Tài liệu Luận văn: TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỐI VỚI SÓNG RAYLEIGH TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP docx

Phương trình tán sắc của sóng mặt trong môi trường đa lớp.. Bề mặt trái đất ban đầu có thể được coi như làmột bán không gian, nhưng mô hình chính xác của nó phải là môt hình phânlớp tron

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

————oOo————

Trần Ngọc Trung

TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN

ĐỐI VỚI SÓNG RAYLEIGH TRONG

MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Ngành: Toán - Cơ

Cán bộ hướng dẫn: TS Trần Thanh Tuấn

Hà Nội - 2012

Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn TS Trần Thanh Tuấn Thầy đã giao đề tài và tận tình hướngdẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar tại bộ môn

Cơ học do PGS TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, cùng toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia HàNội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Trần Ngọc Trung

Mục lục

Lời mở đầu 3

Chương 1 Phương trình tán sắc của sóng mặt trong môi trường đa lớp 6 1.1 Dạng ma trận của bài toán cho sóng Rayleigh 6

1.2 Một số tính chất tổng quát của nghiệm 13

1.3 Tỉ số H/V 15

Chương 2 Dạng tiệm cận của phương trình tán sắc theo bước sóng 17 2.1 Dạng tiệm cận của bước sóng dài 17

2.2 Dạng tiệm cận cho bước sóng ngắn 18

Chương 3 Tính toán số 21

Kết luận 24

Tài liệu tham khảo 24

Phụ lục 27

Sóng Rayleigh [1] đã được Rayleigh phát hiện vào năm 1885 Từ đó đếnnay đã có rất nhiều nghiên cứu về sóng này vì các ứng dụng rộng rãi của nótrong các lĩnh vực khác nhau Một trong những lĩnh vực quan trọng sử dụngsóng Rayleigh đó là sự truyền sóng động đất, trong đó sóng mặt Rayleigh trongrất nhiều trường hợp là thành phần chính sóng động đất bên cạnh sóng Love vàsóng khối, đặc biệt là trong các trường hợp khi tâm chấn (động đất) là khá xa

so với địa điểm được khảo sát Bề mặt trái đất ban đầu có thể được coi như làmột bán không gian, nhưng mô hình chính xác của nó phải là môt hình phânlớp trong đó có một số lớp với các tính chất vật liệu khác nhau đặt trên một bánkhông gian Hai tính chất cơ bản quan trọng nhất của sóng Rayleigh là vận tốcsóng và tỷ số H/V, là tỷ số của chuyển dịch ngang (horizontal) và chuyển dịchtheo phương thẳng đứng (vertical)

Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng là sóngkhông tán sắc và chỉ có duy nhất một mặt sóng Trong mô hình đơn giản nàyhai tính chất cơ bản trên của sóng Rayleigh đã được nghiên cứu kỹ lưỡng (xembài báo của Malischewsky (2004) [6]) Đối với mô hình phức tạp hơn, một lớpđặt trên bán không gian, trong trường hợp vật liệu là đàn hồi đẳng hướng, thìhai tính chất cơ bản trên cũng đã được nghiên cứu kỹ một cách giải tích trongnhiều công trình, ví dụ như trong bài báo của Trần Thanh Tuấn (2011) [11].Nói chung phương pháp được dùng trong các mô hình đơn giản này là biểu diễncác đại lượng ứng suất và biến dạng của lớp và bán không gian phụ thuộc vàocác tham số vật liệu và số sóng, sau đó sử dụng các điều kiện biên để nhậnđược một hệ phương trình thuần nhất Phương trình tán sắc của sóng Rayleighsau đó nhận được bằng cách cho định thức của hệ phương trình thuần nhất nàybằng không để nhận được nghiệm không tầm thường Phương pháp này có thể

MỤC LỤC

cho ta phương trình tán sắc của sóng Rayleigh dưới dạng hiển, thuận tiện choviệc nghiên cứu giải tích cũng như là các tính toán số Tuy nhiên, phương pháp

sẽ trở nên rất cồng kềnh khi được dùng để nghiên cứu mô hình phân lớp, khi

số lớp là nhiều hơn hai Một phương pháp thay thế để khảo sát mô hình phânlớp chính là phương pháp ma trận chuyển Phương pháp này được đề xuất bởiThomson (1950) [9] Haskell (1953) [4] đã phát triển phương pháp này đối vớimôi trường đàn hồi đẳng hướng và Stuart Crampin (1970) [2] đã phát triểnphương pháp này cho môi trường đàn hồi bất đẳng hướng Phương pháp này sẽcho ta phương trình tán sắc của sóng Rayleigh dưới dạng ẩn Mặc dù khó có thể

sử dụng phương trình tán sắc dạng ẩn này để nghiên cứu một cách giải tích cáctính chất của sóng Rayleigh, nhưng nó được dùng một cách rộng rãi trong việclập các chương trình tính toán số để khảo sát số các tính chất của sóng Rayleightrong mô hình phân lớp này Một trong các chương trình sử dụng phương pháp

ma trận chuyển này là chương trình của Herrmann (1994) [5] Chương trình nàyđược viết bởi ngôn ngữ lập trình FORTRAN dưới dạng các gói lệnh và có thể sửdụng các ngôn ngữ khác, ví dụ như Matlab, để chạy chúng Ưu điểm của chươngtrình là chạy ổn định và nhanh chóng Tuy nhiên nhược điểm của nó là người

sử dụng không thể can thiệp trực tiếp vào các code lệnh để thay đổi chươngtrình để phục vụ mục đích của mình Một ví dụ là chương trình của Herrmantính toán vận tốc sóng và tỷ số H/V trên một miền tần số cho trước và nó chiamiền tần số này thành một số khoảng rời rạc bằng nhau (nói chung là 29 hoặc

210 khoảng) Trong các tính toán thông thường thì số lượng chia rất lớn này nóichung là đủ để đáp ứng các yêu cầu của người dùng Tuy nhiên với một số mụcđích riêng biệt khác, như tính toán xung quanh điểm osculation point, là điểmhai mode của đường cong tán sắc gặp nhau, thì việc chia số khoảng lớn như trênvẫn chưa đủ Hoặc như khi cần vẽ đường cong tán sắc và đường cong tỷ số H/Vmột cách rất mịn thì chúng ta cần phải can thiệp vào code của chương trình, vàviệc mà người dùng khó có thể làm khi sử dụng chương trình của Herrmann.Hoặc quan trọng nhất là giải số tìm các tần số của điểm không (điểm có H/Vbằng không) và điểm singularity (là điểm có tỷ số H/V bằng vô cùng)

Với lý do trên, việc thành lập code chương trình cho phương pháp ma trậnchuyển là cần thiết Vì vậy, mục tiêu của khóa luận tốt nghiệp này là đi tìm hiểuphương pháp ma trận chuyển và sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để viết codecho phương pháp này Nội dung chính của khóa luận là trình bày lại các kết quả

đã được đăng trong bài báo của Thomson (1950) [9] và của Haskell (1953) [4].Thông qua các kết quả trong hai bài báo trên, công thức của tỷ số H/V đối vớimôi trường phân lớp cũng được dễ dàng tìm ra Dựa trên các kết quả và côngthức này, tác giả đã sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để viết chương trình tínhtoán vận tốc sóng Rayleigh và tỷ số H/V đối với mô hình phân lớp có số lớp tùy

ý Cuối cùng, một số kết quả tính toán số sử dụng chương trình này cũng đượctrình bày

Khóa luận bao gồm ba chương :

• Chương 1: Tìm phương trình tán sắc tổng quát và tỉ số H/V

• Chương 2: Tìm dạng tiệm cận của phương trình tán sắc theo bước sóngngắn và bước sóng dài

• Chương 3: Áp dụng tính toán số

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Em mong nhậnđược sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Phương trình tán sắc của sóng mặt

trong môi trường đa lớp

1.1 Dạng ma trận của bài toán cho sóng Rayleigh

Ta xét sóng mặt có tần số góc p và vận tốc theo phương ngang c lan truyền theo phương ngang trong không gian với n lớp song song đồng nhất,

Hình 1 : Chiều của các trục tọa độ và cách đánh số của các lớp và các mặt phân cách.

Tất cả các lớp giả sử đều là môi trường chất rắn Trục x song song với các lớp và có chiều dương hướng theo chiều của phương truyền sóng Trục z có

chiều dương hướng vào trong môi trường Các lớp khác nhau và các mặt phâncách được đánh số bắt đầu từ mặt tự do như hình 1 Ta chú ý dạng của sóng

Rayleigh, tức là ở đây không có chuyển dịch theo phương y và biên độ giảm theo hàm mũ trong phương +z trong lớp bán không gian.

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP

Đạo hàm∆m theo x, y và z ta được ba phương trình

thì giãn nở khối và sự quay mà thỏa mãn phương trình sóng là

m biểu thị cho một sóng mặt mà hướng chuyển động của

nó hợp với trục +z một góc cot −1 r αm với r αm là thực, và một sóng lan truyền

theo phương +x với biên độ giảm dần theo hàm mũ theo chiều của +z khi r αm là

số ảo Tương tự, số hạng trong∆′′ m biểu thị cho một sóng mặt mà hướng chuyểnđộng của nó hợp với trục −z một góc như trên khi r αm là số thực và một sónglan truyền trong +x với biên độ giảm dần theo hàm mũ theo chiều của trục z khi

r αm là số ảo Áp dụng cách đánh dấu tương tự như trên, ta có được dạngω′

m và

ω′′

m với r βm thay thế cho r αm

Thành phần tương ứng của ứng suất và chuyển vị tương ứng với hàm giãn

nở khối và sự quay được biểu diễn bởi (1.3) và (1.4) là,

lớp nên chúng ta có thể xét các đại lượng không thứ nguyên ˙u/c và ˙ w/c là liên

tục Thay các biểu diễn của (1.3) và (1.4) vào phương trình (1.5) đến (1.8), ta

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP

có

u =ik(αm /p)2exp[i(pt − kx)][∆ ′ mexp(−ikr αm z) +∆′′ m exp(ikr αm z)]

+ 2ikr βm(βm /p)2exp[i(pt − kx)][ω′ mexp(−ikr βm z) −ω′′ m exp(ikr βm z)],

(1.9)

w =ikr αm(αm /p)2exp[i(pt − kx)][∆ ′ mexp(−ikr αm z) − ∆ ′′ m exp(ikr αm z)]

+ 2ik(βm /p)2exp[i(pt − kx)][ω′ mexp(−ikr βm z) +ω′′ m exp(ikr βm z)].

(1.10)Thành phần vận tốc tương ứng được biểu diễn như sau

w/c = − (αm /c)2r αm[−i(∆ ′ m+∆′′ m ) sin kr αm z + (∆′ m − ∆ ′′ m ) cos kr αm z]

+γm[−i(ωm ′ −ωm ′′ ) sin kr βm z + (ωm ′ +ωm ′′ ) cos kr βm z], (1.14)

mγm r βm[−i(∆ ′ m+∆′′ m ) sin kr αm z + (∆′ m − ∆ ′′ m ) cos kr αm z]

−ρm c2γm(γm − 1)[−i(ωm ′ −ωm ′′ ) sin kr βm z + (ωm ′ +ωm ′′ ) cos kr βm z].

(1.16)

Khi bất kỳ các giá trị r αm , r βm là ảo thì hàm lượng giác tương ứng sẽ được hiểu

là hàm lượng giác hyperbolic

Đặt gốc tọa độ của z tại mặt phân cách thứ (m − 1) mối quan hệ tuyến

tính giữa các giá trị của ˙u/c, ˙ w/c,σ và τ tại mặt phân cách thứ (m − 1) và các

biến đổi sau

Đặt z = d m trong phương trình (1.13) đến (1.16) ta thu được giá trị của ˙u/c,

v.v tại mặt phân cách m theo (∆′ m+∆′′ m) v.v

−(γm /c)2cos P m i (αm /c)2sin P m −γm r βm cos Q m iγm r βm sin Q m

i (αm /c)2r αm sin P m −(αm /c)2r αm cos P m −iγm sin Q m γm cos Q m

m, v.v có thể được khử giữa hai phương trình (1.17)

và (1.19), cho ta một mối quan hệ tuyến tính giữa các giá trị của ˙u/c, ˙ w/c,σ và

τ tại đỉnh và đáy của lớp thứ m mà có thể được biểu diễn một cách hình thức

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP

có thể được tính như sau

Bây giờ xét điều kiện biên với yêu cầu là các giá trị của ˙u/c, ˙ w/c,σ và τ

được tính tại đỉnh của lớp thứ m phải bằng các giá trị tương ứng được tính tại đáy của lớp thứ (m − 1) Điều đó có nghĩa là ta có thể viết

( ˙u m /c, ˙ w m /c,σm ,τm ) = a m a m −1( ˙u m −2 /c, ˙ w m −2 /c,σm −2 ,τm −2 ). (1.23)Trong bài báo của Thomson (1950) [9], đại lượngτ/2µ được thay choτ

như biến thứ tư của ma trận a m Đây chỉ là sự thay đổi trong ký hiệu với bất kỳlớp nào có liên quan nhưng µ nói chung sẽ khác nhau trong các lớp, và đó làứng suất trượt τ, không phải là biến dạng trượt τ/µ, là đại lượng liên tục quacác mặt phân cách Quá trình lặp được chỉ ra bởi phương trình (1.23) do đó yêucầuτ, hoặc một hằng số nhân vớiτ, không phải là τ/2µ, được coi như biến thứ

tư Dạng ma trận a của Thomson khi đó sẽ được hiệu chỉnh lại bằng việc nhân

hàng thứ tư với 2µ (= 2G trong kí hiệu của Thomson) và cột thứ tư được nhân

với (2µ)−1.

Bằng việc lặp lại phương trình (1.23) ta có,

có thể được áp dụng đối với sóng mặt hoặc sóng truyền qua môi trường nhiềulớp Trường hợp cụ thể mà chúng ta quan tâm trong đó không có ứng suất trênmặt tự do nên σ0 = τ0 = 0 và không có nguồn kích động nào ở vô cùng nên

∆′′

n =ω′′

n = 0 Kí hiệu J là ma trận tích E −1

n a n−1 a n−2 a1, phương trình (1.25)trở thành,

1.2 Một số tính chất tổng quát của nghiệm

Đặt A = a n −1 a n −2 a1và sử dụng phương trình (1.22) đối với E −1

n , phươngtrình (1.27) có thể viết dưới dạng

− ( ˙u0/ ˙ w0) = K/L = M/N, (1.28)

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP

Trong các biểu diễn cho các phần tử của ma trận a m, chúng ta thấy rằng

các đại lượng sin P m , sin Q m , r αm và r βmcó thể là thực hoặc ảo phụ thuộc vào giátrị của c, chỉ xảy ra trong tích r ±1

αm sin P m và r ±1

βm sin Q m Vì sin P m là thực hoặc

ảo khi r αm là thực hoặc ảo, và sin Q m là tương tự đối với r βm, nên các tích trênluôn là thực đối với giá trị thực của c Với các tính chất thực hoặc ảo của phần

Với việc định nghĩa sóng "mặt" là sóng có biên độ giảm khi giá trị của

z tăng lên, nghĩa là r αn và r βn trong trường hợp này là ảo Nghĩa là ta chỉ xéttrường hợp giá trị của c <βn Khi đó đối với phương trình (1.29), tất cả các số

hạng của K và N là thực và tất cả các số hạng của L và M là ảo Do đó tỉ số

˙

u0/ ˙ w0sẽ luôn là số ảo, nghĩa là có sự lệch pha 900giữa các thành phần theo trụcngang và trục dọc tại mặt tự do Do đó chuyển động của các phần tử có dạnghình ellipse với các trục có phương ngang và phương thẳng đứng Tuy nhiên độlệch pha có thể có dấu bất kỳ và do đó chuyển động ellipse của phần tử khôngnhất thiết là ngược chiều kim đồng hồ đối với phương truyền sóng, là chuyểnđộng của phần tử đối với sóng Rayleigh trong mô hình bán không gian

Nếu môi trường chúng ta đang xét là tán sắc, thì sẽ cần thiết phải xét giá

trị phức của c và k Trong trường hợp này, tỉ số ˙ u0/ ˙ w0 sẽ không nhất thiết làthuần ảo, nghĩa là độ lệch pha có thể khác±900 thường xảy ra và các trục củaellipse có thể nghiêng một góc với trục Do đó môi trường đàn hồi không hoànhảo có thể dẫn đến độ nghiêng của trục, là trường hợp hay được quan sát trongtrường hợp các vụ nổ được kích hoạt để tạo ra sóng mặt trên lớp không chặt

Rõ ràng là nếu hai lớp liền kề có tính chất vật lý giống nhau, chúng phảiđược coi là tương đương với một lớp có bề dày bằng tổng bề dày của hai lớp

Do đó, nếu ta gọi a m (d) là ma trận a m được tính cho lớp có độ dày d ta phải có

a m (d1) a m (d2) = a m (d1+ d2) (1.30)Mối liên hệ này có thể dễ dàng kiểm tra bởi việc nhân trực tiếp các ma trận Và

bởi vì k chỉ xuất hiện trong a m dưới dạng kd m, phương trình (1.30) cho ta,

Ta có, u và w được xác định như sau

u =ik(αm /p)2exp[i(pt − kx)][∆ ′ mexp(−ikr αm z) +∆′′ m exp(ikr αm z)]

+ 2ikr βm(βm /p)2exp[i(pt − kx)][ω′ mexp(−ikr βm z) −ω′′ m exp(ikr βm z)],

w =ikr αm(αm /p)2exp[i(pt − kx)][∆ ′ mexp(−ikr αm z) − ∆ ′′ m exp(ikr αm z)]

+ 2ik(βm /p)2exp[i(pt − kx)][ω′ mexp(−ikr βm z) +ω′′ m exp(ikr βm z)].

Dễ dàng thấy được u và w chỉ phụ thuộc vào thời gian t qua nhân tử exp[i(pt − kx)], do đó

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP

Dạng tiệm cận của phương trình tán sắc theo bước sóng

2.1 Dạng tiệm cận của bước sóng dài

Khi bước sóng rất lớn thì kd m → 0 và tất cả các ma trận a m sẽ tiến về ma

trận đơn vị Do đó, J m → E −1

m và phương trình (1.27) trở thành

˙

u0/ ˙ w0=−(γn − 1)/γn r αn=γn r βn / (γn − 1), (2.1)hoặc

(γn − 1)2

+γ2

Đây chính là phương trình vận tốc sóng cho sóng Rayleigh của bán không gian

Nếu ta khai triển dạng của ma trận a m theo lũy thừa của k và bỏ qua lũy

thừa cao hơn bậc một thì ma trận A có dạng

n −1

∑ 1

d m /ρmα 2

∑ 1

∑ 1

CHƯƠNG 2 DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC THEO BƯỚC SÓNG

2.2 Dạng tiệm cận cho bước sóng ngắn

Sezawa và Kanai (1938) [7] đã chỉ ra rằng trong trường hợp hai lớp, dạngtiệm cận đối với tần số sóng lớn của phương trình vận tốc có thể được nhómdưới dạng tích của các thừa số Một trong những thừa số này có một nghiệmtương ứng với vận tốc sóng Rayleigh trên mặt tự do của lớp đầu tiên; Nghiệmcòn lại là biểu diễn của Stoneley (1924) [8] cho vận tốc sóng truyền trên các mặtphân cách giữa hai lớp Nghiệm thứ hai có thể có hoặc có thể không có nghiệmthực, phụ thuộc vào mối liên hệ giữaρ,α,β trong hai lớp Theo lý thuyết vật lýthì trong trường hợp đa lớp, phương trình tán sắc luôn có thể được nhóm dướidạng tích các thừa số khi tần số là đủ lớn Những thừa số này tương ứng vớisóng Rayleigh trên mặt tự do và sóng Stoneley ở mỗi mặt phân cách Để minh

họa điều này, sẽ thuận lợi hơn khi ta viết ma trận J dạng