vậy AMin= -3 khi x = -1 ; y = - 1 và z = -1
Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A= -8x2 - 6y2 + 16x – 12y - 1+ Trước hết ta phân tích A
A= -8(x2 – 2x + 1) – 6(y2 + 2y + 1) + 8 + 6 – 1 ( Thêm, bớt hạng tử)
A= -8(x-1)2 - 6(y+1)2 + 13 ( Dùng hằng đẳng thức)
Trang 18A= 13 - 8(x-1)2 - 6(y+1)2
* Lập luận
Dấu " = "xảy ra khi x = 1; y = -1 nên
A= 13 - 8(x-1)2 - 6(y+1)2 13
Vậy Amax = 13 khi x = 1 và y = -1
( Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 của Phòng GDĐT năm học 2014-2015)
+ Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
Sáng kiến này có thể áp dụng cho nhóm học sinh giỏi Toán Trường THCS
- - nói riêng và cho việc bồi dưỡng chọn học sinh giỏi
toán THCS trong các trường học khác nói chung đồng thời còn là một tài liệutham khảo cho các bạn đồng nghiệp và các em học sinh
Đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồidưỡng học sinh giỏi, tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mạch kiếnthức rất trọng tâm của chương trình Toán
5 Những thông tin cần được bảo mật: Không
6 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Bồi dưỡng HSG môn Toán để học sinh đạt giải (đặc biệt là giải cao ) trongcác kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện là một việc làm rất khó khăn, vất vả và tốnnhiều công sức của cả thầy và trò, trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Huyện,cấp Tỉnh, nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thứcthành nhân tử Vậy điều kiện cần thiết phải có để áp dụng sáng kiến này là phảichọn được đối tượng học sinh khá, giỏi môn Toán của lớp 8,9 và người giáo viênphải tìm ra phương pháp bồi dưỡng hiệu quả, phải hiểu sâu rộng vấn đề cầntruyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấyhọc sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tínhtích cực, sáng tạo và tự giác của học sinh là rất cần thiết vì không những giúp
Trang 19học sinh học tập dễ dàng mà còn rèn cho các em bản lĩnh kiên cường, tự tin khibước vào kỳ thi
7 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
7.1 Theo ý kiến tác giả
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trườngTHCS trong năm học 2016 – 2017 đã thu được các kết quả khả quan
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, quamỗi kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủthuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việcphân tích đa thức đạt kết quả tốt, rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và địnhhướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiềusáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử.Bên cạnh đó các phương pháp này giúp các em dễ dàng tiếp cậnvới các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹnăng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn Toán
* Bài tập khảo sát: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trang 207.2 Theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có): Không
8 Danh sách những người đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
Nơi công tác
Chức danh
Trình độ chuyên môn
Nội dung công việc
hỗ trợ
1 05/11/1991 Trường
THCS
Giáo viên Cao đẳng
Trang 21KẾT QUẢ CHẤM CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN NHÀ TRƯỜNG
………
………
………
………
………
………
………
……….
XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU ………
………
………
………
………
………
………
……….