Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong không gian ;.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
-* * -
ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010-2011
(Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút -
hợp của A
Câu 2 Tìm giới hạn sau:
lim→ 1 + 2 sin − cos+ tan + 3
Câu 3 Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất:
=
−2
−1
−2
−1 4 3 1
3 1
5
1
−3 0 3
Câu 4 Xét sự khả vi của hàm số sau:
! " = #$% &' (ℎ ≠ 0
0 (ℎ = 0+ tại điểm x = 0
Câu 5 Giải hệ phương trình tuyến tính
, -
-/ 23&&+ 3 − 2+ 2 − 00++ 11+ 3+ 422= 7= 6
4 &+ 5 − 3 0+ 2 1+ 5 2 = 11
2 &− 2 + 0− 1 −2 2 = 3
2 &+ + 2 0 − 2 2 = 5
+
-&& -
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
-* * -
ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
(Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút -
Câu 1 Có tồn tại ma trận thỏa mãn:
& = 52010 2011 2012 0 6
hay không? Tại sao?
Câu 2 Tính giới hạn sau:
lim→ arctan + 89 − $ +: 0
Câu 3 Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong
không gian ;<:
=& = !0, … ,0,1"; = = !0, … ,2,1"; … ; =< = ! , … ,2,1"
Câu 4 Cho ! " là hàm khả vi đến cấp 2 trên R Chứng minh rằng !2012" >
2012 biết rằng !0" = 0, ′!0" = 1 và CC! " ≥ 0, ∀ ∈ G
Câu 5 Giải hệ phương trình sau:
H
3 & + − 2 0 + 3 1 = −1
& + 3 − 2 0 − 2 1 = 1
2 & − 4 + 0 + 3 1 = −3
− & − + 0 + 2 1 = 0
+
-&& -
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI NĂM 2010 – 2011
Ta có: %&=|J|& ∗⇒ ∗ = 2010 %&⇒ | ∗| = 2010 && | %&|
Mà A.A-1 = E suy ra |A|.|A-1| = 1 suy ra |A-1 = 1/|A| = 1/2010
Suy ra |A*| = 20102010
1 – cosx = 2sin2 (x/2) ~ x2/2 khi x → 0
nên
lim→ 1 + 2 sin − cos+ tan + 3 = lim→ 2 sin =3 32
Câu 3 Biến đổi ma trận A
=
−2
−1
−2
−1 4 3 1
3 1
5
1
−3 0 3
→
1
−3 0 3
−1 4 3 1
3 1
5
−2
−1
−2
→
1 0 0 0
−1 1 0 0
3 10
−25
− 49
−2
− 6
17 − 3
28 − 4
Do P&, ,0&, ,0= −25 ≠ 0 suy ra r(A) ≥ 3
Dễ thấy với m = 17/3 thì r(A) = 4
Với m ≠ 17/3 ta thấy Q! " = 3 ⇔S% 2'%1T=&V%0SU%1S⇔
W X X
=% Z√\&0
=% %√\&0
+
_ `a'
= limb→c^
_d'
&/b = limb→c^bd' =f
ghi limb→c b^&d'=0 (Với t = 1/x) Vậy f(x) khả vi tại 0
Câu 5 Biến đổi ma trận hệ số mở rộng
j = k l m
2 3 4 2 2
3 2 5
−2 1
−2
−1
−3 1 2
1 1 2
−1 0
4 3 5
−2
−1
|
|
|
|
|
6 7 11 3
5 n o p
về dạng tam giác (nên đổi cột 1 cho cột 4, ẩn cũng đổi tương ứng), thay ẩn, ta được nghiệm duy nhất của hệ: (x1, x2, x3, x4, x5) = (2, 1, 0, -1, 0)
-&& -
Trang 4ĐÁP ÁN &THANG ĐIỂM NĂM 2011 – 2012
Câu 1
(5 điểm)
Giả sử tồn tại ma trận A thỏa mãn bài toán
Mặt khác | & | = −2011.2012 < 0 Mâu thuẫn
Vậy không có ma trận A thỏa mãn bài toán
2.5 đ
Câu 2
(3 điểm)
lim→ arctan +89 − $+: 0 = lim→ arctan +89 − 1 + 1 − $+ :0
1 đ
= lim
→
arctan +
−2 sin 2 = −2lim→
arctan + = −4
2 đ
Câu 3
(3 điểm)
Do | | = r
− 1 ⋯ 1
⋯
Suy ra Q! " = Vậy hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính 1 đ
Câu 4
(5 điểm)
Do CC! " ≥ 0, ∀ ∈ G ⇒ C! " là hàm đồng biến trên R
⇒ C! " ≥ C!0" = 1, ∀ ≥ 0 2 đ Xét hàm u! " = ! " − Ta có uC! " = C! " − 1 ≥ 0 , ∀ ≥ 0
⇒ u! " ĐB / [0, +∞" ⇒ u!2012" > u!0" = 0 ⇒ !2012" > 2012
3 đ
Câu 5
(4 điểm)
̅ → y
0 0 0 0
0
−1 −10 0 1 7 2
z
0 1 0 0
Hệ đã cho tương đương:
| 7 2 − 0 = 11= 0
− &− + 0+ 2 1 = 0+ ⇔ | 10= 0 = 2 − 1